正切和余切的关系
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2023年3月18日发(作者：特色开店)1
初三数学同步辅导教材（第3讲）
一、本周教学进度：
6.2正切和余切
二、本周教学内容：
１.正切和余切的有关概念；
２.解决运用正切和余切的有关问题．
三、重点、难点剖析
１.正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个
锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直
角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：
sinA＝
c
a
,cosA＝
c
b
,tgA＝
b
a
,ctgA＝
a
b
.
其中a、b分别为∠Ａ的对边和邻边，c为斜边．
学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在
运用中加深理解．
２.学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多
相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆．
如，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９０°．
sinA＝cosB＝
c
a
;
cosB＝sinB＝
c
b
;
tgA＝ctgB＝
b
a
;
ctgA＝tgB＝
a
b
.
这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是
经常用到的．
若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β．
则sinα＞sinβ;tgα＞tgβ;
cosα＜cosβ;ctgα＜ctgβ.
可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的
增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．
如，比较tg43°与ctg57°的大小
∵tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°,而ctg47°＞ctg57°
即tg43°＞ctg57°
值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.
３．要熟记特殊角的三角函数值
学习正弦和余弦时已经知道，30°、45°、60°称为特殊角，对于这些角的各个三角函
数值应用极为广泛，必须熟记．
角度α
函数值
函数
30°45°60°
c
A
B
aC
b
2
名称
正弦
sinα
2
1
2
2
2
3
余弦
cosα
2
3
2
2
2
1
正切
tgα
3
3
１
3
余切
ctgα3
１
3
3
怎样熟记呢？
正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为1（＝１）、2、
3
；余弦
为
3
、2、1（＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．
正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（
3
）1、(
3
)2、(
3
)3,即
tg3０°＝
3
3
＝
3
)3(
1
，tg45°＝
2
3
)3(
＝
3
3
＝1
tg60°＝
3
3
)3(
＝
3
33
＝
3
.余切则相反．
必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且
sin０°＝０，cos0°＝1,tg0°＝0,ctg0°不存在；
sin９０°＝１，cos90°＝1,tg90°不存在，ctg0°＝０．
因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°．
４．同角三角函数间的关系
同角三角函数间存在以下关系：
平方关系：sin２α＋cos2α＝1;
商的关系：tgα＝
cos
sin
,ctgα＝
sin
cos
;
倒数关系：tgα＝
ctg
1
,ctgα＝
tg
1
.
这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义
的理解．如，
sin２α＋cos2α
＝（
c
a
）２＋（
c
b
）２
＝
2
2
+
2
c
ba
＝１(c2＝a2＋b2);
ctg
cos
＝
a
b
c
b
＝
c
a
＝sinα;
tgα·ctgα＝
b
a
·
a
b
＝1,即tgα＝
ctg
1
．
四、典型例题
例１在Rt△ABC中,∠C＝90°,a:b＝3:1,求∠Ａ的四个三角函数值．
解∵a:b＝3:1,∴a＝3b
由勾股定理，得c＝
2
+
2
ba
＝10b.
a
c
A
B
a
C
b
a
c
b
3
则sinA＝
c
a
＝
b
b
10
3
＝10
10
3
;
cosA＝
c
b
＝
b
b
10
＝
10
10
;
tgA＝
b
a
＝
b
b3
＝3;
ctgA＝
a
b
＝
b
b
3
＝
3
1
.
解这道题的关键就是要熟知三角函数的定义,由于三角函数值是两边之比结果是个数值，因而本
题是通过把Rt△ABC的三条边长用同一条边去表示，以求得任意两边之比值.
例２已知α是锐角，且sinα＝
5
3
,
求cosα、tgα、ctgα的值．
分析这是已知一个三角函数值，求其余的同角三角函数值的问题，因此可采用同角三角函数关系
去解决．
解∵sin２α＋cos2α＝1，且sinα＝
5
3
，α是锐角，
∴cosα＝2sin1＝
2)
5
3
(1
＝
5
4
．
又∵tgα＝
4
3
=
5
4
5
3
=
cos
sin
，
∴ctgα＝
tg
1
＝
3
4
.
