ln图像

ln图像

-

2023年3月17日发(作者：教师法心得体会)

1/28

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义

第13讲函数的图象

➢考点1作函数的图象

[名师点睛]

函数图象的画法

[典例]（2022·全国·高三专题练习）分别画出下列函数的图象：

2/28

（

1

）

y

＝

|lgx|

；（

2

）

y

＝

2x＋2；

（

3

）

y

＝

x2－

2|x|

－

1;

（

4

）

y

＝

2

1

x

x





．

【解】（

1

）

lg,1

lg

lg,01

xx

yx

xx













的图象如图

①

．

（

2

）将2xy的图象向左平移

2

个单位即得22xy的图象．

图象如图

②

．

（

3

）

2

2

2

21,0

21

21,0

xxx

yxx

xxx













的图象如图

③

．

（

4

）因为

23

1

11

x

y

xx







，

所以先作出

3

y

x

的图象，

将其图象向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位，

即得

2

1

x

y

x







的图象，如图

④

．

[举一反三]

1

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值

域：

（

1

）

1

2

x

y

x







；（

2

）24||yxx；（

3

）1

3(1)2yx

；

3/28

（

4

）

2

x

y

x





；（

5

）

|(1)|yxx

；（

6

）

1

2||

y

x





．

【解】（

1

）

11

1

22

x

y

xx







，图象如图所示：

函数在(,2)和(2,)为减函数

.

因为

1

0

2x





，所以

1

11

2x





，故值域为：(,1)(1,)；

（

2

）

22

2

22

4(2)4,0

4

4(2)4,0

xxxx

yxx

xxxx













，图象如图所示：

函数在(,2]和[0,2]为减函数，在[2,0]和[2,)为增函数，

当2x时，

y

取得最小值4，故值域：[4,)；

（

3

）函数1

3(1)2yx

的图象如图所示：

4/28

函数在R上为增函数，值域：R.

（

4

）

222

1

222

xx

y

xxx







，图象如图所示：

函数在(,2)和[0,)为增函数，在(2,0]为减函数，

值域为：[0,).

（

5

）

(1)(1)yxxxx

，图象如图所示：

5/28

函数在(,0]和

1

,1

2







为减函数，在

1

0,

2







和

[1,)

为增函数

.

值域为：[0,)；

（

6

）

1

2||

y

x





，

函数在(,2)和(2,0]为减函数，在[0,2)和(2,)为增函数，

值域为：

1

(,0),

2











.

2

．（

2022·

北京

·

高三专题练习）已知函数()log(0)1)

a

fxxaa且，作出|()|yfx的大致

图像并写出它的单调性；

【解】当1a时，函数()log

a

fxx的图象，如图所示：

则|()|yfx的图象，如图所示：

6/28

由图象知：|()|yfx在

0,1上递减，在

1,上递增；

当01a时，函数()log

a

fxx的图象，如图所示：

则|()|yfx的图象，如图所示：

由图象知：|()|yfx在

0,1上递减，在

1,上递增；

➢考点2函数图象的识别

[名师点睛]

(1)抓住函数的性质，定性分析

7/28

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(2)抓住函数的特征，定量计算

利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．

[典例]

1

．（

2021·

天津

·

高考真题）函数

2

ln||

2

x

y

x





的图像大致为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

B

【解析】

设



2

ln||

2

x

yfx

x





，则函数

fx的定义域为0xx

，关于原点对称，

又







2

ln||

2

x

fxfx

x







，所以函数

fx为偶函数，排除

AC

；

8/28

当

0,1x时，2ln0,20xx，所以

0fx

，排除

D.

故选：

B.

2

．（

2022·

浙江台州

·

二模）函数

fx的图象如图所示，则其解析式可能是（）

A

．



4

3

e11x

x

fx

x







B

．





4

3

e1x

x

fx

x







C

．



e11x

x

fx

x





D

．





4

3

1

x

fx

xx







【答案】

A

【解析】由图象得，函数的定义域为{|01}xxx且，故排除

B

，

()0fx有一解

0

1xx，当0x或

0

1xx时，()0fx，当01x时或

0

xx时，()0fx，

故排除

C

，

当x无限接近负无穷大时，()fx无限接近1，故排除

D

，

故选：

A

3

．（

2022·

浙江

·

慈溪中学模拟预测）已知函数()2,()sinxfxgxx，则图像为下列图示的

函数可能是（）

9/28

A

．[()()]()yfxfxgxB

．

()

()()





gx

y

fxfx

C

．[()()]()yfxfxgxD

．

()

()()





gx

y

fxfx

【答案】

C

【解析】解：依题意图示对应的函数为偶函数，考虑到()()22xxfxfx为偶函数，

()()22xxfxfx为奇函数，()singxx为奇函数

.

