资本回收系数
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2023年3月18日发(作者：诗歌网)孙女士看到在邻近的城市中，一种品牌的火锅餐馆生意很火爆。她也想在自己所在的县城开
一个火锅餐馆，于是找到业内人士进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中
国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万
元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分
次支付，得到的答复是如果分次支付，必须从开业当年起，每年年初支付20万元，付3年。
三年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权的授予。假设孙女士现在身无分文，
需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获
得年利率为5%的贷款扶持。则孙女士应该如何选择
解析：对孙女士来说，如果一次支付，则相当于付现值50万元;
而若分次支付，则相当于一个3年的即付年金，孙女士可以把这个即付年金折算为3
年后的终值，再与50万元的3年终值进行比较，以发现哪个方案更有利。
如果分次支付，则其3年终值为：
S=20×(F/A,5%,3)×(1+5%)
=20×3.1525×1.05
=66.2025(万元)
如果一次支付，则其3年的终值为：
50×(F/P,5%,3)=50×1.1576=57.88(万元)
相比之下，一次支付效果更好。
如果比较现值：
一次支付现值为50万元
分次支付的现值=20×(P/A，5%，3)×(1+5%)=57.1872(万元)
结论：一次性支付较好。
例题】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。
已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，
从获得开采权的第1年开始，每年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结
束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年后
开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司
的投标?
甲公司：10亿美元的10年年金终值：（第1年末支付）
F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（亿美元）
乙公司：两笔收款复利终值：
第1笔收款（40亿美元）的终值（第1年初支付）
=40×（1+15%）10
=40×4.0456
=161.824（亿美元）
第2笔收款（60亿美元）的终值（第9年初支付）
=60×（1+15%）2
=60×1.3225
=79.35（亿美元）
终值合计161.824+79.35=241.174（亿美元）
P50【教材例3-14】李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀
请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：
（1）每个月来公司指导工作一天；
（2）每年聘金10万元；
（3）提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；
（4）在公司至少工作5年。
李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不
想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，
因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后
5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。
收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除
售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。
假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择?
解答：要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小
问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个即付年金。其现值计算如下：
P=20×（P/A，2%，5）×（1+2％）
或：P=20×[（P/A，2%，4）+1]
=20×（3.8077+1）
=20×4.8077
=96.154（万元）
从这一点来说，李博士应该接受房贴。
张先生要在一个街道十字路口开办一个餐馆，于是找到十字路口的一家小卖部，提出要
求承租该小卖部三年。小卖部的业主徐先生因小卖部受附近超市的影响，生意清谈，也愿意
清盘让张先生开餐馆，但提出应一次支付三年的使用费30000元。张先生觉得现在一次拿
30000元比较困难，因此请求能否延期支付。徐先生同意三年后支付，但金额为50000元。
若银行的贷款利率为5%，问张先生三年后付款是否合算。
解答：
本题中30000元为3年期的复利现值，而50000元为三年期的复利终值。可以计算出复
利率并与银行贷款利率比较。
30000×(F/P,i，3)=50000
(F/P,i，3)=1.6667，通过计算器计算可得i=18.56%，也可以采用内插法。由于延期付
款的年利率远高于银行贷款利率，因此张先生3年后支付这笔款项不合算。
考点二、现值和终值的计算
终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。
现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，通常记作P。
现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价
值。
（一）单利的现值和终值
1.单利终值
【例题】某人将100元存入银行，年利率2%，求5年后的终值。
[答疑编号659110201]
『正确答案』5年后的终值=1OO+1OO×2%×5=1OO×（1+5×2%）=110
（元）
F＝P×（1＋i×n）
2.单利现值
P＝F/（1＋i×n）
【例题】某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2%的情况下，目前应存入银行
的金额是多少？
[答疑编号659110202]
『正确答案』P=F／（1+n×i）=500／（1+5×2%）≈454.55（元）
结论：
（1）单利的终值和单利的现值互为逆运算，
（2）单利终值系数（1+n×i）和单利现值系数1／（1+n×i）互为倒数。
（二）复利的现值和终值
复利计算方法是指每经过一个计息期，要将该期所派生的利息加入本金再计算利息，逐期
滚动计算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的间隔，如年、月、日
等。除非特别说明，计息期一般为一年。
1.复利终值
【例题】某人将100元存入银行，复利年利率2%，求5年后的终值。
[答疑编号659110203]
解答：F＝P（1+i）n=100×（1+2%）5=110.4（元）
F=P（1+i）n
式中，（1+i）n为复利终值系数，记作（F／P，i，n），n为计息期。
2.复利现值
P=F／（1+i）n
式中，1／（1+i）n为复利现值系数，记作（P／F，i，n）；n为计息期。
【例题】某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2%的情况下，求当前应存
入金额。
[答疑编号659110204]
『正确答案』P=F／（1+i）n=100／（1+2%）5＝90.57（元）
结论：
（1）复利终值和复利现值互为逆运算；
（2）复利终值系数和复利现值系数互为倒数。
（三）年金终值和年金现值的计算
年金：等期等额收付款项。如交保险、季交房租；
包括普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。
普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是
普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。
递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永
续年金的收付期趋向于无穷大。
1.普通年金终值的计算（已知年金A，求终值F）
F=A×=A×（F/A,i,n）=A×普通年金终值系数
【例题】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学
儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九
年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2003年底相当于多少钱？
[答疑编号659110205]
『正确答案』F=1000×（F／A，2%，9）=1000×9.7546=9754.6（元）
【例题】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标
开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得
开采权，从获得开采权的第1年开始，每年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10
年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，
在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受
哪个公司的投标?
