函数的奇偶性口诀

函数的奇偶性口诀

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函数的奇偶性的归纳总结

考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个

x

，都有)()(xfxf，

那么函数)(xf就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个

x

，都有)()(xfxf,

那么函数)(xf就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概

念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

.

.

奇函数



图象关于原点成中心对称的函数，偶函数



图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必

要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函

数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数

f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数

时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或





1



xf

xf

或0xfxf〕



函数f（x）是偶函数；

对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf〔或





1



xf

xf

或

0xfxf

函数f（x）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较)(xf与)(xf的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数

是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，

若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.

【例1】判断下列函数的奇偶性：

(1).2()21;fxxx

(2).

223

(),0;

3

xx

fxxx

xx













解：()fx函数的定义域是()，，

∵2()21fxxx

，∴

2()()21fxxx221()xxfx

，

∴2()21fxxx

为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21fxxx

的图象如下：

由函数2()21fxxx

的图象可知，

.

.

2()21fxxx为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数

的奇偶性。

(2).解：由

3

0

3

x

x







，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).

∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

【例2】判断下列函数的奇偶性：

(1).

24

();

33

x

fx

x







(2).

3

()3sin(2);

2

fxx



(3).

0

2

1

()

1

x

fx

x







。

解：(1).由

240

330

x

x















，解得

22

06

x

xx











且

∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则

2244

();

33

xx

fx

xx







.

∴

2

24()

4

()();

x

x

fxfx

xx









.

∴

24

()

33

x

fx

x







为奇函数.

说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解

析式变形化简，然后再进行判断。

(2).函数

3

()3sin(2)

2

fxx



定义域为R，

∵

3

()3sin(2)3cos2

2

fxxx



，

∴()3cos2()3cos2()fxxxfx，

∴函数

3

()3sin(2)

2

fxx



为偶函数。

(3).由

2

0

10

x

x











，解得

0

1

x

x











，∴函数定义域为0,1xRxx，

又∵

0

22

111

()0

11

x

fx

xx







，∴()0fx，

∴()()fxfx且()()fxfx，

所以

0

22

111

()0

11

x

fx

xx







既是奇函数又是偶函数。

【例3】判断下列函数的奇偶性：

(1).2

0.5

()log(1)fxxx；(2).

(1),(0)

()0,(0)

(1),(0)

xxx

fxx

xxx

















解：(1).定义域为R，

∵22

0.50.5

()()log(()1)log(1)fxfxxxxx

2

0.50.5

log((1))log10xx

，∴f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。

.

.

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()fx与()fx关系，但当直

接找()fx与()fx关系困难时，可用定义的变形式：0xfxf

函数f（x）

是偶函数；0xfxf

函数f（x）是奇函数。

(2).函数的定义域为R，

当0x时，0,()()(1)(1)();xfxxxxxfx

当0x时，0,()0();xfxfx

当0x时，0,()()1()(1)().xfxxxxxfx

综上可知，对于任意的实数x，都有()()fxfx，所以函数()fx为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶

性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】已知函数()(0),fxxRx且对任意的非零实数

1,2

,xx

恒有

1212

()()(),fxxfxfx

判断函数()(0)fxxRx且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)，

令

12

1xx，得(1)0f，令

12

1xx，则2(1)(1),(1)0,fff

取

12

1,xxx，得()(1)(),fxffx()(),fxfx

故函数()(0)fxxRx且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1).求字母的值：

【例5】已知函数

21

()(,,)

ax

fxabcZ

bxc







是奇函数，又(1)2f，(2)3f，

求,,abc的值.

解：由()()fxfx得()bxcbxc，∴0c。

又(1)2f得12ab，而(2)3f得

41

3

2

a

b



，

∴

41

3

1

a

a







，解得12a。

又aZ，∴0a或1a.

若0a，则

1

2

bZ，应舍去；若1a，则1bZb=1∈Z.

∴1,1,0abc。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合

组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如f(－1)=－f(1)，得c=0。

(2).解不等式：

【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用

数形结合的方法.

解：画图可知f(x)＜0的解集为｛x｜－1＜x＜1｝，

∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.

答案：｛x｜0＜x＜2｝

.

.

说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x

－1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.

(3).求函数解析式：

【例7】已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).

分析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.

解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.

当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，

∴f(x)=－xlg(2+x)(x＞0).

