惯性半径
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2023年3月18日发(作者：连续标注快捷键)..
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1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）
2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式
3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面
面积A，拉应力为正）
4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x轴正方向逆时针转
至外法线的方位角为正）
5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径
d，拉伸后试样直径d1）
6.纵向线应变和横向线应变
7.泊松比
8.胡克定律
9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?
..
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10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
11.轴向拉压杆的强度计算公式
12.许用应力，脆性材料，塑性材料
13.延伸率
14.截面收缩率
15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g）
16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式
17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆
（b）空心圆
18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）
19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆
..
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（b）空心圆
21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0/10，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式
22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式
23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时
或
24.等直圆轴强度条件
25.塑性材料；脆性材料
26.扭转圆轴的刚度条件?或
27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,
28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式
,
..
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29.平面应力状态的三个主应力,
,
30.主平面方位的计算公式
31.面内最大切应力
32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，
33.三向应力状态最大与最小正应力,
34.三向应力状态最大切应力
35.广义胡克定律
36.四种强度理论的相当应力
37.一种常见的应力状态的强度条件，
..
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38.组合图形的形心坐标计算公式，
39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之
和的关系式
40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径?,
41.平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）
42.纯弯曲梁的正应力计算公式
43.横力弯曲最大正应力计算公式
44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，
，
45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性
轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）
46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式
..
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48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式
49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
51.弯曲正应力强度条件
52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件
53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件
或，
54.梁的挠曲线近似微分方程
55.梁的转角方程
56.梁的挠曲线方程?
57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计
算公式
58.偏心拉伸（压缩）
59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式
..
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，
60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为
61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式
62.
63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式
64.剪切实用计算的强度条件
65.挤压实用计算的强度条件
66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式
67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l
（b）一端固定、一端自由μ=2
（c）一端固定、一端铰支μ=0.7
（d）两端固定μ=0.5
..
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68.压杆的长细比或柔度计算公式，
69.细长压杆临界应力的欧拉公式
70.欧拉公式的适用范围
71.压杆稳定性计算的安全系数法
72.压杆稳定性计算的折减系数法
73.关系需查表求得
..
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3截面的几何参数
序号公式名称公式符号说明
（3.1）截面形心位置
A
zdA
zA
c
，
A
ydA
yA
c
Z为水平方向
Y为竖直方向
（3.2）截面形心位置
i
ii
cA
Az
z，
i
ii
cA
Ay
y
（3.3）面积矩
A
Z
ydAS，
A
y
zdAS
（3.4）面积矩
iiz
yAS，
iiy
zAS
（3.5）截面形心位置
A
S
zy
c
，
A
S
yz
c
（3.6）面积矩
cy
AzS，
cz
AyS
（3.7）轴惯性矩
dAyI
A
z2，dAzI
A
y2
（3.8）极惯必矩
dAI
A
2
（3.9）极惯必矩
yz
III
（3.10）惯性积
dAzyI
A
zy
（3.11）轴惯性矩
AiI
zz
2，AiI
yy
2
（3.12）惯性半径
（回转半径）
A
I
iz
z
，
A
I
iy
y
（3.13）面积矩
轴惯性矩
极惯性矩
惯性积
ziz
SS，
yiy
SS
ziz
II，
yiy
II
i
II
，
zyizy
II
（3.14）平行移轴公式
AaII
zcz
2
..
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AbII
ycy
2
abAII
zcyczy
4应力和应变
序号公式名称公式符号说明
（4.1）轴心拉压杆横
截面上的应力
A
N
（4.2）危险截面上危
险点上的应力
A
N
max
（4.3a）轴心拉压杆的
纵向线应变
l
l
（4.3b）轴心拉压杆的
纵向绝对应变
llll.
1
（4.4a）
（4.4ab
胡克定理
E
E
（4.5）胡克定理
EA
lN
l
.
（4.6）胡克定理
i
i
i
iiEA
lN
ll
（4.7）横向线应变
b
bb
b
b
1
'
（4.8）泊松比（横向
变形系数）
'
'
（4.9）剪力双生互等
定理yx
（4.10）剪切胡克定理
G
（4.11）实心圆截面扭
转轴横截面上
的应力
I
T
..