注意锐角的各个三角函数值都是正值．
例３已知ctgＡ的值小于
3
，则锐角Ａ的取值范围是（）．
A.0°＜A＜90°B.30°＜A＜90°
C.0°＜A＜60°D.60°＜A＜90°
解∵ctg30°＝
3
,ctgA＜ctg30°∴∠A＞30°
又∵∠A是锐角，∴30°＜A＜90°
故应选（Ｂ）
例４已知α是锐角，tgα＋ctgα＝k－1,tg2α＋ctg2α＝14,求k的值．
分析要求k的值，就需要得到一个k的等式，因此如何从已知的两个条件中消去
tgα、ctgα是解题的关键．
解∵tgα＋ctgα＝k－1,∴(tgα＋ctgα)2＝(k－1)2
即tg2α＋ctg2α＋2tgα·ctgα＝(k－1)2
14＋2＝(k－1)2
则k－1＝±４
k
1
＝5,k
2
＝－3,
又∵tgα＋ctgα＝k－1＞０，∴k＝－3舍去．
则k＝5.
注意当α是锐角时，tgα＞０，ctgα＞０．
例５在△ABC中，ctgA＝0,且tgB、ctgC是关于x的方程x2－2
3
x＋k＝0的两根，求∠A、∠Ｂ、
∠Ｃ及k的值．
解∵ctgA＝0,∴∠A＝90°（这是基本的）
∵∠Ｂ＋∠Ｃ＝90°，tgB＝ctgC（互余关系）
根据题意，得
tgB＋ctgC＝tgB＋tgB＝２tgB＝２
3
∴tgB＝
3
，则∠Ｂ＝60°，∠Ｃ＝30°.
4
又∵tgB·ctgC＝k,∴k＝tg60°·ctg30°＝
3
·
3
＝3(利用特殊角的三角函数值)
k＝tgB·ctgC＝tg2B＝tg260°＝(3)2＝3.
练习４
一.填空：
1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°,a＝15，c＝17，则
sinA＝______________,tgA＝______________,
ctgA＝_______________,cosB＝______________,
tgB＝______________,ctgB＝_______________.
2.根据条件，求出锐角α的度数．
(1)ctgα·tg45°·tg36°＝1,则α＝_________________;
(2)tgα·ctg45°·tg56°＝1,则α＝_________________;
(3)已知tg2α＝
°
30
2
1
°
302
tg
tg
,则α＝_________________;
(4)已知ctg(90°－α)＝tg25°,则α＝_________________.
3.在△ABC中，∠C＝90°,AC＝3BC,则∠Ａ＝____________°;若BC＝5cm,
则AB＝___________cm.
4.在△ABC中，∠Ａ、∠Ｂ满足｜sinA－1|＋(tgB－1)2＝0,则∠Ｃ＝__________.
二、解答题
5．计算
(1)sin260°＋
2
1
sin30°－ctg45°·ctg90°;
(2)
°
35
°
55
°
30
1
+
°
30cos+1
°
60cos
ctg
tg
tg
;
(3)2·cos45°－3tg30°·sin60°.
6.已知方程（x·tgα）2－mx＋ctg2α＝0
(α是锐角)有两个相等的实数根，求
m的值．
7.如图，△ABC中，ＡＤ是商,BC＝a,
∠B＝α,∠C＝β,求ＡＤ的长．
（用α、a、β表示ＡＤ长）
答案与提示
【答案】
A
B
C
D
5
一.1.
17
15
，
8
15
，
15
8
，
17
15
，
15
8
，
8
15
；
2.36°,34°,30°,25°;
3.30°,10;
4.45°.
二.5.(1)1,(2)1,(3)－
2
1
;
6.m＝±2;
＝
ctgctg
a
+
.
【提示】
２.(3)tg2α＝
2
3
3
3
3
)(1
2
＝
3
,∴2α＝60°,α＝30°.
７.解在Rt△ABC中，
ctgα＝
AD
BD
,∴BD＝AD·ctgα①
在Rt△ABC中，
ctgβ＝
AD
DC
,∴DC＝AD·ctgβ②
①＋②,得
BD＋DC＝AD·(ctgα＋ctgβ)
即AD＝
ctgctg
a
+
.
C
B
A