[答疑编号659110206]
『正确答案』
甲公司：10亿美元的10年年金终值：
F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（亿美元）
乙公司：两笔收款复利终值：
第1笔收款（40亿美元）的终值
=40×（1+15%）10
=40×4.0456
=161.824（亿美元）
第2笔收款（60亿美元）的终值
=60×（1+15%）2
=60×1.3225
=79.35（亿美元）
终值合计161.824+79.35=241.174（亿美元）
因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受
乙公司的投标。
2.偿债基金的计算
偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分
次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额（即已知终值F，
求年金A）。
在普通年金终值公式中解出A，这个A就是偿债基金。计算公式如下：
式中，称为“偿债基金系数”，记作（A/F，i，n）。
【例题】某人拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假
设银行利率为10%，则每年需存入多少元？
[答疑编号659110207]
『正确答案』根据公式A＝F×i/[（1+i）n-1]
＝10000×10%/[（1+10%）5-1]
＝10000×（A／F，10%，5）
＝10000×0.1638
＝1638（元）
【结论】
（1）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
（2）偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
3.普通年金现值
普通年金现值的计算实际上就是已知年金A，求普通年金现值P。
P=A×=A×（P/A,i,n）=A×普通年金现值系数
【例题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000
元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
[答疑编号659110208]
『正确答案』P＝40000×（P/A，6%，10）
＝40000×7.3601
＝294404（元）
【例题】钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商
出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年年末支付3万元。钱
小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进
行比较。（银行利率为6%）
[答疑编号659110209]
『正确答案』P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（万元）
钱小姐付给A开发商的资金现值为：10+14.7519=24.7519（万元）
如果直接按每平方米2000元购买，钱小姐只需要付出20万元，可见
分期付款对她不合算。
4.年资本回收额的计算
年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。年资本回
收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。
上式中，称为“资本回收系数”，记作（A/P，i，n）。
【例题】某企业借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的
金额为多少？
[答疑编号659110301]
解答：A=1000×12%/[1-（1+12%）-10]
=1000×1/（P/A，12%，10）
=1000×1/5.6502
≈177（万元）
【结论】
（1）年资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
（2）资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
5.即付年金终值的计算
即付年金的终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。
即付年金终值的计算公式为：
方法一：F＝A×（F/A，i，n）×（1＋i）＝普通年金终值×（1＋i）
方法二：
即付年金终值＝年金额×即付年金终值系数（在普通年金终值系数基础上期数加1，系数
减1）
F＝A×[（F/A，i，n＋1）-1]
【例题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银
行存款利率为5%，则王先生在第6年末一次能取出本利和多少钱?
[答疑编号659110302]
解答：【方法一】F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=21426（元）
【方法二】F=A×[（F/A，i，n+1）-1]
=3000×[（F/A，5%，7）-1]
=3000×（8.1420-1）
=21426（元）
6.即付年金现值
即付年金的现值就是把即付年金每个等额的A都换算成第一期期初的数值即第0期期末的
数值，再求和。即付年金现值的计算就是已知每期期初等额收付的年金A，求现值P。
＝A×（P/A，i，n）（1＋i）
＝A×[（P/A，i，n-1）+1]
【例题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15000元，分l0年付
清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
[答疑编号659110303]
『正确答案』P＝A×（P/A，i，n）（1＋i）
＝15000×[（P/A，6%，l0）（1＋6%）]
＝117025.5（元）
7.递延年金终值
定义：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18万元。
递延年金的终值计算与普通年金的终值计算一样，只是要注意期数。
F＝A（F/A，i，n）
式中，“n”表示的是A的个数，与递延期无关。
【例题】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：
方案一是现在起15年内每年末支付10万元；
方案二是现在起15年内每年初支付9.5万元；
方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。
假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有
利？
[答疑编号659110304]
解答：
方案一：F＝10×（F/A，10%，15）
＝10×31.772＝317.72（万元）
方案二：F＝9.5×[（F/A，10%，15）（1＋10%）]
＝332.03（万元）
方案三：F＝18×（F/A，10%，10）＝18×15.937＝286.87（万元）
从上述计算可得出，采用第三种付款方案对购买者有利。
8.递延年金现值
计算方法一：
先将递延年金视为n期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再折算到第一期期初：
P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
式中，m为递延期，n为连续收支期数。
计算方法二：
先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值：
P0＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]
计算方法三：
先求递延年金终值再折现为现值：
P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
【例题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规
定前l0年不用还本付息，但从第11年～第20年每年年末偿还本息5000元。
要求：用两种方法计算这笔款项的现值。
[答疑编号659110305]
解答：方法一：
P＝A×（P/A，10%，l0）×（P/F，10%，l0）
＝5000×6.145×0.386
＝11860（元）
方法二：
P＝A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，l0）]
＝5000×（8.514-6.145]
＝11845（元）
两种计算方法相差l5元，是因小数点的尾数造成的。
9.永续年金的现值
永续年金的现值可以看成是一个n无穷大后付年金的现值.
P（n→∞）＝A[1-（1＋i）-n]/i＝A/i