因为

[()()]()yfxfxgx

为奇函数，故排除

A

，

又

()

()()





gx

y

fxfx

为奇函数，故排除

B

，

对于

D

：

()

()()





gx

y

fxfx

定义域为

|0xx，故排除

D

；

因为()()22xxfxfx在定义域上单调递增，()singxx在0,

2









上单调递增，

又函数图象在0x的右侧部分函数为单调递增的，

符合条件的只有[()()]()22sinxxyfxfxgxx

，

故选：

C.

[举一反三]

1

．（

2022·

江苏盐城

·

三模）函数

244xfxx

的大致图象是

()

A

．

B

．

10/28

C

．

D

．

【答案】

B

【解析】x时，指数函数增速快于二次函数，故

f(x)→+



，图象单调递增，故排除

C

；

x时，40x，24x，故

0fx

，故排除

D

；

又

120ff，即

f(x)>0

时有两个零点，故图象

B

符合，图象

A

不符合．

故选：

B

．

2

．（

2022·

浙江金华

·

三模）若函数

cos0xfxaaxa

，则下列图象不可能是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

B

【解析】当1a时，

cos1fxx，与选项

C

相符；

当1a时，

cos0faaaa；

cos0faaaa

，与选项

D

相

符；

11/28

当01a时，

0faa；

222cos20faaaa，与

A

相符；

fx

图象不可能是

B

中图象

.

故选：

B.

3

．（

2022·

江苏连云港

·

模拟预测）已知函数

sin36

()

ex

xx

fx



的图象大致为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

D

【解析】函数()fx的定义域为

R

，

sin3()6()sin36

()()

eexx

xxxx

fxfx





，即函数()fx是

R

上的奇函数，

B

不满足；

而当

1

6

x时，sin31,61,e0xxx，

0fx

，选项

A

，

C

不满足，选项

D

符合题意

.

故选：

D

4

．（

2022·

山东菏泽

·

二模）函数



5sin

cos

ex

x

fxxx在

2,2上的图象大致为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

12/28

【答案】

C

【解析】首先

fxfx，所以函数是奇函数，故排除

D

，

22f，故排除

B

，

当0,

2

x











时，

0fx，故排除

A

，只有

C

满足条件

.

故选：

C

5

．（

2022·

浙江绍兴

·

模拟预测）函数

2()

()







xx

xm

fx

aa

，的图象如图所示，则（）

A

．0,01maB

．0,1maC

．0,01maD

．0,1ma

【答案】

C

【解析】由图像可知，当0x时，()0fx，则0x时，2()0xm，则0m，

又由()fx图像不关于原点中心对称可知0m，则0m

则0x时，0xxaa，即

21

0

x

x

a

a



，则01a

故选：

C

6

．（

2022·

辽宁辽阳

·

二模）函数

2lg12fxxxx的部分图象大致为（）

13/28

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

A

【解析】因为

2lg12fxxxx，定义域为

R

，又

2lg12xxxfxfx，

所以

fx是奇函数，排除

C

；

当0x时，211x，2lg10x，则

0fx且

fx单调递增，排除

B

，

D.

故选：

A.

7

．（

2022·

江苏南京

·

三模）函数



1

cosfxxx

x









的部分图象大致是（）

A

．

B

．

14/28

C

．

D

．

【答案】

C

【解析】函数

fx的定义域为0xx，关于原点对称，



11

coscosfxxxxxfx

xx









所以

fx为奇函数排除

A

，

又

10

2

ff











排除

B

，当0x，

0fx

，排除

D

；

故选：

C.

8

．（

2022·

江苏江苏

·

三模）函数



2

,,R

axb

fxabc

xc







的图象可能是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

【答案】

B

【解析】因为,,Rabc，所以取0,0,0acb，此时



2

ax

fx

xc





，0x时，

0fx，0x

15/28

时，

0fx，故只有

B

符合题意

.

故选：

B.

