古典概率公式
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2023年3月19日发(作者：微信聊天记录制作)第1页（共48页）
2018年12月01日高中数学的高中数学组卷
一．选择题（共33小题）
1．（2017秋•周口期末）将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等
差数列的概率为（）
A．B．C．D．
2．（2018春•三门峡期末）5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取
三张，则所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率为（）
A．B．C．D．
3．（2018春•南阳期末）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个
白球，5个红球．从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）
A．
B．1﹣
C．
D．1﹣
4．（2018春•商丘期末）将数字1、2、3填入标号为1，2，3的三个方格里，每
格填上一个数字，则方格的标号与所填的数字有相同的概率是（）
A．B．C．D．
5．（2018•河南模拟）大型反贪电视剧《人民的名义》播出之后，引起观众强烈
反响，为了解该电视剧的人物特征，小赵计划从1～6集中随机选取两集进行
观看，则他恰好选择连续的据两集观看的概率为（）
A．B．C．D．
6．（2018•河南二模）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，
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在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）
A．B．C．D．
7．（2018•孝义市一模）从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透
明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）
A．B．C．D．
8．（2018•洛阳二模）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于
10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，
该数为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
9．（2018•新乡二模）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，
0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参
加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）
A．0.56B．0.336C．0.32D．0.224
10．（2018•全国一模）从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则
在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）
A．B．C．D．
11．（2018春•南岗区校级期中）10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽
两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为（）
A．B．C．D．
12．（2018春•三门峡期末）某产品分为A、B、C三级，若生产中出现B级品的
概率为0.03，出现C级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得A级品的概
率是（）
A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96
13．（2018•天河区三模）在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个
两位数，则这个数能被4整除的概率是（）
A．B．C．D．
14．（2017秋•新余期末）一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分
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别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一
个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条
件下，乙摸1号球的概率为（）
A．B．C．D．
15．（2017秋•上高县校级期末）甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以
参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组
的概率为（）
A．B．C．D．
16．（2018•信阳二模）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，
第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在
直线2x﹣y=1上的概率为（）
A．B．C．D．
17．（2018春•城关区校级期末）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意
的，则第一个打电话给甲的概率为（）
A．B．C．D．
18．（2017春•宛城区校级月考）从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不
重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是（）
A．B．C．D．
19．（2017秋•罗湖区校级期中）每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者
男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则
选出的2名志愿者性别相同的概率为（）
A．B．C．D．
20．（2017春•浉河区校级期末）一袋中有大小相同的5个红球和2个白球，如
果不放回地取2个小球．在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概
率是（）
A．B．C．D．
21．（2017春•南阳期末）从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将
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其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）
A．B．C．D．
22．（2017春•河南期末）已知三个学生A、B、C能独立解出一道数学题的概率
分别是0.6、0.5、0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解
出的概率为（）
A．0.88B．0.90C．0.92D．0.95
23．（2017•新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，
放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
的概率为（）
A．B．C．D．
24．（2017•商丘三模）甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁
三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”
（即乙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）
A．B．C．D．
25．（2017春•七里河区校级期中）从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中，任取
一个，所取集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是（）
A．B．C．D．
26．（2017春•南阳期末）从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲
被选中的概率是（）
A．B．C．D．
27．（2016秋•南阳期末）五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，
甲丙也相邻的概率为（）
A．B．C．D．
28．（2017•武侯区校级模拟）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，
4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的
数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默
契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）
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A．B．C．D．
29．（2017春•新乡期末）我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即
大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则
该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（）
A．B．C．D．
30．（2017•平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球
和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙
袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）
A．B．C．D．
31．（2017春•河南期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比
拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是（）
A．B．C．D．
32．（2016春•兰考县校级期末）盒子中有大小形状完全相同的4个红球和3个
