级数
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2023年3月20日发(作者：孤独的小螃蟹故事)一、数项级数的定义及敛散性
定义：设给定一数列：，则称表
达式
为数项级数，简称级数．记为，即
，
其中第项称为级数的通项，也称为一般项．
注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子．
例如：是级数，不是级数；
是级数，不是级数．
由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得
，
可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数．
而对于级数
，
从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等于任何数．
接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行？
定义：记级数的前
项和为
，
显然．
如果（常数），则称级数收敛，并称
S为级数的和，记作．
如果不存在，则称级数发散．
典型例题
例2.2.1讨论等比级数（又称为几何级数）
的敛散性．其中，叫做级数的公比．
解
(1)如果，级数的前项和
当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为
．
当，由于，从而，这时级数发散．
(2)如果，则当时，级数的前项和，因此级数发散；当
时，级数成为
，
，
显然随着的增大，总是在或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数
也是发散的．
综上所述，我们得到：等比级数的公比为，则当时，级数收敛，且
收敛于；如果，则级数发散．简记为
发散，
可记忆为
发
散，
由此公式，我们可以很快地得出：
，级数收敛．
，级数收敛．
发散．
例2.2.2判定下列级数的敛散性：
(1)；(2)．
解
(1)∵，
∴
，
从而，故级数发散．
(2)由于
，
所以
．
从而
，
故级数收敛，它的和是1．
例2.2.3判定级数的敛散性．
解级数的前项和
，
因为
，
所以级数发散．
也可以这样化简：
备注：这里用到初等数学中的公式：，．
二、级数的基本性质和收敛的必要条件
性质1若为非零常数，则与同时收敛或同时发散，且在收敛时，
有
．
此性质说明：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．
性质2设级数与都收敛，则也收敛，且
．
此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
性质3在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值，不会改变级数的敛散性．
性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则它的一般项趋于零，即
．
此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件．
推论：若，则级数发散．
注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于
零，但仍然是发散的．将在后面学习的调和级数就是这样的例子．
典型例题
例2.2.4判断级数的敛散性．
解，而级数收敛，所以由性
质1知收敛．
例2.2.5判定级数的敛散性，若收敛求此级数的和．
解因为级数收敛，且
，
又级数也收敛，且；所以由性质2，
．
例2.2.6判定级数的敛散性．
解级数的一般项为，因为
，
所以级数发散．
三、正项级数的敛散性判别
定义：设数项级数中的每一项都是非负的，即
（），则称该级数是正项级数．
定理（比较判别法）：设，是两个正项级
数，若，则
(1)当收敛时，收敛；
(2)当发散时，发散．
有了这个定理，在判断一个正项级数的敛散性时，可以利用另一个收敛性为已知的正
项级数来比较．
形如的级数称为－级数，可以证明－级数当时收敛，当时
发散．其中时的级数也称为调和级数．
典型例题
例2.2.7判定下列级数的敛散性：
(1)；(2)；(3)
解
(1)因为，是调和级数，所以级数发散．
(2)因为，所以级数收敛．
(3)因为，所以级数发散．
例2.2.8判定下列级数的敛散性：
(1)；(2)；(3)．
解
(1)∵，∴，，而收敛，故收敛．
(2)∵，
∴，而发散，所以发散．
(3)∵，∴，而发散，所以发散．
小结
(1)数项级数及其收敛与发散的概念；
(2)数项级数敛散性的常用判别法：
①等比级数的敛散性判定及收敛时的求和．要求掌握有关的结
论和公式．
②－级数的敛散性．要求掌握有关的结论．
③对于正项级数，在利用比较判别法时，常以－级数作为参
照．
④当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判
别．
⑤利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级
数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛．
重点题型：判断级数的敛散性．