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（4.12）实心圆截面扭
转轴横截面的
圆周上的应力
I
TR
max
（4.13）抗扭截面模量
（扭转抵抗矩）
R
I
W
T
（4.14）实心圆截面扭
转轴横截面的
圆周上的应力T
W
T
max
（4.15）圆截面扭转轴的
变形
GI
lT.
（4.16）圆截面扭转轴的
变形
i
i
i
iGI
lT
（4.17）单位长度的扭转
角
l
，
GI
T
（4.18）矩形截面扭转轴
长边中点上的剪
应力
3
maxb
T
W
T
T
T
W是矩形截
面
T
W的扭转抵
抗矩
（4.19）矩形截面扭转轴
短边中点上的剪
应力
max1
（4.20）矩形截面扭转轴
单位长度的扭转
角
4bG
T
GI
T
T
T
I
是矩形截
面的
T
I
相当极惯
性矩
（4.21）矩形截面扭转轴
全轴的扭转
角
4
.
.
bG
lT
l
,,与截
面高宽
比bh/有关
的参数
..
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（4.22）平面弯曲梁上任
一点上的线应变
y
（4.23）平面弯曲梁上任
一点上的线应力
Ey
（4.24）平面弯曲梁的曲
率
z
EI
M
1
（4.25）纯弯曲梁横截面
上任一点的正应
力z
I
My
（4.26）离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力z
I
yM
max
max
.
（4.27）抗弯截面模量
（截面对弯曲
的抵抗矩）max
y
I
W
z
（4.28）离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力z
W
M
max
（4.29）横力弯曲梁横截
面上的剪应力
bI
VS
z
z
*
*
z
S被切割面
积对中性轴
的
面积矩。
（4.30）中性轴各点的剪
应力
bI
VS
z
z
*
max
max
（4.31）矩形截面中性
轴各点的剪应力
bh
V
2
3
max
（4.32）工字形和T形截
面的面积矩
***
ciiz
yAS
（4.33）平面弯曲梁的挠
曲线近似微分方
程
)("xMEIv
z
V向下为正
X向右为正
（4.34）平面弯曲梁的挠曲
线上任一截面
的转角方程
CdxxMEIvEI
zz
)('
..
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（4.35）平面弯曲梁的挠曲
线上任一点挠度方
程
DCxdxdxxMvEI
z
)(
（4.36）双向弯曲梁的合成
弯矩
22
yz
MMM
（4.37a）拉（压）弯组合矩形
截面的中性轴在Z轴
上的截距p
y
zz
i
za
2
0
pp
yz,是集中
力作用点的
标
（4.37b）拉（压）弯组合矩形
截面的中性轴在Y轴
上的截距p
z
yy
i
ya
2
0
5应力状态分析
序号公式名称公式符号说明
（5.1）单元体上任
意
截面上的正
应力
2sin2cos
22x
yxyx
（5.2）单元体上任
意
截面上的剪
应力
2cos2sin
2x
yx
（5.3）主平面方位
角
yx
x
2
2tan
0
（反号与
x
0
）
（5.4）大主应力的
计算公式2
2
max22x
yxyx
（5.5）主应力的计
算公式2
2
max22x
yxyx
（5.6）单元体中的
最大剪应力
2
31
max
（5.7）主单元体的
八面体面上
的剪应力
2
32
2
31
2
213
1
..
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（5.8）
面上的线
应变
2sin
2
2cos
22
xyyxyx
（5.9）
面与
+o90
面之
间的角应变
2cos2sin)(
xyyxxy
（5.10）
主应变方
向公式yx
xy
0
2tan
（5.11）大主应变
422
2
2
max
xyyxyx
（5.12）小主应变
422
2
2
max
xyyxyx
（5.13）
xy
的替代公
式
yxxy
045
2
（5.14）主应变方向
公式
yx
yx
045
0
2
2tan
（5.15）大主应变2
45
2
45
max222
00
yx
yx
（5.16）小主应变2
45
2
45
max222
00
yx
yx
（5.17）简单应力状
态下的胡克
定理
E
x
x
，
E
x
y
，
E
x
z
（5.18）空间应和状
态下的胡克
定理
zyxxE
1
xzyyE
1
yxzzE
1
（5.19）平面应力状
态下的胡克
)(
1
yxxE
..
