线性代数矩阵运算
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2023年3月16日发(作者：海南大学图书馆)(完整word版)【线性代数】之矩阵的乘法运算
考研数学线性代数之矩阵的乘法运算
任意两个矩阵不一定能够相乘，即两个矩阵要相乘必须满足的条件是：只有当第一个矩阵A的列数与第
二个矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵A左乘一个n×p的矩阵B，会得到一个m×p的
矩阵C。左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前），比如说，A左乘E即AE.
一个m行n列的矩阵与一个n行p列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m行p列的矩阵,其中的第i
行第j列位置上的数为第一个矩阵第i行上的n个数与第二个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个
乘积之和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i）行第二（j）列)=
2（第一个矩阵第二(i)行第一列）＊2(第二个矩阵中第一行第二（j）列）
+
0（第一个矩阵第二（i)行第二列)＊1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：
矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法满足结合律；二,矩阵乘法不满足交换律。为什么矩阵乘法不
满足交换律呢？这是由矩阵乘法定义决定的。因为矩阵AB=C，C的结果是由A的行与B的列相乘和的结果；
而BA=D，D的结果是由B的行与A的列相乘和的结果。显然,得到的结果C和D不一定相等.同时，交换后两
个矩阵有可能不能相乘.
因为矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵乘法也不满足消去律.即由AB=AC是得不到B=C的,这是因为
()ABACABCO是得不到A=O或B-C=O即B=C。例
1110
0
0010
AB
0，但
00
00
ABO
那么由AB=O一定得不到A=O或B=O吗？回答是否定的。比如A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵,若A
的秩为n,则AB=O，得B=O；若B的秩为m，则AO，得A=O。为什么吗?原因会在有关齐次线性方程组的文章
里进行讲解.