白球，从中不放回的一次摸出两个球，在第一次摸出的是红球的前提下，第
二次也摸出红球的概率为（）
A．B．C．D．
33．（2016春•河南月考）已知集合M=N={x∈N|0≤x≤3}，定义函数f：M→N，
且以AC为底边的等腰△ABC的顶点坐标分别为A（0，f（0）），B（1，f（1）），
C（2，f（2）），则在所有满足条件的等腰△ABC中任取一个，取到腰长为
的等腰三角形的概率为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
34．（2018春•商丘期末）将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、
白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球．则红球不在红盒内且黄
球不在黄盒内的概率是
35．（2018春•平顶山期末）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2
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枝二等品和一枝三等品，从中任取3枝，则恰有2枝一等品的概率是．
36．（2017春•息县校级月考）有5条长度分别为1，3，5，6，7的线段，从中
任意取出3条，则所取3条线段可以构成三角形的概率为．
37．（2017春•和平区校级期末）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在
至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是．
38．（2017春•濮阳期末）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z
评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机
抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A
1A2A3A4A5
质量指标
（x，y，z）
（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）
产品编号
A
6A7A8A9A10
质量指标
（x，y，z）
（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件
B发生的概率．
三．解答题（共12小题）
39．（2018春•新乡期末）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个
小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次
取出1个球，共取两次．
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率．
40．（2018•濮阳三模）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游
客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅
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游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），
则称为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响
度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总
收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）
频数
b1849245
（Ⅰ）求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（Ⅱ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）
之间的关系为y=，求甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50，60）的总人数中，用分层抽样的方法
随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加
座谈的导游中有乙公司导游的概率．
41．（2017秋•峨山县校级期末）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征
召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第
5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活
动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣
传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
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42．（2018春•宛城区校级月考）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的
点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
（1）求P（A），P（B），P（AB）．
（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为
多少？
43．（2018•兰州模拟）某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随
机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：
分组回答正确的人数回答正确的人数
占本组的频率
第1组[15，25）
50.5
第2组[25，35）
a0.9
第3组[35，45）
27x
第4组[45，55）
b0.36
第5组[55，65）
3y
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4
组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：
所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率．
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44．（2018•乐山二模）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄
在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第
3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图
如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]
人数
25ab
（1）求正整数a，b，N的值；
（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在
第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰
有1人在第3组的概率．
45．（2018•重庆模拟）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65
岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结
果如下图表．
组号分组回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的频率
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第1组[15，25）
a0.5
第2组[25，35）
18x
第3组[35，45）
b0.9
第4组[45，55）
90.36
第5组[55，65]
3y
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，
4组每组各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人
的概率．
46．（2017春•滑县期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了
这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分
取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局
部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别分组频数频率
第1组[50，60）
80.16
第2组[60，70）
a
■
第3组[70，80）
200.40
第4组[80，90）■
0.08
第5组[90，100]
2b
第11页（共48页）
合计■■
（1）写出a，b，x，y的值．
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取
2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学的成绩在[90，100]内的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
47．（2016秋•杜尔伯特县期末）某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成
绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率
如表所示：
命中环数10环9环8环7环
概率
0.300.280.180.12
求该射击队员射击一次，
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率．
48．（2016秋•惠州期末）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元
与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，
15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；
（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，