9

．（

2022·

福建宁德

·

模拟预测）函数

yfx

的图象如图所示，则

f

（

x

）的解析式可能是

（）

A

．

22xfxB

．



2

log2fxx

C

．2fxxD

．212fxx

【答案】

B

【解析】

A

函数为递减的，错误；

C

函数的值域大于等于

0

，错误；

D

函数为二次函数，错误，

只有

B

符合

.

故选：

B.

➢考点3函数图象的应用

16/28

[名师点睛]

对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

利用函数的图象研究不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数

图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．

[典例]

1

．（

2022·

浙江杭州

·

高三期末）设函数

()fxxaxab（,abR），则（）

A

．对任意,abR，函数

yfx是奇函数

B

．存在,abR，使函数

yfx是偶函数

C

．对任意,abR，函数

yfx的图象是中心对称图形

D

．存在,abR，使函数

yfx的图象是轴对称图形

【答案】

C

【解析】解：因为

2

2

(),

()

(),

xabxa

fx

xabxa













，所以作出函数

yfx的大致图象，如图所

示：

17/28

由图可知，对任意,abR，函数

yfx不一定是奇函数；不存在,abR，使函数

yfx

是偶函数；对任意,abR，函数

yfx的图象是中心对称图形，且对称中心为

,ab；

不存在,abR，使函数

yfx的图象是轴对称图形；

故选：

C.

2

．（

2022·

北京

·

模拟预测）已知函数



2

log1fxxx

，则不等式

0fx的解集是（）

A

．

1,1B

．0,1C

．1,0D

．

【答案】

B

【解析】不等式



2

0log1fxxx

，

分别画出函数



2

log1yx

和yx的图象，

由图象可知



2

log1yx

和yx有两个交点，分别是

0,0和

1,1，

由图象可知



2

log1xx

的解集是0,1

即不等式

0fx的解集是0,1.

故选：

B

18/28

3

．（

2022·

天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数

2

1

244,1

()

,1x

xxx

fx

exx













，若

不等式

1

()||0

22

m

fxx的解集为，则实数

m

的取值范围为（）

A

．

1

,52ln3

4









B

．

1

,53ln3

3









C

．

1

,62ln3

4









D

．

1

,63ln3

2









【答案】

D

【解析】不等式

1

()||0

22

m

fxx的解集为,

等价于()|2|fxxm在R上恒成立

.

当1x时

,2()=244,fxxx

此时()fx在1x上单调递增

,

当11,()=,xxfxex则1()=-1,xfxe

当<1x时

,0()

,

故()fx在<1x上单调递减

.

当2-yxm与2()=244fxxx

相切时

,

设切点为



00

,xy,

所以00

()4-4=2fxx



,

解得

0

3

2

x,

35

()

22

f,

此时切线方程为

35

y=2x-+

22







,

该切线与x轴的交点为

1

,0

4

A







,

同理可得当

-2+yxm与1()=xfxex相切时

,

切线与x轴的交点为

3

3-ln3,0

2

B







,

又因为=|2|yxm与x轴的交点为,0

2

m

C







要使()|2|fxxm在R上恒成立

,

则点C在,AB之间移动即可

.

故

13

3-ln3

422

m

,

解得

1

6-3ln3

2

m

故选

:D

19/28

[举一反三]

1

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）已知函数

16

()n

n

fxx

x

(n

为正整数

)

，有下列四种说法：

①

函数()fx始终为奇函数；

②

当

n

为偶数时，函数()fx的最小值为

8

；

③

当

n

为奇数时，函数()fx的极大值为8；

④

当1n时，函数()yfx的图像关于直线2yx对称

.

其中所有正确说法的序号是（）

A

．

①②B

．

②③C

．

②④D

．

③④

【答案】

B

【解析】

16

()n

n

fxx

x

的定义域为

00，，+.

对于

①

，当

n=2

时，2

2

16

()fxx

x

，满足

()=()fxfx

，则()fx为偶函数；故

①

错误

.

对于

②

，当

n

为偶数时，0nx，所以

1616

()2=8nn

nn

fxxx

xx

，当

16

=n

n

x

x

，即

4nx

时

取等号，所以函数()fx的最小值为

8

；故

②

正确

.

对于

③

，当

n

为奇数时，作出

16

()n

n

fxx

x

的图像如图示：

由图像可得：()fx的极大值为8；故

③

正确

.

