均值定理

均值定理

-

2023年3月17日发(作者：三国之虎刺天下)

标准文案

大全

均值不等式的应用

一．均值不等式

1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则

2

22ba

ab



（当且仅当ba时取“=”）

2.(1)若

*,Rba，则ab

ba





2

(2)若

*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）

(3)若

*,Rba，则

2

2

















ba

ab(当且仅当ba时取“=”）

3.若0x，则

1

2x

x

(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则

1

2x

x

(当且仅当1x时取“=”）;

若0x，则

111

22-2xxx

xxx

即或(当且仅当ba时取“=”）

4.若0ab，则2

a

b

b

a

(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2

ababab

bababa

即或(当

且仅当ba时取“=”）5.若Rba,，则

2

)

2

(

22

2

baba





（当且仅当ba时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1)y＝3x2＋

1

2x2

（2）y＝x＋

1

x

技巧一：凑项例2：已知

5

4

x

，求函数

1

42

45

yx

x





的最大值.

技巧二：凑系数例3.当时，求

(82)yxx

的最大值.

变式：设

2

3

0x

，求函数

)23(4xxy

的最大值.

技巧三：分离例4.求

2710

(1)

1

xx

yx

x







的值域.

技巧四：换元求

2710

(1)

1

xx

yx

x







的值域.

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()

a

fxx

x

的单调性。

例5：求函数

2

2

5

4

x

y

x







的值域.

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.

（1）

231

,(0)

xx

yx

x





（2）

1

2,3

3

yxx

x





(3)

1

2sin,(0,)

sin

yxx

x



标准文案

大全

2．已知01x，求函数

(1)yxx

的最大值.；3．

2

0

3

x

，求函数(23)yxx的最大

值.

条件求最值1.若实数满足

2ba

，则ba33的最小值是.

变式：若

44

loglog2xy，求

11

xy



的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知

0,0xy

，且

19

1

xy

，求

xy

的最小值。

变式：（1）若

Ryx,

且

12yx

，求

yx

11



的最小值

(2)已知Ryxba,,,

且

1

y

b

x

a

，求

yx

的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋

y2

2

＝1，求x1＋y2的最大值.

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

ab

的最小值.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.

变式:求函数

15

2152()

22

yxxx

的最大值。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

cba,,

为两两不相等的实数，求证：

cabcabcba222

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、cR，且1abc。求证：

111

1118

abc









应用三：均值不等式与恒成立问题

例7：已知0,0xy且

19

1

xy

，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

标准文案

大全

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例8：若

)

2

lg(),lg(lg

2

1

,lglg,1

ba

RbaQbaPba





，则

RQP,,

的大小关系是.

均值不等式的应用

一．均值不等式

1.（1）若

Rba,

，则

abba222(2)若

Rba,

，则

2

22ba

ab





（当且仅当

ba

时取“=”）

2.(1)若*,Rba，则

ab

ba





2

(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当

ba

时取“=”）

(3)若*,Rba，则

2

2

















ba

ab

(当且仅当ba时取“=”）

3.若0x，则

1

2x

x



(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则

1

2x

x



(当且仅当1x

时取“=”）;若0x，则

111

22-2xxx

xxx

即或

(当且仅当ba时取“=”）

4.若

0ab

，则

2

a

b

b

a

(当且仅当

ba

时取“=”）

若0ab，则

22-2

ababab

bababa

即或

(当且仅当ba时取“=”）

5.若

Rba,

，则

2

)

2

(

22

2

baba





（当且仅当ba时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的

取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋

1

2x2

（2）y＝x＋

1

x

解：（1）y＝3x2＋

1

2x2

≥23x2·

1

2x2

＝6∴值域为[6，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋

1

x

≥2x·

1

x

＝2；当x＜0时，y＝x＋

1

x

=－（－x－

1

x

）

≤－2x·

1

x

=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧：

技巧一：凑项

例2：已知

5

4

x

，求函数

1

42

45

yx

x





的最大值。

标准文案

大全

解：因

450x

，所以首先要“调整”符号，又

1

(42)

45

x

x





不是常数，所以对

42x

要进行

拆、凑项，

5

,540

4

xx

，

11

42543

4554

yxx

xx











231

当且仅当

1

54

54

x

x





，即

1x

时，上式等号成立，故当

1x

时，

max

1y。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例3.当时，求

(82)yxx

的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题

为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到

2(82)8xx

为定值，故只需将

(82)yxx

凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，

(82)yxx

的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不

等式求最大值。

变式：设

2

3

0x

，求函数

)23(4xxy

的最大值。

解：∵

2

3

0x

∴

023x

∴

2

9

2

232

2)23(22)23(4

2



















xx

xxxxy

当且仅当

,232xx

即















2

3

,0

4

3

x时等号成立。

技巧三：分离例4.求

2710

(1)

