线性空间定义
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2023年3月17日发(作者：扇形面积公式小学)5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质
教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质
授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质
教学难点：性质及有关结论的证明
教学过程：
一、线性空间的定义
1.引例―――定义产生的背景
例子．设FbaFn,,,,则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.
（1）（2）)()(
（3）00有，对零向量（4）0）（使，有对
（5）aaa)(（6）baba)(
（7）)()(baab（8）
1
这里FbaFn,,,,
2.向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def:设V是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作,,,；F是一个数域
Fcba,,,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一
个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中的乘积记作Vaa,）。如果加法和
纯量乘法满足：
1）
2）)()(
3）0,0，有对VV（找出0元）
4）
，Vˊ
V
使得ˊ=0称ˊ为的负向量（找出负元）
5）aaa)(
6）baba)(
7）)()(baab
8）1
V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.
3.进一步的例子――加深定义的理解
例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.
例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.
例3{}V其加法定义为,数乘定义为a,则V是数域F上的线性空间.
注:V={0}对普通加法和乘法是数域F上的线性空间,称为零空间.
例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定
),,(,FaVaa
练习集合V对规定的,是否作成数域F上的线性空间？
1212
1122
12
,(,,,)(,,,)
(,,,),
(,,,)(0,0,,0)
n
nn
nn
n
VFaaabbb
ababab
aaaa
解显然V对,满足条件1）—7），但对任意的
12
(,,,)n
n
aaaF
有
1212
1(,,,)(0,0,,0)(,,,),
nn
aaaaaa
故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.
由此例可以看出,线性空间定义中的条件8)是独立的,它不能由其他条件推出.
二、线性空间的简单性质
1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.
Th5.2.1
1）V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.
2）)(
证明：1）设
12
0,0是V的两个零向量，则
1122
0000.
设
12
,是的负向量,则有
12
0,0,
于是
11121222
0()()0
*由于负向量的唯一性,以后我们把的唯一负向量记作.
2）因()0,所以().
3）*我们规定:(),且有.
定理5.2.2对F的任意数a,b和V中任意向量,,则有
1)
000.
2)()(),aaa特别地,(1).
3)或
4)(),().aaaabab
证明:1)因为0(00)00.所以
00.
类似地可证
00.
2)因为()(())00,aaaa所以()a是a的负向量,即
()aa.
同理可证().aa
3)设0,a如果0,a则有1,aF于是
1111()()
4)()(())(),aaaaaa
()(())().abababab
注:线性空间的定义中
1
与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.
事实上,由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).
反之,由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3）可推得
1
因为
1(1)1(1())
1(1)1()(11)(1)
1(1)0,
由性质3）10,1.所以
课堂讨论题：
检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：
1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加
法及数乘运算；
2）
11212
{(,,,)1,}
nni
VxxxxxxxF
21212
{(,,,)0,}
nni
VxxxxxxxF
按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；
3）
3
{()0,}nnVXTrXXF
3
{}V数域F上n阶对称与反对称方阵的全体
按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；
4）321
51321
{}n
ni
VaxaxaxaF
21
60121011
{1,}n
nni
VaaxaxaxaaaaF
按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；
5）全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？
全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？
6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为
ABABBA
三、子空间
1、子空间的定义
定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V的
加法和FV到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。
例5：F
n
[x]是F[x]的子空间.
例6：V是它本身的一个子空间.{0}也是V的子空间.
V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.
2、子空间的判断：
Th5.2.3设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集，则W是V的子空间
的充要条件：
（1）VV有,,
（2）WaVFa有,
证明：
(1)W对加法封闭,即对任意,,.WW有
(2)W对纯量乘法封闭,即对任意,,.aFWaW有
证明:必要性.设W是V的子空间,则V的加法是W的代数运算,从而W对V的加法
封闭;另外,
FV
到V的纯量乘法也是
FW
到W的纯量乘法,因此W对纯量乘法
也封闭.
充分性.由于W对V的加法封闭,对
FV
到V的纯量乘法封闭,所以V的加法是W
的代数运算,
FV
到V的纯量乘法也是
FW
到V的纯量乘法的代数运算.线性空间
定义中的算律1),2),5),6),7),8)对V中任意向量都成立,自然对W的向量也成立.由W
对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2,对于,00WW,所以V中的零向量属于W,
它自然也是W的零向量,并且(1)W,因此条件3)和条件4)也成立,故W是
V的子空间.
推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：
,,,abFWabW有
3、生成子空间
例7：设
12
,,,
n
是数域F上的线性空间V的一组向量.
),,,(
21n
L}|{
2211
Faaaa
inn
则),,,(
21n
L作为V的一个子空间.
1212
,0(1,2,,),
0000(,,,),
i
nn
ain
L
事实上取于是
所以
12
(,,,).
n
L
又因
11221122
()()
nnnn
aaabbb
11122212
()()())(,,,)
nnnn
abababL
1122
()
nn
aaaa
112212
()()()(,,,),
nnn
aaaaaaL
12
(,,,).
n
LV所以作成的一个子空间
1212
12
(,,,),,,
,,,,.
nn
n
L
称为由生成的
子空间称为它的一组生成元
4、子空间的交与并
Th4:W
1
,W
2
是V的两个子空间，则W
1
W
2
仍是V的子空间.(问W
1
W
2
是否为V
的子空间.)
证明:因为W
1
,W
2
是V的两个子空间，所以
1212
0,0,0,WWWW从而于是
12
.WW
12
,,,,abFWW对任意
12,
,abWabW有
12
,abWW因而
所以
12
WW是V的子空间.
推广：若W
1
，W
2
n
W是V的子空间，则
i
W),2,1(ni也是V的子空间.
例：A是一个n阶矩阵，S（A）={B][FM
n
|AB=BA}则S（A）是][FU
n
的一
个子空间.
证：
AIIA)(ASI
ABABABABASBB
221121
),(,，于是
又
AlBkB
AlBAkB
lABkABlBkBA
)(
)(
21
21
2121
)(
21
ASlBkB
2.两个子空间的并则不一定是子空间.（W
1
W
2
={
21
|WW或}）
.
12212121
VVVVVVVVVV或的子空间的充要条件是是的两个子空间，证明是，例：设
证：”（充分性）“当
1
V
2
V时
21
VV=
2
V
当
2
V
1
V时
21
VV=
1
V
由已知
1
V，
2
V均为V的子空间.
“”（反证）设
21
VV是V的子空间，且
1
V
2
V，
2
V
1
V，则存在
1
V，
2
V，
也存在
1
V，
2
V，由于,
21
VV且
21
VV是V的子空间，因而
21
VV，于是
1
V或
2
V，故有
1
V或
2
V与
2
V且
1
V矛盾
因此
1
V
2
V或
2
V
1
V