20/28

对于

④,

当1n时，作出函数

16

()fxx

x

和2yx的图像如图示：

显然函数()yfx的图像不关于直线2yx对称，故

④

错误

.

故选

:B

2

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）已知定义在R上的偶函数()fx，在(,0]上为减函数，且

(3)0f

，则不等式

(3)()0xfx

的解集是（）

A

．(,3)(3,)B

．(,3)(0,3)

C

．(3,0)(0,3)D

．(,3)(3,3)

【答案】

D

【解析】由题意，画出()fx的图象如图，

(3)()0xfx

等价于

30

()0

x

fx











，或

30

()0

x

fx











，由

图可知，不等式的解集为(,3)(3,3)

故选：

D

．

3

．（

2022·

北京丰台

·

一模）已知函数



3

2,,

3,

xxa

fx

xxxa













无最小值，则

a

的取值范围是

21/28

（）

A

．(,1]B

．(,1)C

．[1,)D

．(1,)

【答案】

D

【解析】对于函数33yxx，

可得

233311yxxx



，

由0y



，得1x或1x，由0y



，得11x，

∴

函数33yxx在

,1上单调递增，在

1,1上单调递减，在

1,上单调递增，

∴

函数33yxx在1x时有极大值

2

，在1x时有极小值2，

作出函数33yxx与直线2yx的图象，

由图可知，当1a时，函数

fx有最小值12f，当1a时，函数

fx没有最小值

.

故选：

D.

4

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）当

x∈[0

，

1]

时，下列关于函数

y=2(1)mx的图象与yxm

的图象交点个数说法正确的是（）

A

．当m0,1

时，有两个交点

B

．当

m1,2时，没有交点

C

．当

m2,3

时，有且只有一个交点

D

．当

m3,时，有两个交点

22/28

【答案】

B

【解析】设

f

（

x

）

=2(1)mx，

g

（

x

）

=xm，其中

x∈[0

，

1]

A

．若

m=0

，则()1fx与()gxx在

[0

，

1]

上只有一个交点(1,1)，故

A

错误．

B

．当

m∈

（

1

，

2

）时，

11

1()(0)1,()(0)1()()

2

fxfgxgmfxgx

m



即当

m∈

（

1

，

2]

时，函数

y=2(1)mx的图象与yxm的图象在

x∈[0

，

1]

无交点，故

B

正确，

C

．当

m∈

（

2

，

3]

时，2

111

()(1)(1),()(1)1

32

fxfmgxgm

m

，

当21(1)mm时()()fxgx，此时无交点，即

C

不一定正确．

D

．当

m∈

（

3

，

+∞

）时，

g

（

0

）

=m＞

1

，此时

f

（

1

）＞

g

（

1

），此时两个函数图象只

有一个交点，故

D

错误，

故选

B

．

5

．（多选）（

2022·

重庆八中高三阶段练习）已知函数()fx



2162491

1

1,1

9

xxx

fxx















，

则下列结

论正确的有（）

A

．

19nfnn，N*

23/28

B

．

1

(0,),()xfx

x

恒成立

C

．关于

x

的方程

(fxmmR

)

有三个不同的实根，则

1

1

9

m

D

．关于

x

的方程

19(nfxnN*)

的所有根之和为2

3

n

n

【答案】

AC

【解析】由题知1

211

1111

()(1)(2)((1))(1)9

9999

n

nn

fnfnfnfnnf



，故

A

正确；

由上可知，要使

1

(0,),()xfx

x

恒成立，只需满足01x时，

1

()fx

x

成立，即

2

1

16249xx

x

，即321624910xxx成立，令32()162491gxxxx，则

2()484890gxxx



得

12

13

,

44

xx，易知当

1

4

x时有极大值

1

()0

4

g，故

B

不正确；

作函数图象，由图可知，要使方程



(fxmmR

)

有三个不同的实根，则(2)(1)fmf，

即

1

1

9

m，故

C

正确；

由

1

()(1)

9

fxfx可知，函数在(,1]nn上的函数图象可以由(1,]nn上的图象向右平移一

个单位长度，在将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的

1

9

倍得到，由于

216249yxx的对称轴为

3

4

x，故0()9fx的两根之和为

3

2

，同理，1()9fx的两根之

和为

3

2

2

，

…

，

19nfx

的两根之和为

3

2(1)

2

n，故所有根之和为

2

33333

(2)(4)[2(1)]

22222

nnn，故

D

错误

.