18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．
第12页（共48页）
49．（2017•郑州三模）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空
气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/
立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天
对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）
第一组（0，35]
32
第二组（35，75]
64
第三组（75，115]
16
第四组115以上
8
（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干
天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概
率．
50．（2017•乐山三模）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分
布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩
形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在
抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
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2018年12月01日高中数学的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共33小题）
1．（2017秋•周口期末）将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等
差数列的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】将一骰子扔一次有6种不同的结果，则将一骰子连续抛掷三次有63个
结果，这样做出了所有的事件数，而符合条件的为等差数列有三类：公差为0
的有6个；公差为1或﹣1的有8个；公差为2或﹣2的有4个，共有18个
成等差数列的，根据古典概型公式得到结果．
【解答】解：将一个骰子连续掷3次，
基本事件总数n=6×6×6=216，
其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；
（2）公差为1或﹣1的有8个；
（3）公差为2或﹣2的有4个，
∴共有18个成等差数列，
∴它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为p==．
故选：A．
2．（2018春•三门峡期末）5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取
三张，则所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取三张，基本事件总
数n==10，由此能求出所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率．
【解答】解：5张卡片上分别写着数字1，2，3，4，5，从中任取三张，
基本事件总数n==10，
第15页（共48页）
所取3张卡片上的数字的中位数为3包含的基本事件有：
（1，3，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，3，5），共4个，
∴所取3张卡片上的数字的中位数为3的概率为p==．
故选：C．
3．（2018春•南阳期末）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个
白球，5个红球．从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）
A．
B．1﹣
C．
D．1﹣
【分析】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从
袋中任取3个球，基本事件总数n=，所取的3个球颜色不同包含的基本
事件个数m=+，由此能求出所取的3个球颜色不同的概率．
【解答】解：袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个
红球．从袋中任取3个球，
基本事件总数n=，
所取的3个球颜色不同包含的基本事件个数m=+，
∴所取的3个球颜色不同的概率为p==．
故选：C．
4．（2018春•商丘期末）将数字1、2、3填入标号为1，2，3的三个方格里，每
格填上一个数字，则方格的标号与所填的数字有相同的概率是（）
A．B．C．D．
第16页（共48页）
【分析】先求出基本事件总数n=，利用列举法求出方格的标号与所填的数
字没有相同的情况有两种，由此能求出方格的标号与所填的数字有相同的概
率．
【解答】解：将数字1、2、3填入标号为1，2，3的三个方格里，每格填上一个
数字，
基本事件总数n=，
方格的标号与所填的数字没有相同的情况有两种：
即1，2，3的三个方格里的数字分别为2，3，1或是3，1，2，
∴方格的标号与所填的数字有相同的概率是：
p=1﹣=．
故选：B．
5．（2018•河南模拟）大型反贪电视剧《人民的名义》播出之后，引起观众强烈
反响，为了解该电视剧的人物特征，小赵计划从1～6集中随机选取两集进行
观看，则他恰好选择连续的据两集观看的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n==15，利用列举法求出他恰好选择连续的据两集观看
包含的基本事件有5个，由此能求出他恰好选择连续的据两集观看的概率．
【解答】解：计划从1～6集中随机选取两集进行观看，
基本事件总数n==15，
他恰好选择连续的据两集观看包含的基本事件有5个，分别为：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），
则他恰好选择连续的据两集观看的概率为p=．
故选：B．
6．（2018•河南二模）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，
在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】男生甲不站两端，共有n=C
4
1A5
5=480种，考虑3位女生中有且只有两位
第17页（共48页）
相邻的排列，共有C
3
2A2
2A4
2A3
3=432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生
甲在两端的排列有2×C
3
2A2
2A3
2A2
2=144种，从而不同的排列方法共有m=432
﹣144=288种，由此能求出在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相
邻的概率．
【解答】解：男生甲不站两端，共有n=C
4
1A5
5=480种，
考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C
3
2A2
2A4
2A3
3=432种，
在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C
3
2A2
2A3
2A2
2=144种，
∴不同的排列方法共有m=432﹣144=288种，
∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：
p==．
故选：C．
7．（2018•孝义市一模）从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透
明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】随机摸出两个小球，基本事件总数n==15，两个小球同色包含的基本
事件个数m==6，由此能求出两个小球同色的概率．
【解答】解：从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，
随机摸出两个小球，基本事件总数n==15，
两个小球同色包含的基本事件个数m==6，
∴两个小球同色的概率是p===．
故选：C．
8．（2018•洛阳二模）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于
10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，
该数为奇数的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】任取一个“十全十美三位数”，利用列举法求出包含的基本事件有40个，
其中奇数有20个，由此能求出任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概
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率．
【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：
109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，
613，631，
145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，
523，532，
307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，
其中奇数有20个，
∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p==．
故选：C．
9．（2018•新乡二模）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，
0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参
加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）
A．0.56B．0.336C．0.32D．0.224
【分析】利用相互独立试验概率乘法公式能求出该选手只闯过前两关的概率．
【解答】解：某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，
0.6，
只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．
一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：
p=0.8×0.7×（1﹣0.6）=0.224．
故选：D．
10．（2018•全国一模）从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则
