循环冗余校验码
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2023年3月17日发(作者：红包墙的布置图)详细介绍
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验
码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的
（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可
以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具
体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表
示成C(x)*2的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。
通过C(x)*2的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
编辑本段
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，
以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看
出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x^4+x^3+x+1，可转换为二进制数码11011。
而发送信息位1111，可转换为数据多项式为C(x)=x^3+x^2+x+1。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，
这个数始终保持不变。
在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方
利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应
该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做除，应使余数循环。
3CRC码的生成步骤
1、将x的最高次幂为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2的R次方。
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x^3+x+1。4位的原始报文为1010，求
编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(x)=x^3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成
1010000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移3位后的原始报文进行模2除，相
当于按位异或：
1010000
1011
------------------
1000
1011
------------------
011
得到的余位011，所以最终编码为：1010011
编辑本段
生成CRC码的基本原理
任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0’和‘1’取
值的多项式一一对应。例如：代码1010111对应的多项式为x6+x4+x2+x+1，而
多项式为x5+x3+x2+x+1对应的代码101111。
编辑本段
CRC码集选择的原则
若设码字长度为N，信息字段为K位，校验字段为R位(N=K+R)，则对于CRC
码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g(x)，使得
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);
其中:m(x)为K次原始的信息多项式，r(x)为R-1次校验多项式（即CRC校
验和），
g(x)称为生成多项式：
g(x)=g0+g1x1+g2x2+...+g(R-1)x(R-1)+gRxR
发送方通过指定的g(x)产生CRC码字，接收方则通过该g(x)来验证收到的
CRC码字。
编辑本段
CRC校验码软件生成方法：
借助于多项式除法，其余数为校验字段。
例如：信息字段代码为:1011001；对应m(x)=x6+x4+x3+1
假设生成多项式为：g(x)=x4+x3+1；则对应g(x)的代码为:11001
x4m(x)=x10+x8+x7+x4对应的代码记为：1；
采用多项式除法:得余数为:1010(即校验字段为：1010）
发送方：发出的传输字段为:1
信息字段校验字段
接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）
如果能够除尽，则正确，
给出余数（1010）的计算步骤：
除法没有数学上的含义，而是采用计算机的模二除法，即，除数和被除数
做异或运算。进行异或运算时除数和被除数最高位对齐，按位异或。
1
^11001
--------------------------
1111010000
^11001
-------------------------
11110000
^11001
--------------------------
00111000
111000
^11001
-------------------
001010
则四位CRC监督码就为：1010。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进
制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息
后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据
信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规
则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
编辑本段
代数学的一般性算法
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多
项式的系数。例如1100101表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，
即x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项
式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息
多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以
G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，得到一个数，如果这个余数为0，则说
明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息编码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，
G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP(x)=x3(x3+x2)=x6+x5G(x)=x3+x+1即R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，
得出CRC为010。
如果用竖式除法(计算机的模二，计算过程为
1110-------1011/1100000(1100左移3位)1011----11101011-----10101011
-----00100000----010因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x,即
1100000+010=1100010
如果传输无误，
T(x)=（x6+x5+x）/G(x)=x3+x2+x,G(x)=x3+x+1无余式。回头看一下上面的
竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算
法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
名称生成多项式简记式*应用举例
CRC-4x4+x+13ITUG.704
CRC-12x12+x11+x3+x+1
CRC-16x16+x15+x2+18005IBMSDLC
CRC-ITU**x16+x12+x5+11021ISOHDLC,ITUX.25,V.34/V.41/V.42,PPP-FCS
CRC-32x32+x26+x23+...+x2+x+104C11DB7ZIP,RAR,IEEE802LAN/FDDI,IEEE
1394,PPP-FCS
CRC-32cx32+x28+x27+...+x8+x6+11EDC6F41SCTP
*生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去
掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。**前称CRC-CCITT。ITU的前身是
CCITT。备注：（1）生成多项式是标准规定的（2）CRC校验码是基于将位串看作
是系数为0或1的多项式，一个k位的数据流可以看作是关于x的从k-1阶到0
阶的k-1次多项式的系数序列。采用此编码，发送方和接收方必须事先商定一个
生成多项式G(x)，其高位和低位必须是1。要计算m位的帧M(x)的校验和，基
本思想是将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x)除尽。
当接收方收到加有校验和的帧时，用G(x)去除它，如果有余数，则CRC校验错
误，只有没有余数的校验才是正确的。(3)名称生成多项式简记式*标准引用
CRC-4x4+x+13ITUG.704CRC-8x8+x5+x4+10x31CRC-8x8+x2+x1+10x07CRC-8
x8+x6+x4+x3+x2+x10x5ECRC-12x12+x11+x3+x+180FCRC-16x16+x15+x2+18005
IBMSDLCCRC16-CCITTx16+x12+x5+11021ISOHDLC,ITUX.25,V.34/V.41/V.42,
PPP-FCSCRC-32x32+x26+x23+...+x2+x+104C11DB7ZIP,RAR,IEEE802LAN/FDDI,
IEEE1394,PPP-FCS
CRC-32cx32+x28+x27+...+x8+x6+11EDC6F41SCTP。