高数极限公式
-
2023年3月18日发(作者：钢管柱)1
高数基本公式
导数公式：
积分公式：
两个重要极限：
导数的求导法则：
2
[()()]()()
[()()]()()()()
()()()()()
[]
()()
uxvxuxvx
uxvxuxvxuxvx
uxuxvxuxvx
vxvx
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1
)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
2
2
2
2
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
C
a
a
dxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
secsec
csc
sin
sec
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
arctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
0
1
0
sin
lim1
1
lim(1)lim(1)
x
x
x
xx
x
x
xe
x
2
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当
柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
罗比达法则：
1()()
2()()
()()()
limlim=lim
()()()xaxaxa
xafxFx
afxFx
fxfxfx
FxFxFx
、当时，函数及都趋于零；
、在点的某取心领域内，及都存在F(x)0;
3、存在（或为无穷大），那么
曲率：
空间解析几何和向量代数：
。代表平行六面体的体积
为锐角时，,cos)(][向量的混合积：
.例：线速度：.sin,
cos两向量之间的夹角：
,是一个数量,cos
PrPr)(Pr
轴的夹角。与是,cosPr向量在轴上的投影：
)()()(点的距离：2空间
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
.
1
;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
32
0
2
a
Ka
K
y
y
ds
d
s
K
MM
s
K
tgydxyds
s
的圆：半径为
直线：
点的曲率：
弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：
其中弧微分公式：
3
（马鞍面）1双叶双曲面：
1单叶双曲面：
、双曲面：3
同号）,（,
22
、抛物面：2
1、椭球面：1
二次曲面：
参数方程：};,,{其中,空间直线的方程：
面的距离：平面外任意一点到该平
1、截距世方程：3
0、一般方程：2
),,(},,,{，其中0)()()(、点法式：1
平面的方程：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpz
q
y
p
x
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmst
p
zz
n
yy
m
xx
CBA
DCzByAx
d
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
多元函数微分法及应用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
z
zyxF
dx
dy
F
F
yF
F
x
dx
yd
F
F
dx
dy
yxF
dy
y
v
dx
x
v
dvdy
y
u
dx
x
u
du
yxvvyxuu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
yxvyxufz
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dz
tvtufz
yyxfxyxfdzz
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
dudy
y
z
dx
x
z
dz
， ， 隐函数
＋， ， 隐函数
隐函数的求导公式：
时，，当
：多元复合函数的求导法
全微分的近似计算：
全微分：
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
4
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
vuyxG
vuyxF
vu
vu
隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xx
zyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
、过此点的法线方程：
：、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：上一点曲面
则切向量若空间曲线方程为：
处的法平面方程：在点
处的切线方程：在点空间曲线
方向
导数与梯度：
上的投影。在是
单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是
的梯度：在一点函数
的转角。轴到方向为其中
的方向导数为：沿任一方向在一点函数
lyxf
l
f
ljieeyxf
l
f
j
y
f
i
x
f
yxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
f
lyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
多元函数的极值及其求法：
不确定时
值时， 无极
为极小值
为极大值
时，
则：
，令：设
,0
0
),(,0
),(,0
0
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
00
2
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
5
重积分及其应用：
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
D
y
D
x
D
DD
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
dxdy
y
z
x
z
Ayxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
222
2
3
222
2
3
222
22
D
2
2
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,
),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
， ，
，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于
轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：
平面薄片的重心：
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
)()()(
1
,
1
,
1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
00
),(
0
22
2
， ， 转动惯量：
， 其中 重心：
， 球面坐标：
其中：
柱面坐标：
曲线积分：
)(
)()()()](),([),(
),(,
)(
)(
),(
22
ty
tx
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
LLyxf
L
特殊情况：
则： 的参数方程为：上连续，在设
长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧
6
。，通常设
的全微分，其中：才是二元函数时，＝在
：二元函数的全微分求积
注意方向相反！减去对此奇点的积分，
，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、
是一个单连通区域；、
无关的条件：平面上曲线积分与路径
的面积：时，得到，即：当
格林公式：格林公式：
的方向角。上积分起止点处切向量
分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关
，则：的参数方程为设
标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
1
2,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),(
00
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdx
y
P
x
Q
y
P
x
Q
GyxQyxP
G
ydxxdydxdyAD
y
P
x
Q
xQyP
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
tx
L
yx
yx
DL
DLDL
LL
L
曲面积分：
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,(22
系：两类曲面积分之间的关
号。，取曲面的右侧时取正
号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：对坐标的曲面积分：
对面积的曲面积分：
高斯公式：
7
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可写
，通量：
则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：
—通量与散度：—高斯公式的物理意义
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
dstARdzQdyPdxA
RQP
zyx
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
的环流量：沿有向闭曲线向量场
旋度：
， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无
上式左端又可写成：
kji
rot
coscoscos
)()()(
常数项级数：
是发散的调和级数：
等差数列：
等比数列：
n
nn
n
q
q
qqq
n
n
1
3
1
2
1
1
2
)1(
321
1
1
112
8
级数审敛法：
散。存在，则收敛；否则发
、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
、比值审敛法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：
别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
suuus
U
U
u
lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足
—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数
11
1
3214321
,
0lim
)0,(
nnn
n
n
nn
n
urrus
u
uu
uuuuuuuu
绝对收敛与条件收敛：
时收敛
１时发散ｐ
级数：
收敛； 级数：
收敛；发散，而调和级数：
为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果
收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果
为任意实数；，其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
p
n
p
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
幂级数：
0
0
1
0
)3(lim
)3(
1
1
1
1
1
1
1
2
210
32
R
R
R
aa
a
a
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
x
x
xxxx
nn
n
n
n
n
n
n
时，
时，
时，
的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设
称为收敛半径。，其中
时不定
时发散
时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存
收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数
时，发散
时，收敛于
9
函数展开成幂级数：
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
xffxfx
Rxfxx
n
f
R
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(0
0lim)(,)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
时即为麦克劳林公式：
充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：
函数展开成泰勒级数：
一些函数展开成幂级数：
)(
)!12(
)1(
!5!3
sin
)11(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
12
1
53
2
x
n
xxx
xx
xx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
n
nm
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。
，代替分离变量，积分后将，，，则设
的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方
称为隐式通解。 得：
的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
或 一阶微分方程：
u
x
y
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
x
y
yxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
)(
)(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
一阶线性微分方程：
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
nyxQyxP
dx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxP
dx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
，、贝努力方程：
时，为非齐次方程，当
为齐次方程，时当
、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。应该是该全微分方程的
，，其中：
分方程，即：中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQ
y
u
yxP
x
u
dyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
10
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出
的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：
求解步骤：
为常数；，其中
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3
21
rr
的形式，
21
rr(*)式的通解
两个不相等实根
)04(2qpxrxrececy21
21
两个相等实根
)04(2qpxrexccy1)(
21
一对共轭复根
)04(2qp
2
4
2
2
21
pq
p
irir
，
，
)sincos(
21
xcxceyx
二阶常系数非齐次线性微分方程
型]sin)(cos)([)(
为常数；型，)()(
为常数,，)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x