全称量词
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2023年3月19日发(作者：好听的男生名)专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！
个性化辅导讲义
学校：年级：课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课课题
全称量词和存在量词
授课时间及时段2019年月日星期六时段：16:00—18：00
教学目标
1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义.
2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点)
3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)
教学内容与过程
知识清单一.全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
(1)全称量词
短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.
(2)全称命题
含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号
简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
2.存在量词与特称命题
(1)存在量词
短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词.
(2)特称命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立”可用符
号简记为∃x
0
∈M，p(x
0
)读作“存在一个x
0
属于M，使p(x
0
)成立”.
知识点二.含有一个量词的命题的否定
命题命题的表述
全称命题p
∀x∈M，p(x)
全称命题的否定﹁p
∃x
0
∈M，﹁p(x
0
)
特称命题p∃x
0
∈M，p(x
0
)
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特称命题的否定﹁p
∀x∈M，﹁p(x)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()
(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.()
【答案】(1)×(2)√(3)×
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题﹁p的否定是p.()
(2)∃x
0
∈M，p(x
0
)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.()
(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.()
【答案】(1)√(2)√(3)√
[小组合作型]
全称命题与特称命题的区别
(1)下列命题中全称命题的个数是()
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
A.0B.1
C.2D.3
【解析】观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有
全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.
【答案】C
(2)下列命题中特称命题的个数是()
①至少有一个偶数是质数；
②∃x
0
∈R，log
2
x
0
>0；
③有的向量方向不确定.
A.0B.1
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C.2D.3
【解析】①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题；
②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；
③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题.
【答案】D
(3)用全称量词或存在量词表示下列语句：
①不等式x2＋x＋1>0恒成立；
②当x为有理数时，
1
3
x2＋
1
2
x＋1也是有理数；
③等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；
④方程3x－2y＝10有整数解.
【解】①对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立.
②对任意有理数x，
1
3
x2＋
1
2
x＋1是有理数.
③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.
④存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断.
2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意
思，也是全称命题.
[再练一题]
1.(1)下列语句是特称命题的是()
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n，使n能被11整除
C.x＞7
D.∀x∈M，p(x)成立
【解析】B选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题.
【答案】B
(2)用全称量词或存在量词表示下列语句：
①有理数都能写成分数形式；
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②方程x2＋2x＋8＝0有实数解；
③有一个实数乘以任意一个实数都等于0.
【解】①任意一个有理数都能写成分数形式.
②存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立.
③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.
全称命题与特称命题的真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.
(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x
0
∈R，使
1
x
0
－1
＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)
至少有一个集合
A
，满足
A{1,2,3}.
【精彩点拨】先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.
【自主解答】(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是特称命题.因为不存在x
0
∈R，使
1
x
0
－1
＝0成立，所以该命题是假命题.
(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题.
(4)
是特称命题
.
存在
A
＝
{3}
，使
A{1,2,3}
成立，所以该命题是真命题
.
1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判
定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x
0
，使得p(x
0
)不成立即可(这就是通常所说的
“举出一个反例”).
2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x
0
使p(x
0
)成立即可；
否则，这个特称命题就是假命题.
[再练一题]
2.试判断下面命题的真假.
(1)∀x∈R，x2＋2>0；
(2)∀x∈N，x4≥1；
(3)∃x
0
∈Z，x3
0
<1；
(4)∃x
0
∈Q，x2
0
＝3.
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【解】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，
x2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.
(3)由于－1∈Z，当x
0
＝－1时，能使x3
0
<1，所以命题“∃x
0
∈Z，x3
0
<1”是真命题.
(4)由于使x2
0
＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数.因此，任何一个有理数的平方都不
等于3，所以命题“∃x
0
∈Q，x2
0
＝3”是假命题.
[探究共研型]
全称命题与特称命题的否定
探究1全称命题和特称命题的否定各有什么特点？
【提示】全称命题的否定是特称命题；
特称命题的否定是全称命题.
探究2不等式有解和不等式恒成立有何区别？
【提示】不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成
立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.
写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)非负数的平方是正数；
(3)有的四边形没有外接圆；
(4)∃x
0
，y
0
∈Z，使得2x
0
＋y
0
＝3.
