等比数列的前n项和公式
小白兔简谱-口腔护理ppt
2023年3月19日发(作者：家电设计)。
-可编辑修改-
赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法
山东张吉林（山东省莱州五中邮编261423）
等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：
当1q时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1①或
q
qaa
Sn
n
1
1②
当q=1时，
1
naS
n
本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位
相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推
导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。
一般地，设等比数列
123
,,,
n
aaaa它的前n项和是
n
S
n
aaaa
321
公式的推导方法一：
当1q时，由
1
1
321
n
n
nn
qaa
aaaaS
得
nn
n
nn
n
qaqaqaqaqaqS
qaqaqaqaaS
1
1
1
3
1
2
11
1
1
2
1
2
111
n
n
qaaSq
11
)1(
∴当1q时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1①或
q
qaa
Sn
n
1
1②
当q=1时，
1
naS
n
当已知
1
a,q,n时常用公式①；当已知
1
a,q,
n
a时，常用公式②.
拓展延伸：若
n
a是等差数列，
n
b是等比数列，对形如
nn
ab的数列，可以用错位相
减法求和。
例题数列
n
a的前
n
项和221(1)2(2)2222nn
n
Snnn
，则
n
S的表达式为（）．
A．1222nn
n
SnB．122n
n
Sn
C．
22n
n
SnD．122n
n
Sn
解析：由221(1)2(2)2222nn
n
Snnn，①
。
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可得23122(1)2(2)2222nn
n
Snnn，②
②－①，得211
2(12)
222222
12
n
nnn
n
Snnn
，故选（D）．
点评：这个脱胎于课本中等比数列前
n
项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地
方，应予以高度的重视。
公式的推导方法二：
当1q时，由等比数列的定义得，
q
a
a
a
a
a
a
n
n
12
3
1
2
根据等比的性质，有
q
aS
aS
aaa
aaa
nn
n
n
n
1
121
32
即
q
aS
aS
nn
n
1qaaSq
nn
1
)1(
∴当1q时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1或
q
qaa
Sn
n
1
1
当q=1时，
1
naS
n
该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，
给我们以耳目一新的另类感觉。
导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的
结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：
已知数列
n
a是等比数列（1q），
n
S是其前n项的和，则
232kkkkk
SSSSS，，，…，
仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：
证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；
（2）当q≠1时，
23
111
23
111
,,
111
kkk
kkk
aqaqaq
SSS
qqq
2
11
2
11
11
kk
kk
aqaq
SS
1
1
1
kkaqq
q
32
11
32
11
11
kk
kk
aqaq
SS
2
1
1
1
kkaqq
q
2
22
2
1
2
2
1
(1)
kk
kk
aqq
SS
q
2
11
32
11
()
11
kkk
kkk
aqaqq
SSS
。
-可编辑修改-
2
22
1
2
1
(1)
kkaqq
q
∴2
2kk
SS=
32
()
kkk
SSS
∴
232kkkkk
SSSSS，，成等比数列.
［这一过程也可如下证明］：
证明二：
2k
S－
k
S=
1232
()
k
aaaa－
123
()
k
aaaa
=
1232kkkk
aaaa
=
123
()k
k
qaaaa=k
k
qS0
同理，
3k
S－
2k
S=
2122233kkkk
aaaa
=2k
k
qS0
∴
232kkkkk
SSSSS，，成等比数列。
对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到
很简捷的效果。
公式的推导方法三：
n
S
n
aaaa
321
＝
)(
13211
n
aaaaqa
＝
11
n
qSa＝)(
1nn
aSqa
qaaSq
nn
1
)1(
∴当1q时，
q
qa
S
n
n
1
)1(
1或
q
qaa
Sn
n
1
1
当q=1时，
1
naS
n
“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章
的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来
求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书
本。
.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，
侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推
导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了
1nn
SS
与
间的
递推关系式，充分利用了
1nn
SS
与
和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同
学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。
。
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