在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P
（A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到
奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．
【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，
第19页（共48页）
设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，
则P（A）=，P（AB）==，
则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：
P（A|B）===．
故选：B．
11．（2018春•南岗区校级期中）10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽
两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次也抽到中奖券”，
P（A）=，P（AB）=，由此能求出在第一次抽到中奖券的条件下，
第二次也抽到中奖券的概率．
【解答】解：10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．
设事件A表示“第一次抽到中奖券”，
事件B表示“第二次也抽到中奖券”，
P（A）=，P（AB）=，
∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：
P（B|A）==．
故选：A．
12．（2018春•三门峡期末）某产品分为A、B、C三级，若生产中出现B级品的
概率为0.03，出现C级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得A级品的概
率是（）
A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96
【分析】根据对立事件的概率公式，计算即可．
【解答】解：根据题意，对该产品抽查一次抽得A级品的概率是
P=1﹣0.03﹣0.01=0.96．
故选：D．
第20页（共48页）
13．（2018•天河区三模）在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个
两位数，则这个数能被4整除的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】利用列举法求出符合条件的所有两位数的个数和能被4整除的数的个
数，由此能求出这个数能被4整除的概率．
【解答】解：符合条件的所有两位数为：
12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45共12个，
能被4整除的数为12，32，52共3个，
所求概率．
故选：D．
14．（2017秋•新余期末）一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分
别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一
个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条
件下，乙摸1号球的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，甲获胜包括5个基本事件：（2，1），
（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包括2
个基本事件：（2，1），（2，1）即可得出．
【解答】解：用（x，y）表示甲乙摸球的号码，则甲获胜包括5个基本事件：（2，
1），（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包
括2个基本事件：（2，1），（2，1）．
则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率P=．
故选：D．
15．（2017秋•上高县校级期末）甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以
参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组
的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得．
第21页（共48页）
【解答】解：总的可能性为3×3=9种，
两位同学参加同一个小组的情况为3种，
∴所求概率P==，
故选：A．
16．（2018•信阳二模）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，
第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在
直线2x﹣y=1上的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列
举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得
到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，
当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，
∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概
率：
P=．
故选：A．
17．（2018春•城关区校级期末）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意
的，则第一个打电话给甲的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等
均为，从而可得到正确的选项．
【解答】解：∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选：B．
第22页（共48页）
18．（2017春•宛城区校级月考）从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不
重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】先求出基本事件总数n=3×14=42，再由列举法求出甲数a大于乙数b
包含的基本事件（a，b）的个数，由此能求出甲数大于乙数的概率．
【解答】解：从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），
甲取到的数是5的倍数，
基本事件总数n=3×14=42，
则甲数a大于乙数b包含的基本事件（a，b）有：
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（10，1），（10，2），（10，3），
（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），（15，1），
（15，2），（15，3），（15，4），（15，5），（15，6），（15，7），（15，8），
（15，9），（15，10），（15，11），（15，12），（15，13），（15，14），共27个，
∴甲数大于乙数的概率p==．
故选：A．
19．（2017秋•罗湖区校级期中）每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者
男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则
选出的2名志愿者性别相同的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出选出的2名志愿者性别相同包含
的基本事件个数m==4，由此能求出选出的2名志愿者性别相同的概率．
【解答】解：某班有青年志愿者男生3人，女生2人，
现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，
基本事件总数n==10，
选出的2名志愿者性别相同包含的基本事件个数m==4，
∴选出的2名志愿者性别相同的概率为p==．
故选：B．
第23页（共48页）
20．（2017春•浉河区校级期末）一袋中有大小相同的5个红球和2个白球，如
果不放回地取2个小球．在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概
率是（）
A．B．C．D．
【分析】设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”则P（A）
=，P（AB）==，由此利用条件概率能求出在第1次取到红球的条
件下，第2次取到红球的概率．
【解答】解：一袋中有大小相同的5个红球和2个白球，如果不放回地取2个小
球，
设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”
则P（A）=，P（AB）==，
∴在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率：
P（B|A）===．
故选：C．
21．（2017春•南阳期末）从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将
其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，“抽出的两张都是假币”为事
件B，利用条件概率计算公式能求出将其中1张放到验钞机上检验发现是假
钞，则另一张也是假钞的概率．
【解答】解：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，
记“抽出的两张都是假币”为事件B，
则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：
第24页（共48页）
．
故选：A．
22．（2017春•河南期末）已知三个学生A、B、C能独立解出一道数学题的概率
分别是0.6、0.5、0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解
出的概率为（）
A．0.88B．0.90C．0.92D．0.95
【分析】该题被解出的对立事件是三个学生都没有解出这道题，由此利用对立事
件概率计算公式能求出该题被解出的概率．
【解答】解：三个学生A、B、C能独立解出一道数学题的概率分别是0.6、0.5、
0.4，
现让这三个学生各自独立解这道数学题，
该题被解出的对立事件是三个学生都没有解出这道题，
∴该题被解出的概率：
p=1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.5）（1﹣0.4）=0.88．
