平行线判定定理
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2023年3月19日发(作者：英国留学申请条件)1
8.4平行线的判定定理教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.初步了解证明的基本步骤和方法。
2.会根据公理“同位角相等，两直线平行”证明定理“同旁内角互补，两直线平行”和“内
错角相等，两直线平行，并能应用这些结论解答简单的实际问题。
（二）过程与方法
使学生在自主探索两个定理的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获
得正确的学习方式和良好的情感体验。
（三）情感态度与价值观
经历探索用数学公理证明定理的过程，感受几何中推理的严谨、结论的确定，发展初步的演
绎推理能力。
二、教学重点
两条直线平行的条件
三、教学难点
判断两条直线平行的说理过程，并能灵活利用判定定理解决相应的问题
四、教学策略
学生动手操作，自主探究，引导发现，小组合作交流，讲练结合
五、教学过程
（一）巧设现实情境，引入新课
［师］前面我们探索过哪些两条直线平行的条件？
［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。
［生乙］同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
［师］很好．其中“同位角相等，两直线平行”是基本事实，借助这一基本事实，你能证明
后面两个吗？
（二）合作交流，探究新知
［师］看命题（两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平
行．
2
［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所
以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
已知:如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补
求证：a∥b．
证明：
那如何证明这个题呢？我们来分析分析．
［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时
从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,又因为已知条件中有∠2
与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,因此由同角的补角相等可以知道：∠1=∠3．
［师］好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．
证明：∵∠1与∠2互补（已知）
∴∠1+∠2=180°（互补的定义）
∵∠3+∠2=180°（平角的定义）
∴∠1=∠3（同角的补角相等）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平
行的判定定理．
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．
注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新定
理．
3
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，
也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的
括号内．
好，下面大家来议一议：
小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
［生］我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为
∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与
∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．
［师］很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直
线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．
已知，如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．
求证：a∥b（找两名同学黑板证明）
（方法一）证明：
∵∠1=∠2（已知）
∠1+∠3=180°（平角的定义）
∴∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠2与∠3互补（互补的定义）
4
∴a//b（同旁内角互补，两直线平行）．
(方法二)证明：
∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠4（对顶角相等）
∴∠2=∠4（等量代换）
∴a//b（同位角相等，两直线平行）．
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
这一定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行．
［师］同学们真棒,今后就可以直接应用平行线的判定公理和定理证明两条直线平行了。
下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．
（三）运用新知当堂演练
1：蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′，
∠β=70°32′.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论。
α
β
β
α
2.如图4，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，
③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
5
3.如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
已知：如图，直线a⊥c,b⊥c
c
b
a
求证：a∥b
4.如图，AD平分∠BAC，∠1=∠3，能推出AB∥CD吗？说明理由。
6
5.如图，直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．
5.直击中考
(2017年潍坊市）如图，
（）
A.
B.B.090
C.3
D.090
（四）课时小结
这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．一公理两定理，同学们来归纳一下（出示
投影）
判定一（公理）：同位角相等，两直线平行
F
2
A
B
CD
Q
E
1
P
M
N
,//900DEABBCD，
满足与则
0180
7
符号语言：∵∠1=∠3
∴a∥b
判定二：同旁内角互补，两直线平行
符号语言：∵∠1+∠2=180°
∴a∥b
判定三：内错角相等，两直线平行
符号语言：∵∠1=∠2
∴a∥b
由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应
