微分流形
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2023年3月20日发(作者：孟兰盆节)读《流形上的微积分》后有感
流形上的微积分，实际是微分流形上的微积分，自2010年开始
讲述，基本上也是每年一次，近几年由于平时的精力在数学分析课程
上，由此在暑期学期开设本课程。
微分流形上的微积分，主要的学术目标可以归纳为：
（1）将高维微积分（一年级下学习内容，主要针对三维Euclid
空间中的曲线、曲面、体积）推广至高维Euclid空间中的曲线、曲
面、体积，实际主要对象为m+1维Euclid空间中的m维曲面、m维
Euclid空间中的r维曲面（一般的向量值映照）。如果将研究对象
模型化为有限自由度系统，那在相空间中就是高维Euclid空间中的
几何对象了，由此需要将一般的微积分进行高维推广。——这次教学，
基本上做到了。
（2）引入现代几何学的思想与方法，基本层面的表现为普遍地
运用外积、外微分等；高级层面的表现为涉及微分流形整体行为的研
究。——这次教学，基本层面做到了，但高级层面又未能实现，主要
还是限于课时，自己也尚需要研习。
本次课程，从内容上而言，分为四个部分：张量代数、微分流形
上微分学、微分流形上积分学、微分流形上的联络，教学视频也对应
地分为这四个部分。此次讲述风格，更加注重了力学数学风格——注
重体现数学相关结论如何在实际认知中的运用。
本课程2学分，实际每天上午9点至12点半，下午1点半到4
点半，差不多每天6小时讲述，进行了9天，学习的程度与强度都非
常之大。这次修读同学有25位，来自数学、力学、物理、技术等学
科，多数同学还是坚持了全部的学习，有感于我们同学的好学，真是
不容易的。——由此，一定要使得修读这门课程具有切实的认识上的
收获。
我们的课程还是以讲述为主——数理研习需要引导，本次课程约
50小时的讲述，如果自己学习可能至少需要500小时，甚至需要长
得多得多的时间。教师讲述中充分表述了自身的认识与体现，系统性
地讲述给同学显得颇有意义，实际我还是显得认识上的不足，不然成
效会更好。——数理研习的本质在于理解与掌握难以理解与掌握的思
想与方法。认知需要螺旋式上升，就此我们的教与学采用递进性教与
学的方式：课前，基于在线资源（教学视频与讲稿）进行一定程度的
自学；课中，主要由教师进行讲述，师生随时可以进行讨论，教师按
需要随时进行澄清等，优秀的学生甚至可以指出教师思考中的纰漏；
课后，可以通过课程群讨论，按需要再学习教学视频。——总体而言，
我们课程的广度与深度可以类比国内外代表性教程或者专著的程度，
同时希望能够具有理想的教与学的成效。