图形变换
-
2023年3月18日发(作者：远离毒品手抄报)中考数学一轮复习专题解析—图形的变换
复习目标
1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单
平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对
称性质及其相关性质.
4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；
5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、
旋转在现实生活中的应用.
考点梳理
一、平移变换
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在
同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这
两个要素是图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只
改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一
个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：
经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的
性质，又可作为平移作图的依据．
例1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向
右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.
【答案】
∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到
△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
二、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对
称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称
轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直
线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点
的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
例2.如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向
内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.
【答案】∵∠CPR=
1
2
∠B=
1
2
×120°=60°，∠CRP=
1
2
∠D=
1
2
×50°=25°，
∴∠C=180°－60°－25°=95°．
三、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O
叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
2．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角
度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相
等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变
化.
3．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图
形中各关键点的对应点.
④按原图形连结方式顺次连结各对应点.
4．中心对称与中心对称图形
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么
就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形
中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.
5．中心对称作图步骤
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，
得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
6．图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案
的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
例3.如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF
＝2OA，OE＝2OD，连接
EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E
1
OF
1
(如图2)．
(1)探究AE
1
与BF
1
的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE
1
为直角三角形．
【答案】(1)AE
1
＝BF
1
，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF.
∵△E
1
OF
1
是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE
1
＝OF
1
.
∵∠AOB＝∠EOF＝900，∴∠E
1
OA＝900－∠F
1
OA＝∠F
1
OB.
在△E
1
OA和△F
1
OB中，
11
11
OEOF
EOAFOB
OAOB
＝
＝
＝
，∴△E
1
OA≌△F
1
OB（SAS）.
∴AE
1
＝BF
1
.
(2)取OE
1
中点G，连接AG.
∵∠AOD＝900，＝30°，
∴∠E
1
OA＝900－＝60°.
∵OE
1
＝2OA，∴OA＝OG，∴∠E
1
OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.
∴AG＝GE
1
，∴∠GAE
1
＝∠GE
1
A＝30°.
∴∠E
1
AO＝90°.
∴△AOE
1
为直角三角形.
综合训练
1
．（
2022·
广东深圳第二实验学校九年级开学考试）如图，
△ABC
沿
BC
方向平
移到
△DEF
的位置，若
BE
＝
2cm
，则平移的距离为（）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
【答案】
B
【分析】根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果．
【详解】解：根据图形可得：线段
BE
的长度即是平移的距离，
∴
平移的距离为
2cm
，
故选：
B
．
2
．（
2022·
武汉第三寄宿中学九年级月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中
心对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
A
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
B