1

xx

yx

x







的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分

离。

当,即时,

4

21)59

1

yx

x





（

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544

=5

tttt

yt

ttt





）

当,即t=时,

4

259yt

t



（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利

用不等式求最值。即化为()(0,0)

()

A

ymgxBAB

gx

，g(x)恒正或恒负的形式，然后运

用均值不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

()

a

fxx

x



标准文案

大全

的单调性。例5：求函数

2

2

5

4

x

y

x







的值域。

解：令24(2)xtt，则2

2

5

4

x

y

x







2

2

11

4(2)

4

xtt

t

x





因

1

0,1tt

t



，但

1

t

t



解得

1t

不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为

1

yt

t



在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

5

2

y

。

所以，所求函数的值域为

5

,

2











。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.

（1）

231

,(0)

xx

yx

x





（2）

1

2,3

3

yxx

x





(3)

1

2sin,(0,)

sin

yxx

x



2．已知01x，求函数

(1)yxx

的最大值.；3．

2

0

3

x

，求函数(23)yxx的最大

值.

条件求最值

1.若实数满足

2ba

，则ba33的最小值是.

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba

当ba33时等号成立，由

2ba

及ba33得

1ba

即当

1ba

时，ba33的最小值是6．

变式：若

44

loglog2xy

，求

11

xy



的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0xy，且

19

1

xy

，求

xy

的最小值。

错解

．．

：0,0xy，且

19

1

xy

，

199

2212xyxyxy

xyxy









故

min

12xy。

错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在

199

2

xyxy



等号成立

条件是

19

xy

即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出

等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

标准文案

大全

正解：

19

0,0,1xy

xy



，

199

1061016

yx

xyxy

xyxy









当且仅当

9yx

xy



时，上式等号成立，又

19

1

xy



，可得

4,12xy

时，

min

16xy。

变式：（1）若

Ryx,

且

12yx

，求

yx

11



的最小值

(2)已知Ryxba,,,

且

1

y

b

x

a

，求

yx

的最小值

技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋

y2

2

＝1，求x1＋y2的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a2＋b2

2

。

同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为

1

2

，x1＋y2＝x2·

1＋y2

2

＝2

x·

1

2

＋

y2

2

下面将x，

1

2

＋

y2

2

分别看成两个因式：

x·

1

2

＋

y2

2

≤

x2＋(

1

2

＋

y2

2

)2

2

＝

x2＋

y2

2

＋

1

2

2

＝

3

4

即x1＋y2＝2·x

1

2

＋

y2

2

≤

3

4

2

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问

题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等

式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考

虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝

30－2b

b＋1

，ab＝

30－2b

b＋1

·b＝

－2b2＋30b

b＋1

由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

－2t2＋34t－31

t

＝－2（t＋

16

t

）＋34∵t＋

16

t

≥2t·

16

t

＝

8

∴ab≤18∴y≥

1

18

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab

令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y

≥

1

18

标准文案

大全

点评：①本题考查不等式

ab

ba





2

）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何

由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的

关系，由此想到不等式

ab

ba





2

）（Rba,，这样将已知条件转换为含

ab

的不等式，进而

解得

ab

的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

a＋b

2

≤

a2＋b2

2

，本题很简单

3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形

式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝

25

变式:求函数

15

2152()

22

yxxx

的最大值。

解析：注意到21x与52x的和为定值。

22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx

又

0y

，所以022y当且仅当

21x

=

52x

，即

3

2

x

时取等号。故

max

22y。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些

变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知

cba,,

为两两不相等的实数，求证：

cabcabcba222

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、cR，且

1abc

。求证：

111

1118

abc









分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又

112

1

abcbc

aaaa





，可由此变形入手。

解：a、b、cR，1abc。

112

1

abcbc

aaaa



。同理

12

1

ac

bb

，

12

1

ab

cc



。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

111222

1118

bcacab

abcabc









。当且仅当

1

3

abc时取等号。

标准文案

大全

应用三：均值不等式与恒成立问题

例7：已知

0,0xy

且

19

1

xy

，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令,0,0,xykxy

19

1

xy

，

99

1.

xyxy

kxky





109

1

yx

kkxky



103

12

kk

。16k，,16m

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例8：若

)

2

lg(),lg(lg

2

1

,lglg,1

ba

RbaQbaPba





，则

RQP,,

的大小关系是.

分析：∵

1ba

∴

0lg,0lgba

2

1

Q

（pbabalglg)lglg

Qabab

ba

R



lg

2

1

lg)

2

lg(

∴R>Q>P。