能被9整除的数的特征
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2023年3月19日发(作者：郑簠)数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练
数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练
知识梳理：
1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，
我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是
a的约数。
3、整除的数，其数字和一定是9的倍数．
4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位
数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个
数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以
大减小）能否被7（11或13）整除。
例题精讲
1、判断47382能否被3或9整除？
分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3
或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的
倍数。
解：47382能被3整除，不能被9整除
2、判断42559，7295871能否被11整除？
分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数
位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为
2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871
奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，
25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
3、32335能否被7整除？
分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这
个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差
（以大减小）能否被7（11或13）整除。
解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整
除。
专题特训
1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？
2、四位数36AB能同时被2、
3、
4、
5、9整除，则A=B=？
3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3
个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？
4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？
5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最
大的七位数与最小七位的数差是多少？
6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？
7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是
多少?
8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.
这三个数可能是多少？
9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可
能是多少？
10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？
1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，
5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，
才能被9整除。
2、解：由能被2和5整除可判断B=0。能被3和9整除可得A
可能是0、9，由能被4整除可得A只能为0，所以A=0，B=0。
3、解：能被9整除，□中应填7，能被11整除，□中应填8，能
被6整除，□中应填4
4、解：21=3×7，所以8756□4321能被3和7同时整除，根据
特征判断可得□中应填0。
5、解：根据能被11整除的数的特征，最大的七位数应为
7645231，最小的七位数为1235476，二者的差为7645231-
1235476=6409755
6、解：这个数能被63整除即能被7和9同时整除，符合条件的
数为22365。
7、解：因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、
5整除的数的特征即可。根据整除特征可得末位只能为0或5。
如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求
数字和是3的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-
199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的
倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90。
8、解：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍
数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,
它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34。
9、解：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是
11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这
个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0
或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等
的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这
个六位数有两种可能
又23056088=2620
23856888=2711
所以,本题的答案是2620或2711。
10、解：因为99=9×11,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍
数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.42□28□
这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数
字的和是2或11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已
知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，
再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0
或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析
可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是
8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填
在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是427284，又427284
99=4316，所以所得的商是4316。
数的整除具有如下性质：
性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一
定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48
一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与
差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么
21＋15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数
一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，
又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
例1.在853后面补上3个数字组成一个六位数，使这个六位数能
同时被3,4,5整除。这样的六位数中最大的是多少？
解题思路：因为3,4,5两两互质，所以853□□□末两位可以是
20,40,60,80,00，再根据能被3整除的数的特征，
8+5+3+9+8+0=33，这个数最大是853980。
解：这样的六位数中最大的是853980。
做练习题。
例2．判断34101能不能被7或11或13整除。
解题思路：根据能被7,11,13整除的数的特征，用末三位101减
去末三位前面的数34，即101-34=67，看这个差能不能被7、11、
13整除就可以判断出34101能不能被7、11、13整除。
解：101-34=67
67不能被7整除，所以34101不能被7整除。67不能被11整
除，所以34101不能被11整除。67不能被13整除，所以34101不
能被13整除。
例3．由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位
数？
解题思路：卡片6可以看成9，所以能被2整除的有564，654，
594，954，456，546。
解：6个。
总结：我们要牢记能被n个特殊数整除的特征，归纳出一般性的
规律。
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么
这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数
就能被3
整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就
能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数
就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数
就能被9
整除。
练习：1.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字
的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整
除的有几个？
2.42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是多少？
3.五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
4.七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9
中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
5.学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，
只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？
6.某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整
除，那么它的最后三位数字依次是多少？
比一比.在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数。
如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的
三位数，是原两位数的9倍。这样的两位数共有多少个？
1.解：有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10
整除。
2．讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为
[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的
倍数，即（a+b）之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或
（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是
11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
3．解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所
以
既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要
求能被8
整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位
数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
4.讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各
数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的
倍数。
则有b-a=8，或者a-b=3。
①当b-a=8时，b可取9、8；
②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，
这个七位数都不是11的倍数。
5.解：367.92/72=5.11（元）
6.讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320
时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。
比一比.讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的
9倍，且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。
又插入的一个数字，必须小于个位数字，否则新三位数就不是原
两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0，而一定是5。
结合被9整除的数字特征，不难找到符合要求的两位数有45、35、
25和15共4个。