∴

lg(2)(0)

()

lg(2)(0)

xxx

fx

xxx













。

说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

三、巩固训练：

一、选择题

1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］

时f(x)等于

A.－x(1－x)B.x(1+x)C.－x(1+x)D.x(x－1)

2.已知四个函数：①

2

1

log

1

x

y

x







，②

1

1

x

x

e

y

e







，③y=3x+3-x，④y=lg(3x+3-x).

其中为奇函数的是

A.②④B.①③C.①④D.①②

3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，则在R上f(x)的表达式为

A.－x(x－2)B.x（｜x｜－2）C.｜x｜(x－2)D.｜x｜（｜x｜－2）

二、填空题

4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，

b=____________.

5.若

1

()

21x

fxa



(x∈R且x≠0)为奇函数，则a=_______________.

6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，则f(5)=_______________.

7.已知

()fx

是定义在

(3,3)

上的奇函数，当03x时，

()fx

的图像如右图所示，那么不等式

()cos0fxx

的解

集是_____________

三、解答题

8.已知

11

()()

2()

Gxfx

fx









且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶

性。

9.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.

10.设函数()fx是偶函数，函数()gx是奇函数，且

3

()()

3

fxgx

x





，求()fx和

()gx的解析表达式。

11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。

12.已知()()fxgx、都是定义在R上的奇函数，若()()()2Fxafxbgx在区间

(0,)上的最大值为5，求()Fx在区间(,0)上的最小值。

13.已知()fx是奇函数，在区间(2,2)上单调递增，且有(2)(12)0fafa，

求实数

a

的取值范围。

.

.

四、巩固训练参考答案：

一、选择题

1.解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x).

∴f(x)=x(1+x).答案：B

2.提示：可运用定义，逐个验算.答案：D

3.解析：设x＜0，则－x＞0，

∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.

∴

2

2

2(0)

()

2(0)

xxx

fx

xxx













，即f(x)=x（|x|－2），故答案：B。

二、填空题

4.解析：定义域关于原点对称，故a－1=－2a，

1

3

a，

又对于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案：

1

3

，0。

5.解析：特值法：∵f(－1)=－f(1)，

11

11

()

2121

aa







，

1

2

a。

答案：

1

2

。

6.解析：整体思想：f(－5)=a(－5)7－b(－5)+2=17(a·57－5b)=－15，

∴f(5)=a·57－b·5+2=－15+2=－13.答案：－13。

7.解析：∵()fx

是定义在

(3,3)

上的奇函数，∴补充其图

像如图，又∵不等式

()cos0fxx

同解于

()0

cos0

fx

x











或

()0

cos0

fx

x











，解得3

2

x



，或1

2

x



或01x，∴

不等式

()cos0fxx

的解集是,10,1,3

22











，答案：

,10,1,3

22











。

三、解答题

8.解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.

∴

11

()()

2()

Gxfx

fx









111

()

22

xxx

x

eee

e











。

又()Gx

11

()()()

22

xxxxeeeeGx，∴G(x)为奇函数。

9.证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵f(0)≠0，∴f(0)=1.

令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴f(－y)=f(y).

∴f(x)是偶函数.

归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.

10.解：∵

3

()()(1)

3

fxgx

x





，∴

3

()()

3

fxgx

x





，

又∵函数()fx是偶函数，函数()gx是奇函数，∴()()fxfx，()()gxgx，

.

.

∴上式化为

3

()()(2)

3

fxgx

x





，解(1),(2)组成的方程组得

2

9

()(,3)

9

fxxRx

x





，

2

3

()(,3)

9

x

gxxRx

x





。

11.分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解

解：令g(x)=x5+ax3-bx，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)，

于是f(-2)＝g(-2)-8,∴g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.

12.解：设()()()hxafxbgx，则()()()hxafxbgx为奇函数，

因为当(0,)x时，()5,Fx所以()()()()23,hxafxbgxFx

所以当(,0)x时，()2()()()3,Fxhxafxbgx即()1,Fx

故()Fx在区间(,0)上的最小值为-1。

13.解：因为函数()fx是奇函数，所以()().fxfx

由(2)(12)0fafa得(2)(12)fafa，即(2)(21).fafa

又()fx在区间(2,2)上单调递增，故得

222

2212

221

a

a

aa

















，解得

1

0.

2

a

所以实数

a

的取值范围为

1

(,0).

2



注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，

培养逆向思维能力，判断出2,21(2,2)aa是解决本题的关键。