等比数列前n项和公式

等比数列前n项和公式

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2023年3月19日发(作者：结构工程师报考条件)

第3节等比数列及其前n项和

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，

那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：

a

n

a

n－1

＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝

±ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{a

n

}的首项为a

1

，公比是q，则其通项公式为a

n

＝a

1

qn－1；

通项公式的推广：a

n

＝a

m

qn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S

n

＝na

1

；当q≠1时，S

n

＝

a

1

（1－qn）

1－q

＝

a

1

－a

n

q

1－q

..(在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨

论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.)

3.等比数列的性质

已知{a

n

}是等比数列，S

n

是数列{a

n

}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a

k

·a

l

＝a

m

·a

n

.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a

k

，

a

k＋m

，a

k＋2m

，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S

n

，S

2n

－S

n

，S

3n

－S

2n

，…仍成等比数列，

其公比为qn.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{a

n

}，{b

n

}(项数相同)是等比数列，则数列{c·a

n

}(c≠0)，{|a

n

|}，{a2

n

}，











1

a

n

，

{a

n

·b

n

}，











a

n

b

n

也是等比数列.

2.由a

n＋1

＝qa

n

，q≠0，并不能立即断言{a

n

}为等比数列，还要验证a

1

≠0.