四川高考数学

四川高考数学

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2023年3月18日发(作者：国寿福)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题

目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=

(A)0(B)2(C)2i(D)2+2i

2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是

(A)6(B)5(C)4(D)3

3.抛物线y2=4x的焦点坐标是

(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)

4.为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点

(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动个单位长度

(C)向上平行移动个单位长度(D)向下平行移动个单位长度

5.设p:实数x，y满足x>1且y>1，q:实数x，y满足x+y>2，则p是q的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

6.已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此

基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份

是

(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)

(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式

求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的

)

3

(



x

3



3



3



3



一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

(A)35(B)20(C)18(D)9

9.已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足

1AP

，

PMMC

，则

2

BM

的最

大值是

(A)(B)(C)(D)

10.设直线l1，l2分别是函数f(x)=

ln,01,

ln,1,

xx

xx











图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，

且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)

第II卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、=。

12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。

32

4

43

4

49

4

3637

4

33237

0750sin

13、从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a、b，则

log

a

b

为整数的概率=。

14、若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0

5

()(1)

2

ff

=。

15、在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为

'

2222

(,)

yx

P

xyxy





，当P

是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：

若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.

单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。

若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。

其中的真命题是。（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（本小题12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽

样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

侧视图

俯视图

x4

'A'A

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。

17、（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，

1

2

BCCDAD

。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

18、（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（II）若，求tanB。

19、（本小题满分12分）

已知数列{n

a

}的首项为1，n

S

为数列

{}

n

a

的前n项和，1

1

nn

SqS





，其中q>0，

*nN

.

0.42

0.50

D

CB

A

P

c

C

b

B

a

Asincoscos



bcacb

5

6

222

（Ⅰ）若2323

,,aaaa

成等差数列，求

{}

n

a

的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线

2

2

2

1

n

y

x

a



的离心率为n

e

，且2

2e

，求

222

12n

eee

.

20、（本小题满分13分）

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆

E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

21、（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题

1.C2.B3.D4.A5.A6.D7.B8.C9.B10.A

二、填空题

11.

1

2

12.

3

3

13.

1

6

14.-215.②③

三、解答题

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，

0.02.

由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，

解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.

（Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5

所以2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

17.（本小题满分12分）

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

D

CB

A

P

因为AD∥BC,BC=

1

2

AD，所以BC∥AM,且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖∥AB.

又AB



平面PAB,CM



平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,

因为AD∥BC,BC=

1

2

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

因为AD∥BC,BC=

1

2

AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=

1

2

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD



平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

(0)

sinsinsin

abc

kk

ABC



则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.

代入

coscossinABC

abc



中，有

coscossin

sinsinsin

ABC

kAkBkC



，可变形得

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，

所以sinAsinB=sinC.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=

6

5

bc，根据余弦定理，有

22

2

3

cos

25

bca

A

bc





.

所以sinA=

2

4

1cos

5

A

.

由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以

4

5

sinB=

4

5

cosB+

3

5

sinB，

故tanB=

sin

cos

B

B

=4.

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知，121

1,1,

nnnn

SqSSqS

两式相减得到21

,1

nn

aqan

.

又由21

1SqS

得到21

aqa

，故1nn

aqa

对所有

1n

都成立.

所以，数列

{}

n

a

是首项为1，公比为q的等比数列.

从而

1=n

n

aq

.

由2323

+aaaa，，

成等差数列，可得3223

2=aaaa

，所以32

=2,aa

，故

=2q

.

所以

1*2()n

n

anN

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

1n

n

aq

.

所以双曲线

2

2

2

1

n

y

x

a

的离心率

22(1)11n

nn

eaq

.

由

2

2

12eq

解得

3q

.所以，

22222(1)

12

2

22(1)

2

(11)(1+)[1]

1

[1]

1

1

(31).

2

n

n

n

n

n

eeeqq

q

nqqn

q

n

，

20.（本小题满分13分）

（I）由已知，a=2b.

又椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab



过点

1

(3,)

2

P

，故

22

1

3

4

1

4bb



，解得

21b

.

所以椭圆E的方程是

2

21

4

x

y

.

（II）设直线l的方程为

1

(0)

2

yxmm

，1122

(,),(,)AxyBxy

，

由方程组

2

21,

4

1

,

2

x

y

yxm



















得

222220xmxm

，①

方程①的判别式为

24(2)m

，由



，即

220m

，解得

22m

.

由①得

2

1212

2,22xxmxxm

.

所以M点坐标为

(,)

2

m

m

，直线OM方程为

1

2

yx

，

由方程组

2

21,

4

1

,

2

x

y

yx



















得

22

(2,),(2,)

22

CD

.

所以

2

555

(2)(2)(2)

224

MCMDmmm

.

又

2

222

12121212

115

[()()][()4]

4416

MAMBABxxyyxxxx

222

55

[44(22)](2)

164

mmm

.

所以

=MAMBMCMD

.

21.（本小题满分14分）

（I）

2121

'()20).

ax

fxaxx

xx



(

0a当时，

'()fx

<0，

()fx

在

0+（，）

内单调递减.

0a当时，

由

'()fx

=0，有

1

2

x

a



.

当

x

1

0,)

2a

（

时，

'()fx

<0，

()fx

单调递减；

当

x

1

+)

2a

（，

时，

'()fx

>0，

()fx

单调递增.

（II）令

()sx

=

1exx

，则

'()sx

=

1e1x

.

当

1x

时，

'()sx

>0，所以

1exx

，从而

()gx

=

1

11

exx



>0.

（iii）由（II），当

1x

时，

()gx

>0.

当

0a

，

1x

时，

()fx

=

2(1)ln0axx

.

故当

()fx

>

()gx

在区间

1+)（，

内恒成立时，必有

0a

.

当

1

0

2

a

时，

1

2a

>1.

由（I）有

1

()(1)0

2

ff

a



,从而

1

()0

2

g

a



，

所以此时

()fx

>

()gx

在区间

1+)（，

内不恒成立.

当

1

2

a

时，令

()hx

=

()fx



()gx

(

1x

).

当

1x

时，

'()hx

=

1

22

11111

2exaxx

xxxxx



32

22

2121

0

xxxx

xx





.

因此

()hx

在区间

1+)（，

单调递增.

又因为

(1)h

=0，所以当

1x

时，

()hx

=

()fx



()gx

>0，即

()fx

>

()gx

恒成立.

综上，

a

1

+)

2

[，

.

祝福语

祝你考试成功!