【精彩点拨】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解
的形式，再对一些关键词语进行否定.
【自主解答】(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的
定义知，这是假命题.
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02＝0，不是正数，所以该命题
是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以
原命题为真，所以命题的否定为假命题.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3”.
∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，
∴原命题为真，命题的否定为假命题.
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对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题
1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题.
2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
3.否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存
在”“不成立”等.
4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.
[再练一题]
3.(1)命题“存在x
0
∈R，使得ex0≤0”的否定是()
A.不存在x
0
∈R，使得ex
0＞0
B.对任意x∈R，ex＞0
C.对任意x∈R，ex≤0
D.存在x
0
∈R，使得ex
0＞0
(2)命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________.
【解析】(1)命题“存在x
0
∈R，使得ex
0≤0”的否定是对任意x∈R，ex＞0.
(2)已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，
即命题的否定是：
存在x
0
∈R，若y＞0，则x2
0
＋y≤0.
【答案】(1)B
(2)存在x
0
∈R，若y＞0，则x2
0
＋y≤0
若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围.
【精彩点拨】全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素x，x2－2ax
＋2≥a都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x∈[－1，＋∞)时，(x2－2ax＋2)
min
≥a.
【自主解答】∵命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”为真命题，
∴x≥－1时，x2－2ax＋2≥a恒成立.
令f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，
则当a≥－1时，f(x)
min
＝f(a)＝2－a2.
∴
a≥－1，
2－a2≥a，
解得－1≤a≤1.
当a＜－1时，f(x)
min
＝f(－1)＝3＋2a.
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∴
a＜－1，
3＋2a≥a，
解得－3≤a＜－1，
综上可得－3≤a≤1.
即a的取值范围为[－3,1].
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1.对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，
通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)
max
(或a＜f(x)
min
).
2.对于特称命题“∃x
0
∈M，a＞f(x
0
)(或a＜f(x
0
))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，
通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)
min
(或a＜f(x)
max
).
[再练一题]
4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x
0
，使不等式m－f(x
0
)>0成立，求实数m的取
值范围.
【解】不等式m－f(x
0
)>0，可化为m>f(x
0
)，若存在一个实数x
0
，使不等式m>f(x
0
)成立，
只需m>f(x)
min
.
又因为f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)
min
＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
1.下列说法中，正确的个数是()
①存在一个实数x
0
，使－2x2
0
＋x
0
－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被5和7整除.
A.1B.2
C.3D.4
【解析】①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③④正确.故选B.
【答案】B
2.下列命题中，正确的全称命题是()
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
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B.菱形的两条对角线相等
C.∃x
0
∈R，x2
0
＝x
0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】A项中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，
所以不正确；B项在叙述上没有全称量词，实际上是“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，
所以错误；C项是特称命题；D项正确.
【答案】D
3.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为()
A.∀n∈N，n2＞2nB.∃n∈N，n2≤2n
C.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n
【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，﹁p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”
的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.故选C.
【答案】C
4.若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________.
【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，故a≤3.
【答案】(－∞，3]
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定.
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
【解】(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.
