平行线的判定
-
2023年3月18日发(作者：中国利率走势图)平行线及其判定
知识点1：平行线的定义及平面内两直线的位置关系
定义:在同一平面内，的两条直线叫做平行线，直线a，b平行，记作。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系:。
说明1
(1)在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行与相交两种，若没有特别说明，“重合”视为一条直线。
(2)平常所说的“两条射线平行，两条线段平行”都是指它们所在的直线平行
(3)平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。三者缺一不可。
例题：下列说法中，正确的是（）
A.两条不相交的直线叫做平行线
B.一条直线的平行线有且只有一条
C.若直线a∥b，b∥c，则a∥e
D.若两条线段不相交，则它们互相平行
【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断
【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件，故A选项错误。若没有其条件限制，一条直线的平行线有
无数条，故B选项错误。平行于同一直线的两条直线平行，故C选项正确。根据平行线的定义可知D选项错误.
故选C
知识点2：平行公理
平行公理：经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。
（注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，它和垂线的性质不同
②“有且只有＂强调直线的存在性和唯一性）
如图，经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行
·
P
a
例题：下列说法正确的是（）
A.在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行
D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直
【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件，不影响后半向的对错。“过直线外一点有一条直线与已知直线
平行”说的是存在性，即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行，故A选项正确。B选项错误，因为若经过
直线上一点，则没有直线与已知直线平行。C选项错误，道理同B选项。D选项错误，因为缺少“在同一平面内”
这个大前提，D选项中结论不成立，如图，AB，BC，BD是正方体的三条棱，它们两两垂直，且都经过点B，若把
AB看作已知直线，则经过点B有两条直线BC，BD与已知直线AB垂直
知知识点3：平行公理的推论
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。
如图，若a∥b，c∥b，则a∥c
abc
（注:平行公理的推论没有“在同一平面内＂这个限制条件，说明不在同一平面内，这个推论也成立.如图，
三棱柱的三条侧棱AD、BE、CF就不在同一平面内，但它们互相平行）
例题：如图，在直线a，b，c，d中，已知a∥d，b∥d，则还有一对直线平
行的是。
【解析】图中有4条直线，有一条起千扰作用，要看清楚条件“a∥d，b∥d”中只涉及到直线a，b，d，没有直线
C，所以根据平行公理的推论得出结论时，也不要涉及直线C。由条件知，直线a，b都和直线d平行，所以直线a，
b也平行
知识点4：平行线的判定方法
1.同位角相等，两直线平行.
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补，两直线平行.
说明：①平行线的判定方法要记简称，理解原话。三种判定方法都有一个大前提：两条直线被第
三条直线所截.如果没有这个大前提，就不会出现“三线八角”，也就谈不上利用它们判定两直线平
行了②除了上述的三个基本判定方法外，还有平行线的定义和平行公理的推论也可以判断两条直线平行
例题：如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，求证:AD∥BC.
【分析】根据垂直的定义可得∠BAC＝90°，再由∠1的度数，可得∠BAD的度数，再根据∠B的度数及同旁内角互
补，两直线平行，可证AD∥BC.
【证明】
∵AB⊥AC，
∠BAC＝90°(垂直的定义)
∠1＝30°
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝120°.
又∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝180°
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)
知识点5：平行线的性质
1、两直线平行，相等。
2、两直线平行，相等。
3、两直线平行，互补。
如图，已知AD∥BC，可得如下结论:
∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)
∠2＝∠B(两直线平行，内错角相等)
∠3+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
前∠1＝∠2的依据是“对顶角相等”，与AD和BC是否平行无关
注意：(1)同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，这三个性质都有个大前提“两直线平行”，切勿忽视这
个条件.不要看到同位角或内错角，就认为是相等的，尤其是在没有图形的判断和选择题中
(2)性质和判定的异同:平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”
到“数量关系”;而平行线的判定是以角相等或互补为前提，推出两直线平行，是从“数量关系＂到“位置关系。
即:两角的数量关系两直线的位置关系，由此可见，判定与性质是一种互逆关系
(3)在同一几何问题的推理和求解中，很多时候既要利用性质，又要用到判定.常常是由性质得到的结论又要作为判定的条件使用，注意
不要混淆
例题：如图，已知射线BM平分∠ABC，点D是BM上一点，且DE∥BC交AB于E，若∠EDB＝28°，求∠AED的度数
【分析】根据∠EDB＝28°及两直线平行，内错角相等，可得∠CBD=28°，再根据角平
分线的定义，可求得∠ABC的度数，最后根据两直线平行，同位角相等，可求得∠AED
的度数，
【解】
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB＝28°，∠AED＝∠ABC.
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝56°
∴∠AED＝∠ABC＝56°
练习
1、下列说法中错误的个数是（）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
②不相交的两条直线不一定平行
③在同一平面内，若两条线段不相交，则它们一定平行.
④在同一平面内，若两条射线不相交，则它们一定平行
A.1B.2C.3D.4
2、将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落
在直线m，n上，∠1＝20°，要使直线m∥n，则应添加条件
A.∠2＝20°B.∠2＝30°
C.∠2＝45°D.∠2＝50°
3、如图，AO∥CD，BO∥CD，∠AOC＝∠AOB，求∠AOC的度数
4、如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2＝90°，求证:AB∥CD
5、如图，已知∠1＝∠2，∠1＝∠A.求证:(1)AB∥CD;(2)AF∥ED
平行线判定与性质的综合应用题型
(M模型)在与平行线有关的计算和推理中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的常用方法是经过拐
点作平行线，使已知角和未知角产生联系，从而化“未知”为“可知”最常见的图形有
1、如图所示，直线AB与射线CD平行，点E是AB上一点，点G是CD上一点，∠BEF＝35°，FC平分∠EFG。
若∠C＝20°，求∠FCD的度数
2、如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（）
A.∠B+∠F+∠D＝∠E+∠G
B.∠E+∠F+∠G＝∠B+∠D
C.∠F+∠G+∠D＝∠B+∠E
D.∠B+∠E+∠F＝∠G+∠D
3、如图
(1)如图a若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?
(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明.
(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系?请证明
(4)若将点E移至图c所示位置，情况又如何?
(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?
(6)在图e中，若AB∥CD，又能得到什么结论?