可逆矩阵的性质

发布时间：2023-06-13 作者：admin 来源：文学

可逆矩阵的性质

2023年3月19日发(作者：汽车电机)

2.4可逆矩阵

授课题目2.4可逆矩阵

授课时数：4课时

教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式可

逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程

教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等

变换求解矩阵方程

教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程

教学过程：

一、可逆矩阵的定义及性质

1、可逆矩阵的定义

解

时需要满足CA=-I的C的存在性问题。

定义1，对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B使得

AB=BA=I

则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆称B为A的逆矩阵

从下面几点加深理解：01要求A是方阵，非方阵不加以讨论（广义逆）；02条件是

两等式成立（双边乘A等于单位阵）；o3能否用BA=I（单边）定义，04若A可逆，A

的逆矩阵是否唯一？05条件“AB=BA=I”中，A，B的相互性

2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性

证事实上设

BB，都是A的逆矩阵，便有

1112222

BBIBABABIBB

（）=（B）

A可逆，用1A表示A的唯一的逆矩阵，1AA=A1A=I

3、可逆矩阵的性质

设A，B可逆

1)1A可逆且11)(A=A；

注意用定义证一些简

单结论

证由于111AAAAI,AA知与互为逆矩阵，且11AA（）

2)111)(ABAB（穿脱原理）

证因为A，B均可逆，知11AB，存在，且有

111111

BAABBAABBIBBBI

ABBAABBAAIAAAI





（）（）（）

所以AB可逆，且111)(ABAB

推广11111

12nnn121

AA)AAAA



（A

3)TTAA)()(11两运算可交换顺序

证因为A可逆，有11AAAAI,两边取转置得

1T1TTT1T(AA)(A)AA(A)I

所以T11TAAT可逆，且（A）（）

4、可逆性的初步判定

1）初等矩阵的可逆性

初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。

111

ijijiiijij

PP,D(k)D(),T(k)T(k)



2）不可逆矩阵的实例

不可逆

1110

0010































（推广：有一行（列）为零时）

二、可逆矩阵的判定：

1、基本定理

定理2.4.1初等变换不改变矩阵的可逆性

证设A经过一次初等行变换得到B，那么存在一个初等矩阵E，使得EA=B。由

于初等矩阵可逆，当A可逆时，EA也可逆，即B可逆。另一方面，1AEB，当B可

逆时，1EB可逆，即A可逆。对列变换的情形可类似的证明。

2、几个充要条件

Th.2.4.2A可逆A

I

Th.2.4.3A可逆是初等阵

PPPA,,



证设A可逆，则A的等价标准形为

I，即存在初等矩阵

12s12t,s2112tn

P,P,,P,Q,Q,,QPPPAQQQI使得，于是

111111

12snt21

APPPIQQQ

111111

12st21

PPPQQQ

故A可表示成一些初等矩阵的乘积。

Th.2.4.4A可逆

IA只经过行初等变换化为

证因为A可逆存在初等矩阵

12s12s

P,P,,PPPP使得A=111

s21

PPPAI,A经过s次初等变换化成I。

Th2.4.5设A，B是两个n阶矩阵，则|AB|=|A||B|

推论1设

12s

AAA，，，都是n阶矩阵，则

12s12s

|AAA||A||A||A|

Th2.4.6A可逆0A

证必要性设A可逆，则存在11AAAI使得，由定理5得

11|AA||AA||I|1|A|0，所以

充分性由定理2，存在

(r)

12s12t,s2112tnn

P,P,,P,Q,Q,,QPPPAQQQE使得

两边取行列式，由推论1得(r)

s2112tnn

|P||P||P||A||Q||Q||Q||E|

当|A|0时，

(r)

|E|0,

从而(r)

nnnn

因此与等价。故可逆。

01先给出方阵行列式的定义；

02介绍BAAB（同行列式乘法定理）

03给出A可逆IAB（单边的定义）

三、逆矩阵的求法

1、初等变换法

1)原理

设

,IA

1AI

),(IA（

,A

I）=（1,AI）

2）初等变换方法

AI)-1（，）（I,A

例设

012

A114

210













判定A是否可逆，若可逆，求.1A

解1因为

012100

(A,E)114010

210001













[1,2]

114010

012100

210001













[31(2)]

114010

012100

038021















[32(3)],[12(1)]

102110

012100

002321

















[23(1)],[13(1)]

100211

010421

002321

















3()

100211

010421

0011





















所以A可逆，1

211

A421





















（IA,））或，（行

1AI













列













1A

2．伴随矩阵法

1）伴随矩阵

设

A是矩阵

11121n

21222n

n1n2nn

aaa











中

a的代数余子式，矩阵

1121n1

1222n2

1n2nnn

AAA













称为A的伴随矩阵

2）求逆矩阵的公式

A（牢记IAAAAA**）

例2设

123

A221

343











判定A是否可逆，若可逆，求.1A

解因为|A|=2，所以A可逆。又

3313233

A2,A3,A2,A6,A6,A2,A4,A5,A2所

以*1

A

264

365

222















132

111















所以A可逆，1

132

111















四．可逆分块矩阵的逆矩阵

1、缺角阵的逆矩阵

设A，B分别是m,n阶可逆矩阵，则有Laplace定理知m+n阶分块矩阵









是可逆矩阵，得1D进行相同的分块，令1112

2122











由于

1112m

2122n

XXI0

XX0I

















根据分块矩阵的乘法计算出左端，并比较等式两边，得

11m

1121

1222n

AXI

(1)

AX0

(2)

CXBX0

(3)

CXBXI

(4)





















有（1）、（2）式得11

1112

XA,XA00

代入（4）式得1

XB

代入（3）式得111

211121

BXCXCAXBCA所以

所以

111

BCAB















利用分块矩阵的知识可推得下列公式

设A，B可逆.

①;

111

































BCAB

②



































111

CBAA

③



































111

CBAA

④

































111

CBAA

②，③，④学生思考回答。

2、准对角矩阵的逆矩阵































反对角矩阵的逆矩阵































其中

A,1i可逆，…，s

五、一类矩阵方阵的简便解法

解A=B（A可逆）的简便方法

（A，B）），（行BAI1

解A=B的简便方法



























1BA

列

施行初等行变换得到矩阵C，则以C为增广矩阵的线性方程组必与（1）同解。

例3

10111

111X10

11001















求X

解用初等变换的方法

10111

11110

11001















[21

10111

01021

01112

















（-1）]，[3+1（1）]

[32

10111

01021

00111















（1）]，[2（-1）][13

10020

01021

00111















（-1）]

所以

X21













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