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定理（应变形
式）
)(
1
xyyE
)(
yxzE
（5.20）平面应力状
态下的胡克
定理（应力形
式）
)(
12
yxx
E
)(
12
xyy
E
0
z
（5.21）按主应力、主
应变形式写
出广义胡克
定理
3211
1
E
1322
1
E
2133
1
E
（5.22）二向应力状
态的广义胡
克定理
)(
1
211
E
)(
1
122
E
)(
213
E
（5.23）二向应力状
态的广义胡
克定理
)(
121
2
1
E
)(
121
2
1
E
)(
112
2
2
E
0
3
（5.24）剪切胡克定
理xyxy
G
yzyz
G
zxzx
G
..
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6内力和内力图
序号公式名称公式符号说
明
（2.1a）
（2.1b）
外力偶的
换算公式
n
N
Tk
e
55.9
n
N
Tp
e
02.7
（2.2）分布荷载集度
剪力、弯矩之
间的关系
)(
)(
xq
dx
xdV
)(xq
向
上
为正
（2.3）
)(
)(
xV
dx
xdM
（2.4）
)(
)(
2
2
xq
dx
xMd
7强度计算
序号公式名称公式符号说明
（6.1）第一强度理
论：最大拉应
力理论。
当
）f
）f
u
ut
塑性材料
脆性材料
.(
(
*
1
1
时，材料发生脆性断
裂破坏。
（6.2）第二强度理
论：最大伸长
线应变理论。
当
）f）（
）f
u
ut
塑性材料
脆性材料
(
()(
*
321
1321
时，材
料发生脆性断裂破坏。
（6.3）第三强度理
论：最大剪应
力理论。
当
）f
）f
uc
y
脆性材料
塑性材料
(
(
31
31
时，材料发生剪
..
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切破坏。
（6.4）第四强度理
论：八面体面
剪切理论。
当
）f
）f
uc
y
脆性材料
塑性材料
(
2
1
(
2
1
2
32
2
31
2
21
2
32
2
31
2
21
时，材料发生剪切破坏。
（6.5）第一强度理
论的相当应
力
1
*
1
（6.6）第二强度理
论的相当应
力
）（
321
*
2
（6.7）第三强度理
论的相当应
力
31
*
3
（6.8）第四强度理
论的相当应
力
2
32
2
31
2
21
*
42
1
（6.9a）由强度理论
建立的强度
条件
][*
（6.9b）
（6.9c）
（6.9d）
由直接试验
建立的强度
条件
][
maxtt
][
maxcc
][
max
（6.10a）
（6.10b）
轴心拉压杆
的强度条件
][
maxttA
N
][
maxccA
N
..
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（6.11a）
（6.11b）
（6.11c）
（6.11d）
由强度理论
建立的扭转
轴的强度条
件
][
max1
*
1t
T
W
T
(适用于脆性
材料)
）（
321
*
2
=
][)1()0(
maxmaxmaxt
1
][
max
t
T
W
T
(适用于脆性材料)
][2
maxmaxmax31
*
3
2
][
max
T
W
T
(适用于塑性材料)
][3
00
2
1
2
1
max
2
maxmax
2
max
2
max
2
32
2
31
2
21
*
4
3
][
max
T
W
T
(适用于塑性材料)
（6.11e）由扭转试验
建立的强度
条件
][
max
T
W
T
（6.12a）
（6.12b）
平面弯曲梁
的正应力强
度条件
][
maxt
Z
tW
M
][
maxc
Z
cW
M
..
.下载可编辑.
（6.13）平面弯曲梁
的剪应力强
度条件
][
*
max
max
bI
VS
Z
Z
（6.14a）
（6.14b）
平面弯曲梁
的主应力强
度条件
][422*
3
][322*
4
（6.15a）
（6.15a）
圆截面弯扭
组合变形构
件的相当弯
矩
W
M
W
TMM
yZ
*
3
222
31
*
3
W
M
W
TMM
yZ
*
4
222
2
32
2
31
2
21
*
4
75.0
2
1
（6.16）螺栓的抗剪
强度条件
][
4
2
dn
N
（6.17）螺栓的抗挤
压强度条件
][b
c
b
ctd
N
（6.18）贴角焊缝的
剪切强度条
件
][
7.0
w
f
wf
lh
N
8刚度校核
序号公式名称公式符号说明
（7.1）构件的刚度
条件
]
.
