一元一次方程概念

一元一次方程概念

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2023年3月17日发(作者：文物保护与修复)

(完整)一元一次方程讲义

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智考一对一数学学科辅导讲义

学生姓名教师姓名班主任

上课日期时间段年级初一课时

教学内容一元一次方程

教学目标

1、方程的概念

2、一元一次方程

3、解一元一次方程

4、一元一次方程的应用

教学重点

1、方程概念

2、一元一次方程的概念

3、解一元一次方程的步骤

4、掌握一元一次方程的各类应用题

教学难点解一元一次方程、实际问题用一元一次方程来解析

教学准备课本，5年中考3年模拟,历年中考真题

教学过程

知识详解

一、等式的概念和性质小四

1、等式的概念

楷体五号用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式.

在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。等式可以是数字

算式,可以是公式、方程,也可以是用式子表示的运算律、运算法则.号

2、等式的性质

楷体五号等式的性质1：等式两边都加上（或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

若ab，则ambm；

等式的性质2:等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结

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果

仍是等式．若ab，则ambm，

ab

mm

(0)m

注意：（1)在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减,同时乘以或同时除

以，

不能漏掉某一边.

（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。

（3)在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即:如果ab，那么ba；

②等式具有传递性,即：如果ab，bc，那么

ac

;

【例01】判断题

(1）

11

1

23

xy是代数式；

（2）若

xy

,则44xmym；

【巩固】

回答下列问题，并说明理由．

(1)由2323ab能不能得到ab？

（2）由56abb能不能得到56a？

（3）由0x能不能得到

11

x

xx

?

【例02】根据等式的性质填空

(1）4ab，则ab；（2）359x，则39x；

【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式,并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的

(1）如果23x，那么x；

（2）如果6xy，那么6x；

二、方程的相关概念

1、方程

楷体五号含有未知数的等式叫作方程。

注意:定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定

有一个

待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。

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2、方程的次和元

楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.号

3、方程的已知数和未知数

楷体五号已知数:一般是具体的数值，如50x中（

x

的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和

0

是已知数,如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有

a

、b、

c

、

m

、

n

等表示。

未知数:是指要求的数，未知数通常用

x

、

y

、z等字母表示。如：关于

x

、

y

的方程2axbyc

中,

a

、2b、

c

是已知数，

x

、

y

是未知数。

楷体4、方程的解

楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

5、解方程

楷体五号求得方程的解的过程.

注意:解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果,前者是求出这个结果的

6方程解的检验

楷体五号要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、

右两边数值相等,那么这个数就是方程的解，否则就不是.

【例03】下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？

①34a；②28xy;③532；④1xy;⑤61xx；

⑥

8

3

x

；⑦230yy；⑧2223aa；⑨32aa．

【例04】判断题．

(1）所有的方程一定是等式。（）

(2）所有的等式一定是方程。（）

（3)241xx是方程。（）

【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。

（1）373xx；(3）2351xx；（4）

112

；．

【例05】检验括号里的数是不是方程的解：

3

21

2

yy（1y，

3

2

y）

【巩固】在1y、2y、3y中，是方程104yy的解．

三、一元一次方程的定义

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1、一元一次方程的概念

楷体只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程。

这里的“元"是指未知数，“次"是指含未知数的项的最高次数。

2、一元一次方程的形式

楷体五号标准形式：0axb（其中0a，

a

，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．

最简形式：方程axb（0a，

a

,b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．

注意：

（1)任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次

方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证,如方程22216xxx是一元一次方程.如果不

变形，直接判断就出会现错误。

（2）方程axb与方程(0)axba是不同的,方程axb的解需要分类讨论完成。

【例06】下列各式中：①3x;②2534；③44xx；④

1

2

x



；⑤213xx；⑥44xx;

⑦23x；⑧2(2)3xxxx.哪些是一元一次方程？

【巩固】下列方程是一元一次方程的是（）（多选)

A．1xyB．

2

25

x

C．0x

D．13axE．235x

【巩固】已知方程1(2)40aax是一元一次方程，则a；x．

四、一元一次方程的解法小四

1、解一元一次方程的一般步骤

楷体五号（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．

注意：不要漏乘不含分母的项,分子是个整体，含有多项式时应加上括号．

(2）去括号:一般地，先去小括号，再去中括号,最后去大括号．

注意:不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．

（3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．

注意：①移项要变号；②不要丢项．

(4）合并同类项：把方程化成axb的形式．

注意：字母和其指数不变．

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(5）系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数

a

（0a）,得到方程的解

b

x

a



．

注意：不要把分子、分母搞颠倒．

楷体

2、解一元一次方程常用的方法技巧

楷体五解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等

变形等

【例07】解方程：6(1)5(2)2(23)xxx

【例08】解方程：

12

2

25

yy

y





（2）分式中含有小数的一元一次方程的解法体五号

【例09】解方程:

7110.251

0.0240.0180.012

xxx



去分母,得；根据等式的性质（)

去括号，得；

移项，得；根据等式的性质（）

合并同类项，得；

系数化为

1

，得;根据等式的性质（）

【例10】解方程：

1

1

2

1

3

2

1

32

x

x







（3）含有多层括号的一元一次方程的解法

【例11】解方程:

1113

331

2242

y















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(4）一元一次方程的技巧解法

【例12】解方程：

1123

(23)(32)

11191313

xxx

五、一元一次方程的实际应用

(一）行程问题:

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt

（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题

就能迎刃而解。理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程.

例：甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车

从乙站开出，每小时行140公里。

（1)慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?

（3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?

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（4）两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

（二）行船问题

流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此，又叫行船问题.

流水问题有如下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）

逆水速度=船速—水速（V顺=V静-V水）

例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时,逆水

航行需要3小时，求两码头的之间的距离?

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真题在线

（2016山东济南一中月考）已知方程x+2m=3x-4与方程x—1=2的解相同，则m的值为（）

（2015湖北孝感中考）已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足Ix—

2

1

I-1=0，则m=(）

变式训练

【题01】下列变形中，不正确的是（）

A．若25xx,则5x．B．若77,x则1x．

C．若

1

0.2

x

x,则

10

1

2

xx．D．若

xy

aa

，则

axay

．

【题02】若关于x的方程223(4)0nxn是一元一次方程，求n的值．

【题03】已知2(23)(23)1mxmx是关于x的一元一次方程,则m．

【题04】若关于x的方程1(2)50kkxk是一元一次方程，则k=．

【题05】2(38)570abxbxa是关于x的一元一次方程,且该方程有惟一解，则x（)

A．

21

40

B．

21

40

C．

56

15

D．

56

15

【题06】解方程

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9

135

(3)3(2)36

524

xx

2151

1

36

xx



【题07】某人从家里骑自行车到学校.若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；

若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千

米？

【题08】一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分

钟,逆风飞行需要3小时,求两城市间距离.

教学反思