无穷级数
treitz-排污申报
2023年3月20日发(作者：疏的反义词)1/7
无穷级数
1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：
1
lim
nk
n
k
Su
存在，称级数收敛。
2.若任意项级数
1
n
n
u
收敛，
1
n
n
u
发散，则称
1
n
n
u
条件收敛，若
1
n
n
u
收敛，则称级数
1
n
n
u
绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.
2.任何级数收敛的必要条件是
lim0
n
n
u
3.若有两个级数
1
n
n
u
和
1
n
n
v
，
11
,
nn
nn
usv
则①
1
()
nn
n
uvs
，
11
nn
nn
uvs
。
②
1
n
n
u
收敛，
1
n
n
v
发散，则
1
()
nn
n
uv
发散。
③若二者都发散，则
1
()
nn
n
uv
不确定，如
11
1,1
kk
发散，而
1
110
k
收敛。
4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：
a)等比级数：
0
1
1
1
n
n
a
r
ar
r
,收敛，r
发散，
b)P级数：
1
1
p
n
n
收敛，p1
发散，p1
c)对数级数：
2
1
lnp
n
nn
收敛，p1
发散，p1
5.三个重要结论①
1
1
()
nn
n
aa
收敛
lim
n
n
a
存在②正项（不变号）级数
n
a收2
n
a收，
2/7
反之不成立，③2
n
a和2
n
b都收敛
nn
ab收，nn
ab
nn
或收
6．常用收敛快慢
正整数ln(0)(1)!nnnnaann由慢到快
连续型ln(0)(1)xxxxaax由慢到快
7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧
1.达朗贝尔比值法1
1,
lim1,lim0)
1,
n
n
nn
n
n
l
u
ll
u
l
收
发（实际上导致了
单独讨论（当为连乘时）
2.柯西根值法
1,
lim1,
1,
n
nn
n
l
ulln
l
收
发（当为某次方时）
单独讨论
3.比阶法①代数式
1111
nnnnnn
nnnn
uvvuuv
收敛收敛，发散发散
②极限式
limn
n
n
u
A
v
，其中：
1
n
n
u
和
1
n
n
v
都是正项级数。
1111
11
1111
•0
•0
•
nnnnnnnn
nnnn
nnnnnn
nn
nnnnnnnn
nnnn
Auvuvvuuv
Auvukvuv
Avuvuuvvu
是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
是的同阶无穷小和敛散性相同。
是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
3
2
2
11111222
lnlnln1~~
111
1n
n
nn
u
nnn
nnnnn
n
，
111
3
22
000
1
2
21
0
113
nnn
n
n
xx
dxudxxdx
xx
n
，也可选用基准级数
3
1
2
1
nn
就可知原级
3/7
8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧
●莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）①
lim0
n
n
u
②
1nn
uu
0
(1)n
n
n
u
收敛。
这是一个必要条件，如果①不满足，则
0
(1)n
n
n
u
必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还
是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。
●任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。
●任意项级数判敛的两个重要技巧：
a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。
bk阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，
9.幂级数
0
0
()n
n
n
axx
1．阿贝尔（Abel）定理
如果级数
0
n
n
n
ax
当2
000
1
0,=00
n
n
xxxxax
因为显然收敛
点收敛，则级数在圆
域
0
xx内绝对收敛；如果级数
0
n
n
n
ax
当
1
xx点发散，则级数在圆域
1
xx外发散。由阿
贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂
级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除
00
0xxx外，该定理并
没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如
推论：如果
0
n
n
n
ax
不是仅在0x一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确
定的正数
R
存在，使得：
1
n
n
n
xR
xR
xRxRRax
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。
10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域
已知
0
0
()n
n
n
axx
，若1limlimn
n
n
nn
n
a
a
a
或
；则根据比值判敛法有：
4/7
1
000
+1
1
lim1=limnn
nn
nn
aa
xxxxxxR
aa
收敛
收敛。
●收敛半径
R
：
1
1
lim,0
00,
n
n
n
a
a
RR
Rx
全平面收敛,=0
只有一个收敛点
。
●收敛区间
00
,xRxR：级数在
000
,xxRxxRxR收敛；幂级数的收敛区
间是非空点集，对
0
0
()n
n
n
axx
至少在
0
xx处收敛，对
0
n
n
n
ax
至少在0x处收敛。由阿贝尔
定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。
●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径
R
上）收敛性待定，故收敛域是
00
,xRxR、
00
,xRxR、
00
,xRxR或
00
,xRxR四种情况之一。
3．在收敛区域内的性质
(1)
0
n
n
n
ax
的和函数fx连续并有任意阶导数；
(2)
0n
可逐项微分1
01
'()()nn
nn
nn
fxaxnax
(3)
0n
可逐项积分1
00
00
()()
1
xx
nn
n
n
nn
a
fxdxaxdxx
n
(4)
0
n
n
n
ax
绝对收敛。
11．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数
展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常
用的麦克劳林展开结论。
5/7
①
0
1
1
n
n
u
u
(1,1)u
②
0
1
(1)
1
nn
n
u
u
(1,1)u
③
0
!
