指数运算公式

指数运算公式

-

2023年3月19日发(作者：Posital)

指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数

yayxx

a

，log

在

a1

及

01a

两种不同情况。

1、指数函数：

定义：函数yaaax01且

叫指数函数。

定义域为R，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数

yax

中的a必须aa01且。

因为若

a0

时，yx4，当

x

1

4

时，函数值不存在。

a0

，

yx0

，当

x0

，函数值不存在。

a1

时，

yx1

对一切x虽有意义，函数值恒为1，但

yx1

的反函数不存在，因为要求函

数

yax

中的aa01且。

1、对三个指数函数

yyyx

x

x













2

1

2

10，，

的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征函数性质

（1）图象都位于x轴上方；

（1）x取任何实数值时，都有

ax0

；

（2）图象都经过点（0，1）；

（2）无论a取任何正数，

x0

时，

y1

；

（3）

yyxx210，

在第一象限内的纵

坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标

都小于1，y

x















1

2

的图象正好相反；

（3）当

a1

时，

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

当

01a

时，

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

（4）

yyxx210，

的图象自左到右逐

渐上升，y

x















1

2

的图象逐渐下降。

（4）当

a1

时，

yax

是增函数，

当

01a

时，

yax

是减函数。

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如yx2和yx10相交于()01，，当x0时，

yx10

的图象在yx2的图象的上方，当

x0

，刚好相反，故有10222及10222。

②

yx2

与

y

x















1

2

的图象关于y轴对称。

③通过

yx2

，

yx10

，

y

x















1

2

三个函数图象，可以画出任意一个函数

yax

（aa01且）

的示意图，如

yx3

的图象，一定位于

yx2

和

yx10

两个图象的中间，且过点()01，，从而

y

x















1

3

也由关于y轴的对称性，可得

y

x















1

3

的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识

无限个函数的图象。

2、对数：

定义：如果

aNaab()01且

，那么数b就叫做以a为底的对数，记作

bN

a

log

（a是底

数，N是真数，

log

a

N

是对数式。）

由于

Nab0

故

log

a

N

中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：

求

log

.032

52

4













分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成

log

.032

52

4













x

，再改写

为指数式就比较好办。

解：设

log

.032

52

4













x

评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必

须因题而异。如求

35x

中的

x，化为对数式

xlog

3

5

即成。

（2）对数恒等式：

由aNbNb

a

()log()12

将（2）代入（1）得aNa

Nlog

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的

底数相同。

计算：31

3

2log

解：原式



















3

1

3

1

2

2

22

1

3

1

3

log

log

。

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数；

②1的对数是零；

③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：

①logloglog

aaa

MNMNMNR，

②logloglog

aaa

M

N

MNMNR，

③loglog

a

n

a

NnNNR

④loglog

a

n

a

N

n

NNR

1

3、对数函数：

定义：指数函数

yaaax()01且

的反函数

yx

a

log

x(,)0

叫做对数函数。

1、对三个对数函数yxyxloglog

21

2

，，

yxlg

的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征函数性质

（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；

（2）图象都过点（1，0）；

（2）

x1

时，

y0

。即

log

a

10

；

（3）

yxlog

2

，

yxlg

当

x1

时，图

象在x轴上方，当

00x

时，图象在x

轴下方，

yxlog

1

2

与上述情况刚好相

反；

（3）当

a1

时，若

x1

，则

y0

，若

01x

，则

y0

；

当

01a

时，若

x0

，则

y0

，若

01x

时，则

y0

；

（4）

yxyxloglg

2

，

从左向右图象

是上升，而

yxlog

1

2

从左向右图象是下

降。

（4）

a1

时，

yx

a

log

是增函数；

01a

时，

yx

a

log

是减函数。

对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是

yxlog

2

与

yxlg

在点（1,0）曲线是交叉

的，即当

x0

时，

yxlog

2

的图象在

yxlg

的图象上方；而

01x

时，

yxlog

2

的图象在

yxlg

的图象的下方，故有：

.

2

1515

；

.

2

0101

。

（2）yxlog

2

的图象与

yxlog

1

2

的图象关于x轴对称。

（3）通过

yxlog

2

，

yxlg

，

yxlog

1

2

三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示

意图，如作

yxlog

3

的图象，它一定位于

yxlog

2

和

yxlg

两个图象的中间，且过点（1,0），

x0

时，在

yxlg

的上方，而位于

yxlog

2

的下方，

01x

时，刚好相反，则对称性，可知

yxlog

1

3

的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：

由换底公式可得：

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）

log

log

loglog

a

b

ab

b

a

ba

1

1或·

（2）

loglog

a

m

anb

m

n

b

（3）

loglog

a

n

anbb

（4）

log

a

m

na

m

n



5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超

越方程。

指数方程的题型与解法：

名称题型解法

基本型

同底数型

不同底数型

需代换型

取以a为底的对数fxb

a

log

取以a为底的对数fxx

取同底的对数化为

fxaxb··lglg

换元令

tax

转化为t的代数方程

对数方程的题型与解法：

名称题型解法

基本题

对数式转化为指数式fxab

同底数型

转化为fxx（必须验根）

需代换型

换元令

tx

a

log

转化为代数方程