椭圆的焦半径公式

椭圆的焦半径公式

乙烯结构式-公益性墓地

2椭圆常用结论

一、椭圆的第二定义:

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数

e

，那么这个点的轨

迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数

e

就是离心率（点与线成对出现，

左对左，右对右）

对于1

2

2

2

2



b

y

a

x

，左准线

c

a

xl

2

1

:；右准线

c

a

xl

2

2

:

对于1

2

2

2

2



b

x

a

y

，下准线

c

a

yl

2

1

:；上准线

c

a

yl

2

2

:

椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

焦点到准线的距离

c

b

c

ca

c

c

a

p

2222





（焦参数）

二、焦半径

圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：

焦点在

x

轴（左焦半径）

01

exar,（右焦半径）

02

exar,其中

e

是离心率

焦点在y轴

1020

,MFaeyMFaey其中

21

,FF分别是椭圆的下上焦点

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左

加右减，上减下加caPFcaPF

21

,

推导：以焦点在

x

轴为例

如上图，设椭圆上一点

00

,yxP，在y轴左边.

根据椭圆第二定义，e

PM

PF

1，

则

0

2

0

2

0

2

01

exa

c

a

x

a

c

c

a

xe

c

c

xePMePF







































































x

O

F

1

F

2

P

y

A

2

A

1

B

1

B

2

同理可得

02

exaPF

三、通径：

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在

x

轴为例，

弦AB

坐标：



















a

b

cA

2

,，

















a

b

cB

2

,

弦AB长度：

a

b

AB

22



四、若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为

.

推导：如图sin

2

1

21

21





PFPFS

FPF

根据余弦定理，得

cos=

21

2

21

22

2PFPF

FFPFPF





=

21

2

21

2

1

2

42)

PFPF

cPFPFPFPF





=

21

2

21

2

2

424

PFPF

cPFPFa





=

21

21

2

2

24

PFPF

PFPFb





得

cos1

22

21



b

PFPF

sin

2

1

21

21





PFPFS

FPF

=



sin

cos1

2

2

12







b

=





cos1

sin

2



b=

2

tan2



b

1

2

2

2

2



b

y

a

x

21

,FF

21

PFF

21

FPF

2

tan2



b

x

O

F

1

F

2

P

y

A

2

A

1

B

1

B

2

五、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为

1122

(,),(,)AxyBxy,则它的弦长

222

12121212

1

1(1)()41ABxxxxxxyy





2

kk

k

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因

为

1212

()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则

12

AByy.

六、圆锥曲线的中点弦问题：

(1)椭圆中点弦的斜率公式：

设

00

(,)Mxy为椭圆

22

22

1

xy

ab

弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：

2

2

ABOM

b

kk

a



证明：设

11

(,)Axy，

22

(,)Bxy，则有

12

12

AB

yy

k

xx







，

22

11

22

22

22

22

1

1

xy

ab

xy

ab



















两式相减得：

2222

1212

22

0

xxyy

ab



整理得：

22

2

12

222

12

yy

b

xxa







，即

2

1212

2

1212

()()

()()

yyyy

b

xxxxa







，因为

00

(,)Mxy是弦AB的中点，所以

00

12

0012

2

2OM

yx

yy

k

xyxx







，所以

2

2

ABOM

b

kk

a



(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

中，以

00

(,)Mxy为中点的弦所在直线的斜率k=－

0

2

0

2

ya

xb

；

y

x

M

F

1F

2

O

A

B

F

′

F

P

H

y

0

x

A

由（1）得

2

2

ABOM

b

kk

a



0

0

2

2

2

21

y

x

a

b

ka

b

k

OM

AB



七、椭圆的参数方程)(

sin

cos

为参数















by

ax

八、共离心率的椭圆系的方程：

椭圆的离心率是，方程是大于0的参

数，0ba的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

例1、已知椭圆1

1625

22



yx

上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____

例2、如果椭圆

22

1

369

xy

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

例3、已知直线1xy与椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

相交于A、B两点，且线段AB的

中点在直线l：02yx上，则此椭圆的离心率为_______

例4、F是椭圆1

34

22



yx

的右焦点，1,1A为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）PFPA的最小值为

（2）PFPA2的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP



或

准线作出来考虑问题。

解：（1）设另一焦点为F



，则F



(-1,0)连AF



,PF



542)(22











FAaPAFPaFPaPAPFPA

)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x



)(22bac

a

c

e

tt

b

y

a

x

(

2

2

2

2



a

c

e

当P是F



A的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-

5

。

（2）作出右准线l，作lPH交于H，因42a，32b，12c，所以2a，

1c，

2

1

e.

∴PHPFPHPF2,

2

1

即

∴PHPAPFPA2

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为314

2



A

x

c

a

例5、求椭圆1

3

2

2

y

x

上的点到直线06yx的距离的最小值．

例6、椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的

距离等于，则椭圆的离心率e=（）

A．B．C．D．

例7、在椭圆中，F

1

，F

2

分别是其左右焦点，若|PF

1

|=2|PF

2

|，则该

椭圆离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．