数轴标根法
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2023年3月17日发(作者：教师成长计划)王鹏惺
数轴标根法在解分式不等式和高次不等式中的应用
分式不等式和高次不等式是高中数学中经常遇到的两类重要不等式，课本上给的解法
比较繁琐，本文将解这一问题的直观简单解法——数轴标根法解这两类不等式作以介绍，供
同学们学习时参考.
一、数轴标根法介绍
对高次多项式不等式：
0
nax+1
1
nax+2
2
nax+……+
n
a＞0.
第一步，先将x最高次项系数化为正数,再通过因式分解将其分解成一次因式和不可再
分解的二次因式的乘积，相同的一次因式写成幂指数的因式；
第二步，将其对应方程的根在数轴上标出来；
第三步，从右向左从上到下一次依次穿线，穿线时，遇到奇重根（即根对应的一次因式
的指数为奇数）时,在其对应的根处穿过，遇到偶重根（即根对应的一次因式的指数为偶数）
时，在其对应的根处，不穿过；
第四步，根据积的符号运算法则知，线在x轴上方部分对应区间表示已化为x最高次项
系数为正的不等式对应的函数在这些区间值为正数，故是大于零不等式对应的解，线在x轴
下方部分对应的区间表示表示已化为x最高次项系数为正的不等式对应的函数在这些区间
值为负数，故是小于零不等式对应的解，从而找出原不等式的解集.
口诀：高次化为正，式子因式化，从右上向左穿，遇奇穿过去遇偶不过线.
二、应用数轴标根法解高次不等式
例1解不等式4322xxx＞0.
分析：本题是高次不等式，可用数轴标根法.
解析：原不等式可化为：2(2)(1)xxx＜0，（1）
将对应的方程的根为0，
2
，1标在数轴上，观察
得，不等式（1）的解集为{x|
2
＜x＜0或0＜x＜1}，
∴原不等式的解集为{x|
2
＜x＜0或0＜x＜1}.
点评：对高次不等式都可用数轴标根法，在用数轴标根法时，注意：（1）先要将不等
式的最高次项系数化为正数；（2）穿线规则是从右向左，从上到下一次穿线；（3）奇重根穿
过，偶重根不穿过；（4）观察标根的数轴时，应结合已化为最高次项系数为正的不等式，得
出的是这个不等式的解集.本题可以利用积的符号法则，转化为次数较低的不等式组去解,
但较麻烦.
三、应用数轴标根法解分式不等式
例2解不等式
1
1
1
x
x
.
分析：本题是分式不等式，将其化为一端是分式另一端是0的分式不等式的标准形式，
利用商的符号法则转化为整式不等式，用数轴标根法解.
解析:移项通分得
22
1
x
x
0，
根据商的符号法则原不等式等价于
2(2)(1)0
10
xx
x
，
王鹏惺
即
(2)(2)(1)0
10
xxx
x
，
将对应方程的根标在数轴上，观察得，原不等式解集为{|212}xxx或.
点评：在用数轴标根法解分式不等式时，要先将其化为一端是分式另一端是0的分式
不等式的标准形式，利用商的符号法则转化为整式不等式，用数轴标根法解,若是含等号的
不等式，注意分母不为零不能忘.本题可以用分类条论的办法化为整式不等式组问题去解.
函数周期性结论总结
①f(x+a)=-f(x)T=2a
②f(x+a)=±
)(
1
xf
T=2a
③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|
④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a
证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)
⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a
证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a
⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)
f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t
f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a
⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|
证明：f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)
假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)
T=2(a-b)
现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可
f(x+2a-2b)
=f[a+(x+a-2b)]
=f[a-(x+a-2b)]
=f(2b-x)
=f(x)
⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)
证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)
f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x)
f(x+2a-2b)
=f[a+(x+a-2b)]
=-f[a-(x+a-2b)]
=-f(2b-x)
=f(x)
关于直线x=a对称
关于直线x=b对称