微分表
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2023年3月18日发(作者：英国插头)微分方程公式运用表
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微分方程公式运用表
一、一阶微分方程
判断特征：(,)
dy
fxy
dx
类型一：()()
dy
gxhy
dx
（可分离变量的方程）
解法（分离变量法）：()
()
dy
gxdx
hy
，然后两边同时积分。
类型二：()()
dy
PxyQx
dx
（一阶线性方程）
解法（常数变易法）：()()(())PxdxPxdxyeCQxedx
类型三：(,)(,)
dy
fxyftxty
dx
（一阶齐次性方程）
解法（换元法）：
y
u
x
令类型一
类型四：P()y=Q(x)yn
dy
x
dx
（伯努利方程）
解法（同除法）：1()()nn
dy
yPxyQx
dx
类型二
二、可降阶的高阶微分方程
类型一：()()nyfx
解法（多次积分法）：(1)()()n
du
uyfxfx
dx
令多次积分求
类型二：''(,')yfxy
解法：'(,)
dp
pyfxp
dx
令一阶微分方程
类型三：''(,')yfyy
解法：'(,)
dpdpdydp
pypfyp
dxdydxdy
令类型二
三、线性微分方程
类型一：''()'()0yPxyQxy（二阶线性齐次微分方程）
解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：
12
(),()yxyx
微分方程公式运用表
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则：
1122
()()()yxcyxcyx
类型二：''()'()()yPxyQxyfx（二阶线性非齐次微分方程）
解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：
31122
()()()yxcyxcyx
再找出非齐次方程的任意特解()
p
yx，则：
1122
()()()()
p
yxyxcyxcyx
类型三：'''0ypyq（二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特征方程法）：
2
2
1,2
4
0
2
ppq
pq
（一）12
2
1212
40xxpqycece
（二）
1212
0()xyccxe
（三）
1212
0,(cossin)xiiyecxcx
类型四：'''()ypyqfx(二阶线性常系数非齐次微分方程)
解法（待定系数法）：
（1）()()x
m
fxPxe型：先找出对应齐次微分方程的通解
3
()yx
0
()()1
2
kx
pm
k
yxxeQxk
k
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
是特征方程的二重根，
其中令1()mm
m
QxAxBx，将()
p
yx带入方程求出A,B,C
3
()()
p
yyxyx
（2）()()cos()sinx
ml
fxePxxPxx型：先找出对应齐次微分方程的
通解
3
()yx
max,
()()
()()cos()sin
0
1
kx
nn
pnn
nml
QxRx
yxxeQxxRxx
ik
ik
与是待定的n次多项式
若不是特征方程的根，
若是特征方程的根,
利用待定系数求出()
p
yx，则：
3
()()
p
yyxyx