故选：A．
23．（2017•新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，
放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上
的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张
卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再
随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
第25页（共48页）
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，
3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．
故选：D．
24．（2017•商丘三模）甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁
三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”
（即乙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】利用隔板法得到共计有n==10种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数
m=4，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．
【解答】解：如下图，利用隔板法，
得到共计有n==10种领法，
乙领2元获得“最佳手气”的情况有1种，
乙领3元获得“最佳手气”的情况有2种，
乙领4元获得“最佳手气”的情况有1种，
乙获得“最佳手气”的情况总数m=4，
∴乙获得“最佳手气”的概率p==．
故选：C．
25．（2017春•七里河区校级期中）从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中，任取
一个，所取集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n=25=32，所取集合恰是集合{a，b，c}子集包含听基本事
件个数m=23=8，由此能求出所取集合恰是集合{a，b，c}子集的概率．
第26页（共48页）
【解答】解：从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中，任取一个，
基本事件总数n=25=32，
所取集合恰是集合{a，b，c}子集包含听基本事件个数m=23=8，
∴所取集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是p==．
故选：C．
26．（2017春•南阳期末）从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲
被选中的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】先求出基本事件总数，再求出甲没被选中包含的基本事件个数，由此利
用对立事件概率计算公式能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，
基本事件总数n==6，
甲没被选中包含的基本事件个数m==3，
∴甲被选中的概率p=1﹣=1﹣=．
故选：A．
27．（2016秋•南阳期末）五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，
甲丙也相邻的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，先求出基本事件种数，再求
出甲丙也相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲丙也相邻的概率．
【解答】解：五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，
基本事件种数n==48，
其中甲丙也相邻包含的基本事件个数m==12，
∴甲丙也相邻的概率p=．
故选：A．
28．（2017•武侯区校级模拟）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，
第27页（共48页）
4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的
数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默
契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】分别求出甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件及“甲、乙两人‘默契配合’”
所包含的基本事件，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，
其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），
（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种．
∴甲乙两人“默契配合”的概率为P==．
故选：D．
29．（2017春•新乡期末）我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即
大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则
该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】由排列知识求出由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数
的个数，查出其中“锯齿数”的个数，然后由古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有=24个，
四位数为“锯齿数”的有：1324，1423，2143，2314，2413，3142，3241，3412，
4132，4231共10个，
∴四位数为“锯齿数”的概率为．
故选：B．
30．（2017•平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球
和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙
袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）
第28页（共48页）
A．B．C．D．
【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出
白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．
【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．
抓出白球，抓入白球，概率是=，
故所求事件的概率为=，
故选：C．
31．（2017春•河南期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比
拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可知所选3人中女生人数不超过1人不超过一人，则包括女生有
一个人和女生有0个人，利用古典概型做出这两种情况的概率，这两种情况
是互斥的关系，写出要求的概率．
【解答】解：由题意可知所选3人中女生人数不超过1人不超过一人，
则包括女生有一个人和女生有0个人，
当女生有一个人时的概率P==
当女生人数为0时的概率P==
∴所求事件的概率为P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）
=．
故选：D．
32．（2016春•兰考县校级期末）盒子中有大小形状完全相同的4个红球和3个
白球，从中不放回的一次摸出两个球，在第一次摸出的是红球的前提下，第
二次也摸出红球的概率为（）
A．B．C．D．
第29页（共48页）
【分析】设A表示“第一次摸出的是红球”，B表示“第二次摸出的是红球”，则P
（A）=，P（AB）=×，由此利用条件概率计算公式能求出第一次摸出的
是红球的前提下，第二次也摸出红球的概率．
【解答】解：盒子中有大小形状完全相同的4个红球和3个白球，从中不放回的
一次摸出两个球，
设A表示“第一次摸出的是红球”，B表示“第二次摸出的是红球”，
则P（A）=，P（AB）=×，
∴第一次摸出的是红球的前提下，第二次也摸出红球的概率为：
P（B|A）===．
故选：C．
33．（2016春•河南月考）已知集合M=N={x∈N|0≤x≤3}，定义函数f：M→N，
且以AC为底边的等腰△ABC的顶点坐标分别为A（0，f（0）），B（1，f（1）），
C（2，f（2）），则在所有满足条件的等腰△ABC中任取一个，取到腰长为
的等腰三角形的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，确定构成△ABC且AB=BC的事件数目，AB=BC=时的事件
数目，由等可能事件的概率计算可得答案．
【解答】解：∵集合M=N={x∈N|0≤x≤3}，由点A（0，f（0）），B（1，f（1）），
C（2，f（2））构成△ABC且AB=BC，
∴f（0）=f（2）≠f（1），
∵f（0）=f（2）有四种选择，f（1）有3种选择，
∴从中任取一个映射满足由点A（0，f（0）），B（1，f（1）），C（2，f（2））构
成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12种，
AB=BC=时，f（0）=f（2）=0，f（1）=3，或f（0）=f（2）=3，f（1）=0，有
两种结果，
∴所求概率为
第30页（共48页）
故选：C．
二．填空题（共5小题）
34．（2018春•商丘期末）将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、
白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球．则红球不在红盒内且黄
球不在黄盒内的概率是0.65
【分析】基本事件总数n==120，红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法分
为两类：红球不在黄盒内，红球不在红盒内也不在黄盒内，由此能求出红球
不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率．
【解答】解：将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5