[max
ll
（7.2）扭转轴的刚
度条件
][
max
GI
T
（7.3）平面弯曲梁
的刚度条件
][max
l
v
l
v
..
.下载可编辑.
9压杆稳定性校核
序号公式名称公式符号说明
（8.1）两端铰支的、
细长压杆
的、临界力的
欧拉公式
2
2
l
EI
P
cr
I取最小值
（8.2）细长压杆在
不同支承情
况下的临界
力公式
2
2
).(l
EI
P
cr
ll.
0
0
l—计算长度。
—长度系数；
一端固定，一端自由：
2
一端固定，一端铰支：
7.0
两端固定：
5.0
（8.3）压杆的柔度
i
l.
A
I
i
是截面的惯性
半径
（回转半径）
（8.4）压杆的临界
应力
A
P
cr
cu
2
2
E
cu
（8.5）欧拉公式的
适用范围
P
Pf
E
（8.6）抛物线公式
当
y
cf
E
57.0
时，
])(1[2
c
ycr
f
y
f—压杆材料的屈服
极限；
—常数，一般取
43.0
..
.下载可编辑.
AfAP
c
ycrcr
].)(1[2
（8.7）安全系数法
校核压杆的
稳定公式
][
cr
w
crP
k
P
P
（8.8）折减系数法
校核压杆的
稳定性
].[
A
P
—折减系数
][
][
cr，小于1
10动荷载
序号公式名称公式符号说明
（10.1）动荷系数
j
d
j
d
j
d
j
d
dN
N
P
P
K
P-荷载
N-内力
-应力
-位移
d-动
j-静
(10.2)构件匀加速
上升或下降
时的动荷系数
g
a
K
d
1
a-加速度
g-重力加速度
（10.3）构件匀加速
上升或下降
时的动应力
jjddg
a
K)1(
(10.4)动应力强度条件
][
maxmax
jdd
K
杆件在静荷载作用下][
的容许应力
（10.5）构件受竖直方向
冲击时的动荷系
数j
d
H
K
2
11
H-下落距离
（10.6）构件受骤加荷载
时的动荷系数
2011
d
K
H=0
..
.下载可编辑.
（10.7）构件受竖直方向
冲击时的动荷系
数j
j
dg
v
K
2
11
v-冲击时的速度
（10.8）疲劳强度条件
K
][
max
-疲劳极限
][
-疲劳应力容许值
K-疲劳安全系数
11能量法和简单超静定问题
序号公式名称
公式
（9.1）外力虚功：
Iiee
PMPPW...
332211
（9.2）内力虚功：
llll
TdlNdVddMW
（9.3）虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：0WW
e
（9.4）虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：WW
e
（9.5）莫尔定理：
llll
dTldNdVdM
（9.6）莫尔定理：
llll
dx
GI
TT
dx
EA
NN
dx
GA
VVK
dx
EI
MM
（9.7）桁架的莫尔定理：
..
.下载可编辑.
l
EA
NN
（9.8）变形能：
WU
（内力功）
（9.9）变形能：
e
WU（外力功）
（9.10）
外力功表示的变形能：
Iiii
PPPPU
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2211
（9.11）内力功表示的变形能：
llll
dx
GI
xT
dx
EA
xN
dx
GA
xKV
dx
EI
xM
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(2222
（9.12）卡氏第二定理：
i
iP
U
（9.13）卡氏第二定理计算位移公式：
lll
iiii
l
i
dx
P
T
GI
T
dx
P
N
EA
N
dx
P
V
GA
KV
dx
P
M
EI
M
（9.14）卡氏第二定理计算桁架位移公式：
l
P
N
EA
N
i
i
（9.15）卡氏第二定理计算超静定问题：
0
dx
R
M
EI
M
B
l
By
（9.16）莫尔定理计算超静定问题：
0
dx
EI
MM
l
By
（9.17）一次超静定结构的力法方程：
..
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0
1111
P
X
（9.18）
1
X方向有位移时的力法方程：
P
X
1111
（9.19）自由项公式：
dx
EI
MM
l
P
P
1
1
（9.20）主系数公式：
dx
EI
M
l
2
1
11
（9.21）桁架的主系数与自由项公式：
lEA
lN
2
1
11
l
P
PEA
lNN
1
1
..