n
u
n
u
e
n
(,)u
④
21
0
sin(1)
(21)!
n
n
n
u
u
n
(,)u
⑤
21
0
cos(1)
(2)!
n
n
n
u
u
n
(,)u
⑥
1
1
11
(1)
ln(1)(1)ln2
nn
n
nn
u
u
nn
(1,1]u
⑦
00
(1)(1)
(1)
!
nn
n
nn
n
uuCu
n
(1,1)u
⑧
21
3
0
1
tan
213
n
n
u
uuu
n
…
⑨
21
3
0
(1)1
arctan
213
nn
n
u
uuu
n
…[1,1]u
⑩
2
11
1
1
0101
1ln(1)
1
1111
11
!1!!1!
n
n
nn
nn
nnnn
xx
nxxx
n
x
ee
nnnn
，
5.幂级数求和方法
●函数项级数求和方法
一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组
装●数项级数求和方法
构造辅助幂级数法。
6/7
付立叶级数
1．周期函数展开成付里叶级数
•()fx为在,ll上周期为2l的周期函数，则
0
1
1
()cos
()(cossin),
1
2
()sin
l
n
l
nn
l
n
n
l
n
afxxdx
a
nn
ll
fxaxbx
n
ll
bfxxdx
ll
其中
•特别地，当l时
0
1
1
()cos
()(cossin)
1
2
()sin
n
nn
n
n
afxnxdx
a
fxanxbnx
bfxnxdx
其中
•当
()fx
是偶函数
0
0
1
0
0
1
12
()cos()cos
2
12
()cos()cos
2
l
nn
n
nn
n
nxnx
fxaaafxdx
lll
lfxaanxafxnxdx
•当()fx是奇函数
0
1
0
1
2
()sin()sin
2
()sin()sin
l
nn
n
nn
n
nxnx
fxbbfxdx
lll
lfxbnxbfxnxdx
2．非周期函数展开成付里叶级数方法
如果非周期函数fx只是定义在区间0,0,l或，两种区间可以令tx
l
相互转换，
为了利用付里叶级数展开，必须将fx拓展，其方式有两种，即：
（1）偶拓展令
()0
()
()0
fxxl
Fx
fxlx
，使()Fx成为,ll上的周期偶函数，展开后取
7/7
0xl上的函数值即为fx的付里叶展开。
（2）奇拓展令
()0
()
()0
fxxl
Fx
fxlx
，使
()Fx
成为,ll上的周期奇函数，展开后
取0xl上的函数值即为fx的付里叶展开。
3．狄利克雷收敛定理
设函数fx在,ll上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，
则fx的付里叶级数收敛。并且：
0
1
,
00
(cossin)
22
00
2
nn
n
fxx
fxfx
a
Sxanxbnxx
flfl
xl
当为连续点
，当为第一类间断点
，当为区端点