几何变换

几何变换

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2023年3月16日发(作者：植物激素的概念)

内容基本要求略高要求较高要求

二次函数

1.能根据实际情境了解二次函数

的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的

图像；

1.能通过对实际问题中的情境分

析确定二次函数的表达式；

2.能从函数图像上认识函数的性

质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和

开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二

次方程的近似解；

1.能用二次函数

解决简单的实际

问题；

2.能解决二次函

数与其他知识结

合的有关问题；

一、二次函数图的平移

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk

的形式，确定其顶点

(,)hk，然后做出二次函数

2yax

的图像，将抛物线2yax

平移，使其顶点平移到

(,)hk

.

具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

知识点睛

中考要求

第三讲

抛物线与几何变换

2

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

2.关于y轴对称

2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

3.关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；

4.关于顶点对称

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是

2

2

2

b

yaxbxc

a



；

2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．

5.关于点mn，对称

2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛

物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物

线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再

写出其对称抛物线的表达式．

1.灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。

2.二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。

重、难点

例题精讲

2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page3of8

一、抛物线的平移

【例1】函数23(2)1yx

的图象可由函数23yx

的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）

A.

右移两个单位，下移一个单位

B.

右移两个单位，上移一个单位

C.

左移两个单位，下移一个单位

D.

左移两个单位，上移一个单位

【例2】⑴（09湖北孝感）将函数2yxx

的图象向右平移0aa

个单位，得到函数232yxx

的图象，

则a的值为()

A．1B．2C．

3

D．4

⑵（09湖北鄂州）把抛物线2yaxbxc

的图象先向右平移

3

个单位，再向下平移2个单位，所得

的图象的解析式是235yxx

，则

abc

________________．

⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n，抛物线

2

211

11

n

yxx

nnnn







与x轴交于

nn

AB、

两

点，以

nn

AB

表示这两点间的距离，则

9

ABABAB…

的值是

A．

2009

2008

B．

2008

2009

C．

2010

2009

D．

2009

2010

【例3】（08宁波）如图，

ABCDY中，4AB，点D的坐标是

(0

，

8)

，以点

C

为顶点的抛物线2yaxbxc

经过x轴上的点A，B．

⑴求点A，B，

C

的坐标．

⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

【例4】（09浙江宁波）抛物线254yaxxa

与x轴相交于点AB、，且过点54C，

．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解

析式．

y

x

O

AB

C

D

4

【例5】⑴设抛物线22yx，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使抛物线与直线

4yx

恰

好有一个交点，求p、q的值．

⑵把抛物线22yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点13，和

49，，求p、q的值．

⑶把抛物线2yaxbxc向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2yax，其图象

经过点

1

1

2









，，求原解析式．

【例6】（2010年海淀一模）关于x的一元二次方程240xxc

有实数根，且c为正整数.

（1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系

xOy

中,抛物线24yxxc与x轴交于A、B两

点（A在B左侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的

长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为,mn,当抛物线与（2）中的直

角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.

【例7】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个

单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部

分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page5of8



1

2

yxbbk

与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

二、抛物线的对称

【例8】函数2yx与2yx的图象关于______________对称，也可以认为2yx是函数2yx的图象

绕__________旋转得到．

【例9】已知二次函数221yxx

，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数

解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．

【例10】（“宇振杯”竞赛）设曲线C为函数20yaxbxca的图象，C关于y轴对称的曲线为

1

C

，

1

C

关于x轴对称的曲线为

2

C

，则曲线

2

C

的函数解析式为________________．

【例11】(2006年太原市数学竞赛题)

已知二次函数2441yaxaxa的图象是

1

C．

⑴求

1

C

关于点10R，中心对称的图象

2

C

的解析式；

⑵设曲线

1

C

、

2

C

与y轴的交点分别为

,AB

，当18AB时，求a的值．

【例12】（06太原）已知二次函数2441yaxaxa的图象是

1

c．

⑴求

1

c关于10R，成中心对称的图象

2

c的函数解析式；

6

⑵设曲线

12

cc、

与y轴的交点分别为

AB，

，当18AB时，求a的值．

【例13】（2010年延庆一模）如图，已知抛物线

1

C

：225yax的顶点为P，与x轴相交于A、B两

点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1），抛物线

2

C

与抛物线

1

C

关于x轴对称，将抛物线

2

C

向右平移，平移后的抛物线记为

3

C

，

3

C

的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求

3

C

的解析式；

（3）如图（2），点

Q

是x轴正半轴上一点，将抛物线

1

C

绕点

Q

旋转180后得到抛物线

4

C

．抛物线

4

C

的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形

是直角三角形时，求点

Q

的坐标．

y

x

A

O

B

P

M

图1

C

1

C

2

C

3

图24-1

y

x

A

O

B

P

N

图2

C

1

C

4

Q

E

F

图24-2

2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page7of8

【习题1】（09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx

关于x轴作轴对称变换，再将所得

的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为

A．22yxx

B．22yxx

C．22yxx

D．22yxx

【习题2】已知抛物线265yxx，求

⑴关于y轴对称的抛物线的表达式；

⑵关于x轴对称的抛物线的表达式；

⑶关于原点对称的抛物线的表达式．

【习题3】（09兰州）把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析

式为

A．213yxB．213yx

C．213yxD．213yx

【习题4】（09甘肃庆阳）将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）

A．221yxB．221yxC．221yxD．221yx

【习题5】（07金华）将抛物线23yx向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）

A.232yxB.23yxC.23(2)yxD.232yx

【习题6】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224yxx，则平移前抛物线的

解析式为________________．

家庭作业

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