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材料力学公式汇总
一、应力与强度条件
1、拉压
max
maxA
N
2、剪切
A
Q
max
挤压
挤压
挤压
挤压
A
P
3、圆轴扭转
Wt
T
max
4、平面弯曲①
max
z
maxW
M
②
maxtmaxt
max
max
y
I
M
z
t
maxc
max
max
y
I
M
z
c
cnax
③
bI
SQ
z
*
maxzmax
max
5、斜弯曲
max
y
y
z
z
maxW
M
W
M
6、拉（压）弯组合
max
max
z
W
M
A
N
tmaxt
z
maxt
y
I
M
A
N
z
cmaxc
z
z
maxc
A
N
y
I
M
注意：“5”与“6”两式仅供参考
7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论
z
2
n
2
w
2
n
2
wr3
4
W
MM
②第四强度理论
z
2
n
2
w
2
n
2
wr4
75.0
3
W
MM
二、变形及刚度条件
１、拉压
LEA
xxN
EA
LN
EA
NL
L
d)(
ii
..
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２、扭转
pp
ii
p
GI
dxxT
GI
LT
GI
TL
0180
p
GI
T
L
（m/）
３、弯曲
(1)积分法:)()(''xMxEIy
CxxMxEIxEIyd)()()('
DCxxxxMxEIyd]d)([)(
(2)叠加法:
21
,PPf…=
21
PfPf+…，
21
,PP=
21
PP…
(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情
况赋予正负号)
EI
ML
B
EI
PL
B2
2
EI
qL
B6
3
EI
ML
f
B2
2
EI
PL
f
B3
3
EI
qL
f
B8
4
EI
ML
B3
,
EI
ML
A6
EI
PL
AB16
2
EI
qL
AB24
3
EI
ML
f
c16
2
EI
PL
f
c48
3
EI
qL
f
c384
4
(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力
影响,其他变形与此相似,不予写出)
EI
LM
U
2
2
=
i
ii
EI
LM
2
2
=
EI
dxxM
2
2
(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)
i
iP
U
dx
P
xM
EI
xM
i
三、应力状态与强度理论
P
AB
M
ABAB
q
LLL
P
MAB
q
L
AB
2/L2/L
AB
L
CCC
..
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１、二向应力状态斜截面应力
2sin2cos
22xy
yxyx
2cos2sin
2xy
yx
２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
22
min
max)
2
(
2xy
yxyx
yx
xy
2
2tg
0
３、二向应力状态的极值剪应力
22
max
)
2
(
xy
yx
注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450
４、三向应力状态的主应力：
321
最大剪应力：
2
31
max
5、二向应力状态的广义胡克定律
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）
)(
1
yxxE
)(
1
xyyE
)(
yxzE
G
xy
xy
（2）、表达形式之二（用应变表示应力）
)(
12
yxx
E
)(
12
xyy
E
0
z
xyxy
G
6、三向应力状态的广义胡克定律
zyxxE
1
zyx,,
G
xy
xy
zxyzxy,,
7、强度理论
（1）
111
r
3212
r
b
b
n
（2）
313r
2
13
2
32
2
2142
1
r
s
s
n
8、平面应力状态下的应变分析
（1）
2sin
2
2cos
22
xyyxyx
..
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2sin
22
yx
2cos
2
xy
（2）
22
min
max
222
xyyxyx
yx
xy
0
2tg
四、压杆稳定
1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）
①细长受压杆
p
2
min
2
cr
L
EI
P
2
2
cr
E
②中长受压杆
sp
ba
cr
③短粗受压杆
s
“
cr
”=
s
或
b
2、关于柔度的几个公式
i
L
p
2
p
E
b
a
s
s
3、惯性半径公式
A
I
iz（圆截面
4
d
i
z
，矩形截面
12min
b
i（b为
短边长度））
五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）
能量方程UVT
冲击系数
st
d
2
11
h
K（自由落体冲击）
st
2
0
d
g
v
K（水平冲
击）
六、截面几何性质
1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）
dAI
P
2=
32
4d4
4
1
32
D
D
d
64
4
2
d
dAyI
z
4
4
1
64
D
12
3bh
12
3hb
32
3
max
d
y
I
Wz
z
4
3
1
32
D
6
2bh
6
2hb
2、惯性矩平移轴公式
AaII2
zcz
..
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