曲面的法向量

曲面的法向量

-

2023年3月19日发(作者：发芽率)

法向量

1在平面几何中,如果一个向量垂直于一条直线,那么它就叫做直线的法向

量.

2在立体几何中,如果一个向量垂直于一个平面,那么它就叫做平面的法向量.

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点p处的法线为垂直于

该点切平面的向量。

3在立体几何中,如果一个向量同时垂直于两条或多条异面直线,那么该向量

叫做这些异面直线的公共法向量.

比方说,

1在平面上有直线y=x,那么向量(1,-1)就是这条直线的(一个)法向量(注意法

向量是无穷多的).

2在立体空间中有由x轴和y轴确定的平面,那么这个平面就有一个法向量

(0,0,1).

法线法向量是否唯一的？

曲面法线的法向量不具有唯一性；在相反方向的法线也是曲面的法线；法线

的两个方向的法向量都可以表示这条法线方向。定向曲面的法线通常按照右手定

则来确定。

法向量的模等于1的法向量叫单位法向量。

如何用矩阵行列式求法向量？

如果矩阵是方阵(如nxn)：它的行向量组线性相关，则r(A)如果矩阵不是方

阵，则上述结论不一定成立，比如一个4x3的矩阵，如果它的行向量组的秩为3，

那么行向量组线性相关，此时列向量组的秩也为3，但列向量组线性无关。

平面四边形，知道四个节点的坐标，求一条边的x，y方向的法向量，nx和

ny，怎么求？

先表示出一条直线的向量，再根据（法向量）点乘（向量）的点乘积为0，

就可以求出来了。

怎样通过点法向量方程式求法向量？请解释为什么d=(b,-a)是直线l（它的

方程式是：ax+by+c=0）的一个方向向量。

首先，直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行。

在直线ax+by=0上取一点（b，-a），则向量（b，-a）与直线ax+by=0共线。

所以向量（b，-a）是直线ax+by=0的一个方向向量。

而直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行，

所以向量（b，-a）是直线ax+by+c=0的一个方向向量。

求法向量的一个简单公式：

已知平面内两条不平行的直线的方向向量分别为n1、n2，则该平面的法向

量=n1×n2。

如何求立体几何中的法向量？

首先对该立体图形建立坐标系，如果能建，则可求面的法向量：

求面的法向量的方法是：

1、尽量在图中找到垂直于面的向量；

2、如果找不到，那么就设法向量n=（x,y,z），

然后因为法向量垂直于面，所以n垂直于面内两相交直线，可列出两个含有

x、y、z的方程，两个方程中有三个未知数，解不出一个唯一的解。但可以根据

题目情况、计算方便，使z（或x或y）等于一个具体的数，就变成了两个未知

量两个方程的方程组了，是可解方程组，解出唯一的解，就是设的那个法向量

n(x,y,z)了.