椭圆离心率公式

发布时间：2023-06-12 作者：admin 来源：文学

椭圆离心率公式

2023年3月17日发(作者：计算器功能)

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椭圆离心率的解法

一、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，

PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

｜PF｜

｜PD｜

②e=

｜QF｜

｜BF｜

③e=

｜AO｜

｜BO｜

④

｜AF｜

｜BA｜

⑤e=

｜FO｜

｜AO｜

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=

∴有③。

题目1：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭

圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把

已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=3c

c+3c=2a∴e=

=3-1

变形1：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正

F2F1

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三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=3-1

变形2:椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一

点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF1｜=

｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=a

PF2∥AB∴

｜PF1｜

｜F2F1｜

又∵b=a2-c2

∴a2=5c2e=

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程

式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

题目2：椭圆

=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠

ABF=90°，求e?

F2F1

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解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2

a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2

e2+e-1=0e=

-1+5

-1-5

(舍去)

变形：椭圆

=1(a>b>0)，e=

-1+5

,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个

顶点，求∠ABF？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答

案：90°

引申：此类e=

5-1

的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的

距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形

公式，列出有关e的方程式。

题目3：椭圆

=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两

点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?

解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m

在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：





a2–c2=m(2a-c)

2(a2-c2)=m(2a+c)

两式相除

：2a-c

2a+c



题目4：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜

为直径的圆与椭圆的一个交点，且

∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：

｜F1F2｜

sinF1PF2

｜F1P｜

sinF1F2P

｜PF2｜

sinPF1F2

根据和比性质：

｜F1F2｜

sinF1PF2

｜F1P｜+｜PF2｜

sinF1F2P+sinPF1F2

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变形得：

｜F1F2｜

｜PF2｜+｜F1P｜

sinF1PF2

sinF1F2P+sinPF1F2

∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°

sin90°

sin75°+sin15°

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知

sinF1PF2

sinF1F2P+sinPF1F2

变形1：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，

且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？

分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α

sinF1PF2

sinF1F2P+sinPF1F2

sin60°

sinα+sin(120°-α)

2sin(α+30°)

≥

∴

≤e<1

变形2：已知椭圆

4t2

=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与

长轴两端点重合）设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若

,求e的取值范围？

分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e=

sinF1PF2

sinF1F2P+sinPF1F2

sin(α+β)

sinα+sinβ

2sin

α+β

cos

α+β

2sin

α+β

cos

α-β

cos

-sin

sin

cos

+sin

sin

1-tan

tan

1-tan

tan

∵

1-e

1+e

∴

三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.

题目5：椭圆

=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B

两点，

→

与

→

=(3,-1)共线，求

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法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)





b2x2+a2y2=a2b2

y=x-c

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0

x1+x2=

2a2c

a2+b2

y1+y2=

2a2c

a2+b2

-2c=

-2b2c

a2+b2

→

=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则

-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=

法二：设AB的中点N，则2

→





x12

y12

=1①

x22

y22

=1②

①-②得：

y1-y2

x1-x2

x1+x2

y1+y2

∴1=-

(-3)既a2=3b2e=

四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

题目6：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足

→

1·

→

2=0

的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？

B(X

)

A(X

)

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分析：∵

→

1·

→

2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。

解：∴c

a2=b2+c2>2c2∴0

题目7：椭圆

=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上

一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？

分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。

思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e

解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(

,y0)M(

-c

)

既(

)则

→

1=-(

+c,y0)

→

2=-(

-c,

)

→

1·

→

2=0

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(

+c,y0)·(

-c,

)=0

(

+c)·(

-c)+

y02

a2-3c2≤0∴

≤e<1

解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c

｜PF2｜≥

-c则2c≥

-c3c≥

3c2≥a2则

≤e<1

设椭圆的左、右焦点分别为FF

、，如果椭圆上存在点P，使

，求离心率e的取值范围。

解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知，则

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

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解法3：利用三角函数有界性

记

解法4：利用焦半径

由焦半径公式得

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解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有平方后得

解法6：巧用图形的几何特性

由，知点P在以为直径的圆上。

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P

故有

离心率的五种求法

椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．

一、直接求出

、

，求解

已知圆锥曲线的标准方程或

、

易求时，可利用率心率公式

e来解决。

例

：已知双曲线12

y

（0a）的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该

双曲线的离心率为（）

解：抛物线xy62的准线是

x

，即双曲线的右准线

3122







x，则

02322cc，解得2c，3a，



e，故选

变式练习

：若椭圆经过原点，且焦点为0,1

、0,3

，则其离心率为（）

解：由0,1

、0,3

知132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，

∴2a，1c，所以离心率



故选

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

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解：由题设2a，62c，则3c，



e，因此选C

变式练习

：点

（

-3

，

）在椭圆1



（0ba）的左准线上，过点P且方向

为5,2a的光线，经直线

2y

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为

（）

解：由题意知，入射光线为3

1xy，关于2y的反射光线（对称关系）为

0525yx，则















055

解得

3a

，1c，则



e，故选A

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(

FF,则椭圆的离心率为

4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

。

5.若椭圆)0(,1

ba

短轴端点为P满足

PFPF，则椭圆的离心率为

e

。

6..已知)0.0(1

nm

则当mn取得最小值时，椭圆1



的的离心率为

7.椭圆

1(0)

的焦点为

F，

F，两条准线与

轴的交点分别为MN，，

若

MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是











，

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8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，

PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为

e

。

9.P是椭圆

=1（a＞b＞0）上一点，

FF、是椭圆的左右焦点，已知,2,

1221

FPFFPF

PFF

椭圆的离心率为

e13

10.已知

FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若75,15

1221

FPFFPF，则

椭圆的离心率为

11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该

椭圆的离心率为

12.设椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦

的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

。

13.椭圆1



（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离

等于

∣AF∣，则椭圆的离心率是

。

14.椭圆1



（a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过

焦点，则椭圆的离心率是

15

15.已知直线L过椭圆1



（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直

线L的距离为

，则椭圆的离心率是

16.在平面直角坐标系中，椭圆

1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，

为半径

作圆，过点







作圆的两切线互相垂直，则离心率

二、构造

、

的齐次式，解出

根据题设条件，借助

、b、

之间的关系，构造

、

的关系（特别是齐二次式），进而

得到关于

的一元方程，从而解得离心率

。

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例

：已知

、

是双曲线1



（

0,0ba

）的两焦点，以线段

为边作正

三角形

FMF

，若边

的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.324B.13C.

13

D.13

解：如图，设

的中点为P，则P的横坐标为

，由焦半径公式

aexPF



，

即

c















，得022





























，解得

31

e（31舍去），故选

变式练习1：设双曲线1



（ba0）的半焦距为

，直线L过0,a，b,0两

点.已知原点到直线的距离为c

，则双曲线的离心率为()

A.2B.3C.2D.

解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得





，

又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得

01616324ee，

得42e或

2e，又ba0，∴21

2





e，∴42e，

∴2e，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为

F、

F，0

120MFF，则双

曲线的离心率为（）

解：如图所示，不妨设bM,0，0,

cF，0,

cF，则

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bcMFMF，又cFF2

，

在

MFF中，由余弦定理，得

212

cos

MFMF

FFMFMF

MFF





,

即



22

22222

cbcbc





，∴







，

∵222acb，∴

222





，∴2223ca，∴

2e，∴

e，故选B

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

2．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆

的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是

13

3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，

如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是

13

4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等

腰直角三角形，则椭圆的离心率是21

5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2

是正三角形，则这个椭圆的离心率是

6．设

FF、分别是椭圆22

的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c

（

为半焦距）的点，且

122

FFFP，则椭圆的离心率是

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为

F、

F，过

F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若

PFF

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：

222















PFPF

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：设椭圆1



（0,0ba）的右焦点为

F，右准线为

l，若过

且垂直于

轴的弦的长等于点

F到

l的距离，则椭圆的离心率是.

解：如图所示，AB是过

F且垂直于

轴的弦，∵

lAD于D，∴AD为

F到准线

l的

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距离，根据椭圆的第二定义，

1

变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，

则该椭圆的离心率为（）

A2B

解：

2

五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知

F、

F是椭圆的两个焦点，满足

0MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是

(0,)

2．已知

FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且90

PFF，椭圆离心率e的

取值范围为













3．已知

FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且60

PFF，椭圆离心率e的

取值范围为











4．设椭圆1



（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，

椭圆离心率e的取值范围为1

e

5．在ABC△中，ABBC，

cos

B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭

圆的离心率

e

．

6．设

FF，分别是椭圆

（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P

使线段

PF的中垂线过点

F，则椭圆离心率的取值范围是











，

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配套练习

1.设双曲线1



（0,0ba）的离心率为

，且它的一条准线与抛物线

xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）

A.1

2412



B.1

9648



C.1



2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A．

B．

C．

D．

3．已知双曲线1



的一条渐近线方程为xy

，则双曲线的离心率为（）

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该

椭圆的离心率为A2B

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为

，则该

双曲线的离心率为（）

B2C2D22

6．如图，

F和

F分别是双曲线1



（0,0ba）的两个焦点，A和B是以O

为圆心，以

OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF

是等边三角形，

则双曲线的离心率为（）

13

7.设

F、

F分别是椭圆1



（0ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐

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标为

（

为半焦距）的点，且PFFF

221

，则椭圆的离心率是（）

13

15

8．设

F、

F分别是双曲线1



的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使

90AFF，且

3AFAF，则双曲线离心率为（）

9．已知双曲线1



（0,0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的

直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A2,1B2,1C,2D,2

10．椭圆1



（0ba）的焦点为

F、

F，两条准线与x轴的交点分别为M、

N，若

2FFMN，则该椭圆离心率的取值范围是（）

A．













,0B．











,0C．











D．













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答案：1.由3,



可得

3,6,

故选D

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2ab，椭圆的离心率

，选D。

3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得

224345

333



可得

,故选A

4.不妨设椭圆方程为

（ab0），则有

222

且，据此求出e＝

5.不妨设双曲线方程为

（a0，b0），则有

2221

且，据此解得e

＝2，选C

6.解析：如图，

F和

F分别是双曲线)0,0(1

ba

的两个焦点，A和B是以O

为圆心，以

FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF

是等边三角形，连接

，∠AF

=30°，|AF

|=c，|AF

|=3c，∴2(31)ac，双曲线的离心率为31，

选D。

7.由已知P（c

），所以22

)3()(2cc

c化简得

0222

eca

．

8.设F

，F

分别是双曲线

的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F

=90º，

且|AF

|=3|AF

|，设|AF

|=1，|AF

|=3，双曲线中

2||||2aAFAF，

2||||10cAFAF，∴离心率

e，选B。

9.双曲线

1(0,0)

的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线

的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

，∴

≥

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3，离心率e2=

222

cab



≥4，∴e≥2，选C

10.椭圆

1(0)

的焦点为

F，

F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，

若

||2

，

||2FFc，

MNFF≤，则

，该椭圆离心率e≥

，选

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