(2)是全称命题，否定为：∃x
0
∈Z，x2
0
与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切
线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
一、选择题
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1.下列四个命题中的真命题为()
A.若sinA＝sinB，则A＝B
B.∀x∈R，都有x2＋1>0
C.若lgx2＝0，则x＝1
D.∃x
0
∈Z，使1<4x
0
<3
【解析】A中，若sinA＝sinB，不一定有A＝B恒成立，是假命题；B显然正确；C中，
若lgx2＝0，则x2＝1，x＝±1，假命题；D中，解不等式得
1
4
0 < 3 4 ，不存在x∈Z，使之成立. 【答案】B 2.下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是() A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x2＞0 C.任意无理数的平方必是无理数 D.存在一个负数x，使 1 x ＞2 【解析】只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题.因为2是无理数， 而(2)2＝2不是无理数，所以C为假命题. 【答案】A 3.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x， x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是() A.四个命题都是真命题 B.①②是全称命题 C.②③是特称命题 D.四个命题中有两个是假命题 【答案】C 4.设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则﹁p为() A.∃x 0 ∈R，x2 0 ＋1>0B.∃x 0 ∈R，x2 0 ＋1≤0 C.∃x 0 ∈R，x2 0 ＋1<0D.∀x∈R，x2＋1≤0 【解析】根据全称命题的否定为特称命题知B正确. 【答案】B 5.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x 0 满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中 为假命题的是() 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！ A.∃x∈R，f(x)≤f(x 0 ) B.∃x∈R，f(x)≥f(x 0 ) C.∀x∈R，f(x)≤f(x 0 ) D.∀x∈R，f(x)≥f(x 0 ) 【解析】由题意知：x 0 ＝－ b 2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0 )为函数的最小值， 即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x 0 )，因此∀x∈R，f(x)≤f(x 0 )是假命题. 【答案】C 二、填空题 6.已知命题p：“∃x 0 ∈R，sinx 0 >1”，则﹁p为________. 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出﹁p为∀ x∈R，sinx≤1. 【答案】∀x∈R，sinx≤1 7.若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________. 【解析】由题意知，0 ∴ a2－1<1， a2－1>0， 即 a2<2， a2>1， 解得 －2 a>1或a<－1， ∴1 【答案】(－2，－1)∪(1,2) 8.若“∃x 0 ∈R，x2 0 ＋2x 0 ＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________. 【解析】由于“∃x 0 ∈R，x2 0 ＋2x 0 ＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数 f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}. 【答案】[1，＋∞) 三、解答题 9.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形. 【解】(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题. 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下. 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！ (3)是特称命题且为真命题. 命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形. 10.已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围. 【解】p：－2≤x≤6， q：2－m≤x≤2＋m(m＞0). (1)∵p是q的充分条件， ∴ 2－m≤－2， 2＋m≥6， 解得m≥4. 故实数m的取值范围是[4，＋∞). (2)当m＝5时，q：－3≤x≤7. ∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题， ∴p，q一真一假， 当p真q假时， 由 －2≤x≤6 x7 ， 当p假q真时 由 x6 －3≤x≤7 ， ∴－3≤x<－2或6 因此，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7]. [能力提升] 1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是() A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n 0 ∈N*，f(n 0 )∉N*且f(n 0 )>n 0 D.∃n 0 ∈N*，f(n 0 )∉N*或f(n 0 )>n 0 【解析】写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为 “或”. 【答案】D 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！ 2.已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x 0 ∈R，x3 0 ＝1－x2 0 ，则下列命题中为真命题的是() A.p∧qB.p∧(﹁q) C.(﹁p)∧qD.(﹁p)∧(﹁q) 【解析】对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，﹁p为真命题；对于 命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命 题，所以(﹁p)∧q为真命题，故选C. 【答案】C 3.已知命题p：∃x 0 ∈R，ax2 0 ＋x 0 ＋ 1 2 ≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________. 【解析】因为命题p是假命题，所以﹁p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋ 1 2 >0恒成立.当a ＝0时，x>－ 1 2 ，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有 a>0， Δ<0， 即 a>0， 1－4× 1 2 ×a<0， 解得 a>0， a> 1 2 ， 所以a> 1 2 ，即实数a的取值范围是 1 2 ，＋∞ . 【答案】 1 2 ，＋∞ 4.已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x 0 ∈R，x2 0 ＋2x 0 －m－1＝0，且p∧q为真，求实数m 的取值范围. 【解】2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0. 若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真， 则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立. 当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立； 当m≠0时，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1. 若q：∃x 0 ∈R，x2 0 ＋2x 0 －m－1＝0为真， 则方程x2 0 ＋2x 0 －m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q为真，故p，q均为真命题. 所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1. 专注于中小学文化课辅导，为学生创造美好未来！ 课堂反馈 作业情况 上次上课时间： 上次课后作业：1.完成比率%2.正确率%（整体） 本次课后作业： 教师对本次 课程的评价 课堂状态：1.非常投入□2..较好投入□3.需要优化□ 知识接受：1.全部理解□2.部分理解□3.不能理解□ 其它补充： 家长意见与签字 家长签字：