个盒子里，
每个盒子里放且只放1个小球，基本事件总数n==120，
红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法分为两类：
（1）红球不在黄盒内，这时有放法：
n1=4!=24．
（2）红球不在红盒内也不在黄盒内，共有放法：
n=n1+n2=24+54=78，
∴红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为：
p==．
故答案为：0.65．
35．（2018春•平顶山期末）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2
枝二等品和一枝三等品，从中任取3枝，则恰有2枝一等品的概率是．
【分析】恰有两枝一等品，从3支一等品中任取两支，从二、三等品种任取一支，
利用分步乘法原理计算后除以基本事件总数．
【解答】解：恰有两枝一等品的概率P==，
故答案为：．
第31页（共48页）
36．（2017春•息县校级月考）有5条长度分别为1，3，5，6，7的线段，从中
任意取出3条，则所取3条线段可以构成三角形的概率为0.4．
【分析】利用古典概型公式分别求得所有事件的个数和满足题意的事件的个数，
然后求解概率值即可．
【解答】解：5条线段长度分别为1，3，5，6，7，从中任意取出3条，
基本事件总数，
所取3条线段可构成三角形包含的基本事件的个数m=4，
分别为：（3，5，6），（3，5，7），（3，6，7），（5，6，7），
故所取3条线段可构成三角形的概率是：．
故答案为：0.4．
37．（2017春•和平区校级期末）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在
至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是．
【分析】将4个不同的小球装入4个不同的盒子，分别求出恰好有一个盒子为空
的基本事件、恰好有两个盒子为空的基本事件、恰好有三个盒子为空的基本
事件的个数，由此能求出在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为
空的概率．
【解答】解：将4个不同的小球装入4个不同的盒子，
恰好有一个盒子为空的基本事件有：=144，
恰好有两个盒子为空的基本事件有：=84，
恰好有三个盒子为空的基本事件有：=4，
∴在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是：
p==．
故答案为：．
38．（2017春•濮阳期末）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z
评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机
第32页（共48页）
抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A
1A2A3A4A5
质量指标
（x，y，z）
（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）
产品编号
A
6A7A8A9A10
质量指标
（x，y，z）
（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件
B发生的概率．
【分析】（1）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则
样本的一等品率可求；
（2）①直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可
能结果；
②列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后
利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：（1）计算10件产品的综合指标S，如下表
产品
编
号
A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
S4463454535
其中S≤4的有A
1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，
故该样本的一等品率P=0.6，
从而可估计该批产品的一等品率约为0.6．
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：
（A
1，A2），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A7），（A1，A9），
第33页（共48页）
（A
2，A4），（A2，A5），（A2，A7），（A2，A9），（A4，A5），
（A
4，A7），（A4，A9），（A5，A7），（A5，A9），（A7，A9），共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A
1，A2，A5，A7，
则事件B发生的所有可能结果为：
（A
1，A2），（A1，A5），（A1，A7），（A2，A5），（A2，A7），（A5，A7），共6种．
所以P（B）==．
三．解答题（共12小题）
39．（2018春•新乡期末）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个
小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次
取出1个球，共取两次．
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率．
【分析】（1）求出全体基本事件数，计算满足条件是事件数，求出对应的概率值；
（2）利用对立事件的概率值，计算所求的概率值．
【解答】解：全体基本事件共有5×5=25种情形，
（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12
种情形，
故所求的概率为；
（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，
即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，
即所求的概率为．
40．（2018•濮阳三模）据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游
客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅
游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），
则称为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响
度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总
收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
第34页（共48页）
分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）
频数
b1849245
（Ⅰ）求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（Ⅱ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）
之间的关系为y=，求甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[50，60）的总人数中，用分层抽样的方法
随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加
座谈的导游中有乙公司导游的概率．
【分析】（I）由频率分布直方图能求出a，由频数分布表求出b=4．由此求出甲
公司的导游优秀率和乙公司的导游优秀率，从而得到甲公司的影响度高．
（II）甲公司年旅游总收入[10，20）的人数为10人，年旅游总收入[20，40）
的人数为60人，年旅游总收入[40，60）的人数为30人，由此能求出甲公司
导游的年平均奖金．
（III）年旅游总收入在[50，60）的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5
人．按分层抽样的方法甲公司抽取4人，记为a，b，c，d，从乙公司抽取2
人，记为1，2．从6人中随机抽取2人，利用列举法能坟出参加座谈的导游
中有乙公司导游的概率．
【解答】（12分）
解：（I）由直方图知：（0.01+0.025+0.035+a+0.01）×10=1，
解得a=0.02，
由频数分布表知：b+18+49+24+5=100，解得b=4．
∴甲公司的导游优秀率为：（0.02+0.01）×10×100%=30%；
第35页（共48页）
乙公司的导游优秀率为：；
由于30%＞29%，所以甲公司的影响度高．………………………（4分）
（II）甲公司年旅游总收入[10，20）的人数为0.01×10×100=10人，
年旅游总收入[20，40）的人数为（0.025+0.035）×10×100=60人，
年旅游总收入[40，60）的人数为（0.02+0.01）×10×100=30人，
故甲公司导游的年平均奖金（万元）．……（8分）
（III）由已知得，年旅游总收入在[50，60）的人数为15人，其中甲公司10人，
乙公司5人．
按分层抽样的方法甲公司抽取6×=4人，记为a，b，c，d，
从乙公司抽取6×=2人，记为1，2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），
（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）共15个．
参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：
（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）
共9个．
设事件A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，
则P（A）==，∴所求概率为．…………………………………………………（12分）
41．（2017秋•峨山县校级期末）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征
召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第
5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活
动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣
传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