用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角。
注意：1．证明语言的规范化。
2．推理过程要有依据。
最后大家谈谈这节课最大的收获是什么。
(五)、课后作业
1.课本P47习题8.41、2、3
2、课后中考在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥
AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。
（设计意图）提高难度，开拓同学们的思维，感悟中考意境。
8
板书设计
§8．4平行线的判定定理
1．公理：同位角相等，两直线平行。
2．定理：同旁内角互补，两直线平行。
3．定理：内错角相等，两直线平行。
《平行线的判定定理》
学情分析
从学生的年龄特征上看，初二学生动、注意力集中时间短、注意不够广泛，
在教学中我抓住这一特点，采用小组辩论积分的方式进行教学。让足够多的学生
发表自己的见解，体验成功的快乐。从学生的认知特点上看初一学生只局限于一
问一答是的简单推理，不善于进行连续推理因此在应用判定时选择了具有两步推
理的证明题。从知识经验来看，学生已经具备了对顶角邻补角角分线的性质互余
互补的性质等基础知识但只是用于小题或计算而非符号推理，因此在教学中引导
学生独立思考自主探究合作交流等学习方式，培养学生良好的学习习惯。
《平行线的判定定理》效果分析
这节课能突出学生是学习的主体，把问题尽量抛给学生解决。老师作为学习
的组织者，引导者，合作者，做好牵针引线的工作。这节课中，教师除了作必要
的引导和示范外，问题的发现、解决、练习题的讲解尽可能让学生自己完成，学
生都能积极的配合。
本节能围绕教学重难点进行突破，能以学生为主体，体现学生学习的能动性。
师生互动到位。学生对平行线的判定，应利用哪类角的位置关系证明结论分析很
到位。证明步骤格式书写规范。
不足之处，练习题由易到难设计不是很合理，中考题欠打磨。
《平行线的判定定理》
教材分析
9
从整个初中教材来看，平行线的判定是在研究了线段和角这两个简单的开
放图形之后将两个角组合在一起而形成又一个几何基本图形。重点是判定非共线
的角的两边的位置关系。学习它会为后面的学习平行线的性质、三角形、四边形
等知识打下坚实的“基石”。从本章的知识来看，前面的知识只是将推理过程停
留在感知的基础之上，而本节课是将用自然语言表述的推理转换成逻辑性更强和
严密程度更高的符号推理，为今后的几何证明打下基础。对培养学生的推理演绎
能力具有重要意义。
平行四边形判定评测练习
一、选择题
1．如图1，∠D=∠EFC，那么（）
A．AD∥BCB．AB∥CD
C．EF∥BCD．AD∥EF
2．如图2，判定AB∥CE的理由是（）
A．∠B=∠ACEB．∠A=∠ECDC．∠B=∠ACBD．∠A=∠ACE
3．如图3，下列推理正确的是（）
A．∵∠1=∠3，∴a∥bB．∵∠1=∠2，∴a∥b
C．∵∠1=∠2，∴c∥dD．∵∠1=∠3，∴c∥d
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4.如图4，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，
B．③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（）
A.①③B．②④C．①③④D．①②③④
二、完成推理，填写推理依据：
1．如图5∵∠B=∠_______
∴AB∥CD（）
∵∠BGC=∠_______，
∴CD∥EF（）
∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥____（）
2．如图6填空
（1）∵∠2=∠B（已知）
∴AB__________（）
（2）∵∠1=∠A（已知）
∴__________（）
（3）∵∠1=∠D（已知）
∴__________（）
11
（4）∵_______=∠F（已知）
∴AC∥DF（）
3.已知，如图7，∠1＋∠2＝180°，填空
∵∠1＋∠2＝180°（）
又∠2＝∠3（）
∴∠1＋∠3＝180°∴_________（）
三、证明题
1．如图：∠1=
53
，∠2=
127
，∠3=
53
，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置
关系。
2.如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系，请说明理由。
3.已知：如图，，，且.
求证：EC∥DF.
4.如图，直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．
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5.已知：如图：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH。
求证：GH∥MN。
6.如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，
求证：CD∥BE。
《平行线的判定定理》课后反思
在课程设计中，我注重了以下几个方面：
1、突出学生的主体地位，把问题尽量抛给学生解决。这节课中，我除
了作必要的引导和示范外，问题的发现，解决，练习题的讲解尽可能让学生
自己完成。
2、形式多样，求实务本。从生活问题引入，发现第一种识别方法，然后解
决实际问题。
F
2
A
B
CD
Q
E
1
P
M
N
13
在巩固练习中发现新的问题，激发学生再次探索，形成结论；练习题中注重图形
的变化在图形中为学生设置易错点再及时纠错。
3、有意识地对学生渗透“转化”思想；有意识地将数学学习与生活实际联
系起来，注重学生的自己分析，启发学生用不同方法解问题。探索直线平行的条
件。
通过上这节课我感觉讲解基本到位，练习难度适中，并基本达到练习的目
的，但仍然存在很多不足的地方，如：课堂气氛不理想，没有完全体现学生的主
体地位；课堂升华不高；探究学习引导不够，导致占用时间过多，从而使后面的
环节有些仓促。如果在这几个方面处理的更好一些的话，效果会更好。
一堂课下来，遗憾也有不少。比如，设置的中考题难度过大，和以后学习
的知识联系紧密。板书不漂亮，要是用数学符号语言会更好。在这堂课上，部分
同学没有展示自己的勇气，一方面与教学内容的难度有关，另一方面也与我没能
让他们完全放松下来有关。
课标分析
（一）知识技能
1、理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同
位角相等，那么两直线平行。
2、探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错
角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行。
（二）数学思考与问题解决
1．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力。
2．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理。
3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式。
（三）情感态度
通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想。