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
B
．
3
．（
2022·
佛山市华英学校九年级）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中
心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A
．赵爽弦图
B
．笛卡尔心形线
C
．科克曲线
D
．斐波那契螺
旋线
【答案】
A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法
求解．
【详解】解：
A
、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：
A
．
4
．（
2022·
全国）如图，在ABC中，90ACB，30ABC，2AB．将ABC
绕直角顶点C逆时针旋转60得ABC
，则点B转过的路径长为（）
A
．
3
B
．
3
3
C
．
2
3
D
．
【答案】
B
【分析】先在ABC中利用ABC的余弦计算出2cos303BC，再根据旋转的
性质得60BCB，然后根据弧长公式计算点B转过的路径长．
【详解】解：在ABC中，90ACB，30ABC，
cos
BC
ABC
AB
，
3
2cos3023
2
BC，
ABC绕直角顶点C逆时针旋转60得
△ABC，
60BCB，
弧BB的长
6033
1803
．故选：
B
．
5
．（
2020·
武汉第三寄宿中学九年级月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是
中心对称图形的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
A
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D
．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
C
．
6
．（
2022·
宜兴市实验中学九年级）如图，在正方形ABCD中，6AB，点H为BC
中点，点E绕着点C旋转，且4CE，在DC的右侧作正方形DEFG，则线段FH的
最小值是（）
A
．
942
B
．
842
C
．
962
D
．1062
【答案】
A
【分析】如图，利用正方形的性质，证明
△DEC∽△DPF
，从而得到
PF=
42
，
故点
F
在以
P
为圆心，
42
为半径的圆上，根据圆的基本性质，得到当点
F
在
PH
上时，
FH
取得最小值．
【详解】如图，延长
BC
到点
P
，使得
PC=BC=6
，
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴BC=CD=6
，
∠BCD=∠PCD=90°
，
∴△PCD
是等腰直角三角形，
∴∠CDP=45°
，2
DC
DP
；
∵
四边形
DEFG
是正方形，
∴DE=EF
，
∠DEF=90°
，
∴△DEF
是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°
，2
DE
DF
；
∴
DEDC
DFDP
，
∠CDE=∠PDF
，
∴△DEC∽△DFP
，
∴2
DEDCCE
DFDPPF
，
∵CE=4
，
∴PF=
42
，
故点
F
在以
P
为圆心，
42
为半径的圆上，
根据圆的基本性质，得到当点
F
在
PH
上时，
FH
取得最小值，
∵H
是
BC
的中点，
BC=6
，
∴CH=3
，
∴PH=9
，
∴FH=9-
42
，故选
A
．
7
．（
2022·
珠海市斗门区实验中学）如图，在平面直角坐标系中，
△ABC
的三个
顶点都在格点上．
（
1
）画出
△ABC
关于原点
O
对称的
△A
1
B
1
C
1；
（
2
）画出
△ABC
绕点
B
顺时针方向旋转
90°
得到的
△A
2
BC
2．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）见解析
【分析】（
1
）根据关于原点对称的点的坐标特征写出
A
1、
B
1、
C
1的坐标，然后
描点即可；
（
2
）利用网格特点和旋转的性质画出
A
、
C
的对应点
A
2、
C
2即可．
【详解】解：（
1
）如图，
△A
1
B
1
C
1为所作；
（
2
）如图，
△A
2
BC
2为所作．
8
．（
2022·
哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图，方格中每个小正方形的边长
为
1
个单位长度，
△ABC
的顶点和线段
DE
的端点均在小正方形的顶点上．
（
1
）在方格纸中将
△ABC
向上平移
1
个单位长度，再向右平移
2
个单位长度后
得到
△MNP
（点
A
的对应点是
M
，点
B
的对应点是点
N
，点
C
的对应点是点
P
），
请画出
△MNP
；
（
2
）在方格纸中画出以
DE
为斜边的等腰直角三角形
DEF
（点
F
在小正方形的
顶点上）．连接
FP
，请直接写出线段
FP
的长．
【答案】（
1
）见详解；（
2
）5，画图见详解
【分析】（
1
）利用网格特点和平移的性质画出
A
、
B
、
C
的对应点即可；
（
2
）先把
DE
绕
E
点逆时针旋转
90°
得到
EQ
，则
△DEQ
为等腰直角三角形，然
后取
DQ
的中点
F
，则
△DEF
满足条件，最后利用勾股定理计算
PF
．
【详解】解：（
1
）如图，
△MNP
为所作；
（
2
）如图，
△DEF
为所作；
FP
＝22215
．
9
．（
2022·
全国九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长均为
1
的方格纸
中，三角形
ABC
的顶点都在方格纸的格点上，将三角形
ABC
先向左平移
2
格，
再向上平移
4
格．
（
1
）请在图中画出平移后的三角形
A′B′C′
；
（
2
）求出三角形
ABC
的面积．
【答案】（
1
）图见解析（
2
）
8
【分析】（
1
）利用网格特点和平移的性质画出点
A
、
B
、
C
的对应点
A′
、
B′
、
C′
，
从而得到三角形
A′B′C′
；
（
2
）利用三角形面积公式计算．
【详解】解：（
1
）如图，
△A′B′C′
为所作；
（
2
）三角形
ABC
的面积＝
1
2
×4×4
＝
8
．
10
．（
2022·
浙江杭州市
·
）如图，在66的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按
下列要求画图．
（
1
）在图
1
中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形．
（
2
）在图
2
中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图
形．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）见解析
【分析】（
1
）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（
2
）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【详解】解：（
1
）如图所示：
①
、
②
、
③
、
④
处涂黑都可以使涂黑的四个小正方
形组成一个轴对称图形；
（
2
）如图所示：
①
、
②
使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形．