第36页（共48页）
【分析】（1）利用分层抽样定义及频率分布图能求出结果．
（2）该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，基本事件
总数n==15，第4组至少有一名志愿者被抽中包含的基本事件个数
m==9，由此能求出第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
【解答】解：（1）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场
的宣传活动，
由频率分布图得：
应从第3组抽取：6×=3名志愿者，
应从第4组抽取：6×=2名志愿者，
应从第5组抽取：6×=1名志愿者．
（2）该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，
基本事件总数n==15，
第4组至少有一名志愿者被抽中包含的基本事件个数m==9，
∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p=．
42．（2018春•宛城区校级月考）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的
点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
（1）求P（A），P（B），P（AB）．
（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为
多少？
【分析】（1）先求出所有可能的事件的总数，及事件A，事件B，事件AB包含
的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
第37页（共48页）
（2）由题意知这是一个条件概率，
方法一：根据P（B|A）=，结合（1）中结论求解；
方法二：根据P（B|A）=，结合（1）中结论求解；
【解答】解：（1）设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，
则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．
由图可得：共有36种基本事件，
其中事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”包括12件，
事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”包括10件，
事件AB包括5件，
故P（A）==，
P（B）==，
P（AB）=；
（2）方法一：
当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率：
P（B|A）==
方法二：
当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率：
P（B|A）==
43．（2018•兰州模拟）某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随
机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：
第38页（共48页）
分组回答正确的人数回答正确的人数
占本组的频率
第1组[15，25）
50.5
第2组[25，35）
a0.9
第3组[35，45）
27x
第4组[45，55）
b0.36
第5组[55，65）
3y
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4
组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：
所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率．
【分析】（1）由统计表先求出第1组人数，由此求出n，由此利用频率分布直方
图能求出a，b，x，y的值．
（2）第三产业，3，4组回答正确的人数比为18：27：9=2：3：1，由此能求出
第2，3，4组每组各抽取的人数．
（3）从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有=15种，其中第2组至少
有1人的情况有15﹣=9种，由此能求出结果．
【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，
第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18，
第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9，
第39页（共48页）
第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9，
第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．…5分
（2）第三产业，3，4组回答正确的人数比为18：27：9=2：3：1，
∴第2，3，4组每组应抽取的人数分别为2人，3人，1人．…8分
（3）从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有=15种，
其中第2组至少有1人的情况有15﹣=9种，
故所求概率为p==．…12分
44．（2018•乐山二模）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄
在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第
3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图
如图所示．下表是年龄的频率分布表．
区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]
人数
25ab
（1）求正整数a，b，N的值；
（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在
第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰
有1人在第3组的概率．
【分析】（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的
值；
（2）计算分层抽样的抽取比例为=，用抽取比例乘以每组的频数，可得
第40页（共48页）
每组抽取人数；
（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数
与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相
同，
∴a=25人．
且人．
总人数人．
（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中
抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为，
第2组的人数为，
第3组的人数为，
∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．
（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为
C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
（A，B），（A，C
1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），
（B，C
4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），
共有15种．
其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C
1），（A，C2），（A，C3），（A，
C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为．
45．（2018•重庆模拟）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65
岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结
果如下图表．
组号分组回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的频率
第41页（共48页）
第1组[15，25）
a0.5
第2组[25，35）
18x
第3组[35，45）
b0.9
第4组[45，55）
90.36
第5组[55，65]
3y
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，
4组每组各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人
的概率．
【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布
直方图求得n，a，b，x，y的值；
（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取
比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；
（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰
好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．
【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n=，
∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
第42页（共48页）
；
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：
人；第3组：人；第4组：人
（Ⅲ）设第2组2人为：A
1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：
C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A
1，A2），（A1，B1），（A1，B2），
（A
1，B3），（A1，C1），
（A
2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，
B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，
其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．