故选：

AC

24/28

6

．（多选）（

2022·

全国

·

高三专题练习）已知函数



32

30

13

21,0

32

xx

fx

xxxx

















，则下列

结论正确的是（）

A

．

fx值域为

,1

B

．

fx在

1,1上递增

C

．



34

log2log2ff

D

．当

11

,

63

t









时，函数21gxfxtfxt





恰有

5

个不同的零点

【答案】

AD

【解析】当0x时，

3xfx

单调递增，所以

30,1xfx

当0x时，

32

13

21

32

fxxxx，

23212fxxxxx





令

0fx



得：12x，令

0fx



得：2x或01x，故

fx在

0,1，

2,单调递

减，在

1,2上单调递增，所以

fx在1x处取得极小值，在2x处取得极大值，又



1

1

6

f，



1

2

3

f，

01f，故当0x时，

fx的值域为

,1，综上：

fx值域为

,1，

A

选项正确；

fx在

0,1上单调递减，故

B

选项错误；由于

34

log2log2，且



3

log20,1

，



4

log20,1

，结合

fx在

0,1上单调递减，故



34

log2log2ff

，故

C

选项错误；当

25/28

11

,

63

t









时，2110gxfxtfxtfxfxt





，故

1fx或



11

,

63

fxt









，

有图象可知，

1fx时，0x，当



11

,

63

fxt









时，有

4

个根，综上：当

11

,

63

t









时，

函数21gxfxtfxt





恰有

5

个不同的零点，

D

选项正确

故选：

AD

6

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）方程1

169

xxyy

表示的曲线即为函数

yfx

的图象，

对于函数

yfx，有如下结论：

①

fx在R上单调递减；

②

函数

43Fxfxx不存在零点；

③

函数

yfx的值域是R；

④

fx的图象不经过第一象限

.

其中正确的命题是

_______________________

．（填写命题序号）

【答案】

①②③④

【解析】当4x时，由1

169

xxyy

得

2

10

916

yy

x

，可得0y≥，则有22

1

169

xy

，

26/28

当40x时，由1

169

xxyy

得

2

10

916

yy

x

，可得0y，则有

22

1

169

xy

，

当0x时，由1

169

xxyy

得

2

10

916

yy

x

，可得

22

1

916

yx



.

所以，函数

fx的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所

示：

对于

①

，函数

fx在R上单调递减，

①

对；

对于

②

，由于直线

3

4

yx是双曲线22

1

169

xy

、

22

1

916

yx

的一条公共渐近线，

故函数

fx的图象与直线

3

4

yx无交点，即函数

43Fxfxx不存在零点，

②

对；

对于

③

，函数

yfx的值域是R，

③

对；

对于

④

，

fx的图象不经过第一象限，

④

对

.

故答案为：

①②③④.

7

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）若()fx是奇函数，且在(,0)上是减函数，又(4)0f，

则

(2)(2)

0

fxfx

x



的解集是

___________

【答案】(6,2)(0,2)

【解析】因为函数()fx为奇函数，

所以(4)(4)0ff，

27/28

所以(4)0f，

因为函数()fx在(,0)上是减函数，所以函数()fx在

(0,)

上是减函数．

作出函数()fx的大致图象如图所示，

而

(2)(2)

0

fxfx

x



，等价于

(2)[(2)]

0

fxfx

x



，即

2(2)

0

fx

x



，

则

0

(2)0

x

fx











或

0

(2)0

x

fx











，

所以

0

420

x

x











或

0

024

x

x











，

解得62x或02x．

综上，

(2)(2)

0

fxfx

x



的解集是(6,2)(0,2)．

故答案为：(6,2)(0,2)

8

．（

2022·

全国

·

高三专题练习）已知函数

1yfx

是定义在R上的偶函数，且

fx在

,1上单调递减，

20f，则

10fxfx的解集为

__________

【答案】

1,01,2

【解析】

因为函数

1yfx是偶函数，所以

fx的图象关于直线1x对称．

28/28

由

fx在

,1上单调递减，得

fx在

1,上单调递增，且

020ff，

所以当0x或2x时，

0fx，当02x时，

0fx．

函数()fx的图象如图所示，

10fxfx等价于





0,

10

fx

fx















或





0,

10,

fx

fx















即

02

012

xx

x









或

或

02,

1012

x

xx











或

,

解得10x或12x.

故答案为：

1,01,2