差的立方公式
律诗押韵-韩美林作品
2023年3月16日发(作者：feminism)立方和与立方差公式
教学目标
1使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算；
2注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力.
教学重点和难点
重点：公式的推导.
难点：公式的正确运用.
课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么?
(公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可
以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略)
二、师生共同研究立方和与立方差公式
提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公
式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则)
请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算
(a+b)(a2-ab+b2)
＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
＝a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)
＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a3-b3
根据学生的板演提问：
1这两道多项式乘法计算的算式有什么特点?
(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而
且是立方的形式)
2二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只
有2项?(同类项合并)
3比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同?
(乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘)
4等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系?
(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积)
5比较这两个等式的异同
(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式
中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用
于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字
让学生看书，并让学生用语言叙述公式
三、运用举例变式练习
例计算：
(1)(3+2y)(9-6y+4y2)；
(2)(5a-
2
1
b2)(25a2+
4
1
b4+
2
5
ab2)；
(3)(2x+1)(4x2+2x+1)
第(1)题由师生共同解答，教师板演；第(2)、(3)题由学生板演
对于第(3)题，根据学生板演情况，教师正确引导，如果学生根据多项式乘法法
财进行计算，那么教师给予肯定，并指出解题时一定要仔细观察算式是否符合公
式的特点，若不符合公式的特点，则可用多项式乘法法则进行计算；如果学生直
接用公式进行计算，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不能运
用公式进行计算的道理；如果学生犹豫不决时，教师适当进行引导，通过同学之
间互相帮助，使其顺利地完全计算
板演计算格式：
(1)解：原式＝33+(2y)3
＝27+8y3；
(2)解：原式＝(5a)3-(
2
1
b2)3
＝125a3-
8
1
b6；
(3)解：原式＝8x3+4x2+4x2+2x+2x+1
＝8x3+8x2+4x+1
课堂练习
1填空，使之符号立方和或立方差公式：
(1)(x-3)()＝x3-27；(2)(2x+3)()＝8x3+27；
(3)(x2+2)()＝x6+8；(4)(3a-2)()＝27a3-8
思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a与b?
(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立言和(或
差))
2填空，使之符号立言和或立方差公式：
(1)()(a2+2ab+4b2)＝__________；(2)()(9a2-6ab+4b2)＝__________；
(3)()(
4
1
-xy+4y2)＝__________；(4)()(m4+4m2+16)＝__________
思考题：在第2题中，有几种方法判断公式中的a与b?
3运用立方和与立方差公式计算：
(1)(y+3)(y2-3y+9)；(2)(c+5)(25-5c+c2)；
(3)(2x-5)(4x2+25+10x)；(4)(
3
2
a-
2
1
b)(
9
4
a2+
3
1
ab+
4
1
b2)；
(5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4)
四、发散思维自编题目
由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖、巧
妙、与众不同针对学生编出的题目，师生共同检查
五、小结
至今为止，我们已经学习了五个乘法公式，其中立方和与立方差公式的结构特征
最为和昨杂，大家一定要准确记忆、慎重使用
计算时同学们要注意两点：
1两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断
公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公
式
2记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差
六、作业
1运用乘法公式计算：
(1)(5-2y)(4y2+25+10y)；(2)(1+4x)(16x2+1-4x)；
(3)(2a-3b)(4a2+6ab+9b2)；(4)(-x-2y)(x2-2xy+4y2)；
(5)(y-x)(x2+xy+y2)；(6)(10-3)(9+30+100)
2计算：
(1)(x-1)(x2-x+1)；(2)(2a+b)(4a2-4ab+b2)；
(3)(b+5)(-5b+25+b2)；(4)(a-3)(a2+3a-9)
课堂教学设计说明
在上述教学设计过程中，我们充分考虑到了学生主体作用的发挥
首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，
自己得出结论的其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，
而是立足于复杂的思维活动上就以编题来说，它要比单纯的套用公式所付出的
思维劳动更多些后者的对象是在主体的眼前的，只要把对象与公式逐项比较就
可完成，它可以说是看得见、摸得着的而前者，思维对象不在主体眼前，要主
体根据公式特点，自己去寻找对象，发散性大，给学生创造的自由度大同时，
在这过程中，一方面学生要动用他全部的知识经验；另一方面，在这过程中，要
运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等
第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，强
拉到自己的思路上来为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用?这也是由数学
教学的特点决定的在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知
识，并且在学习过程中，学生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干这样，
不管是学习知识，还是增强才干，都要学生亲自去实践、去体会，通过学生的动
脑、动手，对学生来说是把未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变过程中
提高认识能力所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程，这个过程只
能由学生自己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这
个过程也是无法完成的