46．（2017春•滑县期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了
这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分
取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局
部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别分组频数频率
第1组[50，60）
80.16
第2组[60，70）
a
■
第3组[70，80）
200.40
第4组[80，90）■
0.08
第5组[90，100]
2b
合计■■
（1）写出a，b，x，y的值．
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取
2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学的成绩在[90，100]内的概率；
第43页（共48页）
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
【分析】（1）利用频率=×100%，及表示频率分布直方图的纵坐
标即可求出a，b，x，y的值．
（2）①由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公
式即可求出从这6人中任选2人的种数，利用对立事件概率计算公式能求出
结果．
②再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典
概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）由题意可知，样本容量==50，
∴b==0.04，
第四组的频数=50×0.08=4，
∴a=50﹣8﹣20﹣2﹣4=16．
y==0.004，x=×=0.032．
∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．…（8分）
（2）①由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．…（9分）
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有C=15种情
况．
设事件A：所抽取的2名同学中至少有1名同学的成绩在[90，100]内，
则P（A）=1﹣=．
②记事件B：随机抽取的2名同学来自同一组，
第44页（共48页）
则P（B）==．
47．（2016秋•杜尔伯特县期末）某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成
绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率
如表所示：
命中环数10环9环8环7环
概率
0.300.280.180.12
求该射击队员射击一次，
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率．
【分析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”的事件分别为A、B、C、
D
（1）在一次射击中射中10环或9环，即射中10环和射中9环，由互斥事件的
概率公式，再分别相加即可．
（2）在一次射击中至少射中8环，即射中10环，射中9环，射中8环，再将对
应的概率相加即可．
（3）在一次射击中射中环数不足8环，即射中7环和射中7环以下，再利用互
斥事件概率计算即可．
【解答】解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”的事件分别为A、
B、C、D
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.30+0.28=0.58，
即射中10环或9环的概率为0.58．
（2）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.30+0.28+0.18=0.76，
即至少射中8环的概率为0.76．
（3）1﹣P（A+B+C）=1﹣0.76=0.24，
即射中环数不足8环的概率为0.24．
48．（2016秋•惠州期末）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元
与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，
第45页（共48页）
15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；
（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，
18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．
【分析】（Ⅰ）价格在[16，17）内的频数为0.32，价格在[16，17）内的地区数
为16，设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，能计该商品价
格的中位数．
（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为3，价格在[17，18）的地区数
为4，由此能求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）价格在[16，17）内的频数为1﹣（0.06+0.08+0.16+0.38）=0.32，
所以价格在[16，17）内的地区数为50×0.32=16，…（2分）
设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，
解得：x≈15.7（元）
估计该商品价格的中位数为15.7．（5分）
（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为50×0.06=3，记为x、y、z，
价格在[17，18）的地区数为50×0.08=4，
记为A、B、C、D，若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz3种情况，
若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况，
若m，n分别在[13，14）和[17，18）内时，
ABCD
xxAxBxCxD
yyAyByCyD
第46页（共48页）
zzAzBzCzD
共有12种情况．（10分）所以基本事件总数为21种，
事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种，
∴事件“|m﹣n|＞1”的概率P（|m﹣n|＞1）=．…（12分）
49．（2017•郑州三模）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空
气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/
立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天
对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）
第一组（0，35]
32
第二组（35，75]
64
第三组（75，115]
16
第四组115以上
8
（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干
天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概
率．
【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层
抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的
平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和
满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概
率计算公式，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，
抽样比k==，
第一组抽取32×=8天；
第二组抽取64×=16天；
第47页（共48页）
第三组抽取16×=4天；
第四组抽取8×=2天
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的
平均浓度在115以上的两天记为1，2．
所以6天任取2天的情况有：
AB，AC，AD，A1，A2，
BC，BD，B1，B2，CD，
C1，C2，D1，D2，12，共15种
记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：
A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种
所以，所求事件A的概率P=
50．（2017•乐山三模）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分
布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩
形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在
抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在
[50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；
（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去[50，80）外的人数，即
可得到[50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中[80，90）间矩形
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的高；
（Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古
典概型概率计算公式即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a
1，a2，a3，[90，100）之间的2个
分数编号为b
1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a
1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，
b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．