积分第一中值定理
能力培训-k线技术分析
2023年3月19日发(作者：齿轮怎么画)__________________________________________________
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第九讲积分第一中值定理的叙述方式及其应用
积分第一中值定理无论在理论上或应用
上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理
的条件、结论及其证明方法，并用它来解决
问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙
述方式不同，应用它解决问题的方便程度也
有所不同。目前一般的《数学分析》教材中，
积分第一中值定理有如下的叙述方式：
定理1设()[,],()[,]fxCabgxRab，且()gx在
[,]ab不变号，则[,],()()()()
bb
aa
abfxgxdxfgxdx
。
关于定理1的叙述方式及相应的证明，
有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数
学分析教科书。
定理1中的结论，[,]ab可以改为(,)ab。
将闭区间改为开区间，有时应用起来更方
便。
定理2设()[,],()[,]fxCabgxRab，且()gx在
[,]ab不变号，则(,),()()()()
bb
aa
abfxgxdxfgxdx
。
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证明：因为()[,],fxCab所以()fx在[,]ab上有最大值M，最小值m，
设
1212
(),(),,[,]fxmfxMxxab。先证明存在常数[,]mM有
()()()
bb
aa
fxgxdxgxdx。（9。1）
不妨设()0,[,]gxxab，则()0
b
a
gxdx，且
()()()()()()()()
bbb
aaa
mgxfxgxMgxmgxdxfxgxdxMgxdx
若()0()()0
bb
aa
gxdxfxgxdx，则
m
与M之间的任何数都可为。
若()0
b
a
gxdx，则
()()
()
b
a
b
a
fxgxdx
mM
gxdx
，取
()()
()
b
a
b
a
fxgxdx
gxdx
，则
mM，()()()
bb
aa
fxgxdxgxdx。
现证定理2，若()0
b
a
gxdx，定理2显然成立。今设()0
b
a
gxdx。
（1）若（9。1）式中的满足：mM，由于()[,]fxCab，
所以存在
12
,[,]xxab，
12
(),()fxmfxM，不妨设
12
xx，因为()fx在[,]ab连续，从而
1212
[,],(),,(,)xxfxxab，有
()()()()
bb
aa
fxgxdxfgxdx。
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（2）若mM至少有一个等号成立，不妨设m，则
()()0,[,]Fxfxxab。若(,),()abf则定理已成立。
假如，(,),()xabfx，则将导致矛盾。事实上，因为已有
()()
()
b
a
b
a
fxgxdx
gxdx
和()()0,(,)Fxfxxab。
今将闭区间[,]ab作
n
等分，从左到右记各小区间为
12
,,,
n
，并
记()(1,2,,)
k
k
Igxdxkn
。
又记[,]ab的长度为，则适当取
n
，总可使积分
()0
b
n
a
n
Igxdx
。（9。2）
因若对一切
n
均有0()lim0
b
n
a
IgxdxI
矛盾。又因为
231n
IIII
，（9。3）
这里，
0,(2,3,,1)
k
Ikn，（9。4）
由（9。2）、（9。3）、（9。4）知至少存在一个子区间
0
k
，使其相应积分
0
0
k
I
，
注意到闭区间
0
00
1
[,]
k
kk
aa
nn
上的连续函数
0
()()0,
k
Fxfxx
，记
0
0
min{()}
k
x
ffx
，则
0
0f，从而
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0
0
0
1
00
0()()()[()]()
[()]()[()]()
()0
kk
k
bbb
aaa
n
k
k
fxgxdxgxdxfxgxdx
fxgxdxfxgxdx
fgxdxfI
矛盾。故(,),()()()()
bb
aa
abfxgxdxfgxdx。
证明某些命题，应用定理2的结论比应用定理财的结论更为简单。
例1．（第八讲第6题）设()ft在(,)连续，证明：
1
0
lim()(0)
1
n
n
x
fdxf
x
。
（武汉大学2003年试卷）
证明：因为()ft在(,)连续，对任意的自然数
n
[0,1],[0,1][0,1]()[0,1]
11
nnxx
tCxtfC
xx
，
0(1),
1
0
()(0)()(0)(0,1)
11
nnx
fdxfff
x
因为，
(0,1),lim0,
1
n
n
由()ft的连续性，
lim()(0)
1
n
n
ff
，
所以，,,()(0)
1
n
NnNff
，从而有
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1
0
()(0)
1
nx
fdxf
x
。
所以，
1
0
lim()(0)
1
n
n
x
fdxf
x
。
例2．证明：
2
0
limsin0n
n
xdx
证明：方法1：用定理1证明。
0,0,[0,][0,][,]
2222
，从而有
2222
00
22
sinsinsinsin()sin
2
nnnnnxdxxdxxdxxdx
[0,]
2
，所以，
sin1,limsin0,,sin
2
nnn
n
NnN
，从而有，
2
0
sin2nxdx
，所以，
2
0
limsin0n
n
xdx
。
方法2：用定理2证明。
由定理睬，知
22
00
sinsinsin0(),(sin1)
2
nnnnxdxdxn
。
例3．证明不等式
2
2
0
1
2
12
1sin
2
dx
x
。
证明：
2
22
0
11
,(0,)
22
11
1sin1sin
22
dx
x
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因为，2
2
111
1sin112
22
1
1sin
2
，所以，
2
2
0
1
2
12
1sin
2
dx
x
。
习题9
1．设()yx在[0,)有连续导数，且lim[()()]0
x
yxyx
，求证：
lim()0
x
yx
。
2．证明，若()fx在[0,2]连续，则
22
00
2
lim()sin()
n
fxnxdxfxdx
。