什么是向量
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2023年3月18日发(作者：分子扩散)2.1向量的概念及表示
教学目标：
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量等概念。
2、过程与方法
本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大。学生可在问题的引领下阅读教材进行自学。在此基础
上师生共同对有关概念再讨论、辨析，来完成学习一些概念学习，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向
量等概念。
3、情感、态度与价值观
培养学生自主学习的能力。学会合作、探究。
二、教学重、难点
重点:理解向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
三、学法与教学用具
学法：自学、探究、引导教具：多媒体、三角板
四、教学设想
（一）创设情境
1.讨论：到目前为止我们物理学习中学过时间、温度、位移、质量、体积、力等.哪些是既有大小又有方向？哪
些只有大小而没有方向？
位移、力是既有大小又有方向的----------矢量。
2．问题：数学中有没有既有大小和方向的量？如何表示的？三角函数线既有大小和方向，可用有向线段表示。
今天我们就来研究既有大小又有方向的量------------向量（板书）。
（二）探究新知
1．自主学习
请同学阅读课本后回答：
（1）数量与向量有何区别？
（2）如何表示向量？
（3）有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
（4）长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
（5）满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
（6）有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
（7）如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各向量
的终点之间有什么关系？
2.探究学习
1、数量与向量的区别:
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
2.向量的表示万法:
①用有向线段表示；
②用字母a、b(黑体，印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母：AB;
向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相
同，则这两个向量
就是相同的向量；
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是
不同的有向线段
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意的。
T
注意0与0的含义与书写区别。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量定义：
、，一曰/一曰宀4曰一
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；
彳TTH44
(2)向量a,b,c平行，记作a//b//c.
④向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作
IAB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段,
三个要素：起点、方向、长度
长度相等且方向相同的向量叫相等向量•
说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有
向线段的起点无关。
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的
起点无关）。
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
（三）学以致用
【例1】判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）零向量；（5）平行向量；
（6）长度相等且方向相同；（7）不一定
【例2】下列命题正确的是____________；（1）a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；（2）
任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；（3）向量a与b不共线，
则与b都是非零向量（4）有相同起点的两个非零向量不平行。
解：由于零向量与任一向量都共线，所以（1）不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向
量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平
行四边形的四个顶点，所以（2）不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以（4）不
正确；对于（3）,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题
亠+士-+，丰亠冃-，亠人丰亠冃‘壬亠冃―,亠冃
来入手考虑，假若a与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量
都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选（3）。
6、相等向量定义:
F
（图1）
【例3】如图1，设O■是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA,OB,OC相等的
向量。
解:OA=CB=DO^F；』
OC=AB=ED=FO.
思考1:与向量长度相等的向量有多少个？
答案：23个
1
思考2：是否存在与OA向量长度相等、方向相反的向量?
答案：存在
I
思考3：与向量OA共线的向量有哪些？
答案：CB,DO,FE
（四）巩固深化
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
②单惊向童部和等;
③任一向量与它的和反向量不和等：
T—I
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=CD
⑤零向量是一个方向不确定模为0的向量!
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
解：①不正确•共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量
【例5】如图2,梯形的三
等分点，且
解：分别取BE,
由梯形的中位线定理知:
1
|EF|(ADMN)
315
•••；|EF|(2)
422
ABCD中，E,F分别是^_AB、DC|AD|=2,
|BC|=5，求|EF|.
CF的中点分别记为M,N,
11
|MN|(|EF|BC)
111=2(ADREF|■-|BC
|)=9
•|EF^3.
4
①向量AB与CD是共线向量，则
A、B、C、D四订必丿—一TU戈-；
忌AC在同一直线上•②不正确•单位向量模均相等且为1,但方向并不确定
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向
量是相等的.④、⑤正确•⑥不
正确•如图AC与Be共线，虽起点不同，但其终点却相同
（五）课堂小结
i.向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2•向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：a
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、r
（2）向量AB的长度（或称模）：线段AB的长度叫向量单位向
量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：单位向量：长度
为1的向量叫单位向量，即耳|AB|=1;
零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：相等向量：
长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：共线向量：平行向量都可
移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；
（2）零向量与零向量相等，记作0=0；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
（六）布置作业
《课课练》第1课+《导学大课堂》P46-48;
方向和长度;_
AB的长度，记作|AB|.
斗a//b//c；
a=b；
3.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A（起点）