复数的概念
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2023年3月16日发(作者：我和我的朋友作文)复数
一、考点、热点回顾
1.复数的有关概念
（1）复数
①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复
数z的实部，b叫做复数z的虚部.
注意：复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部.
（2）复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母C表示.
2.复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
实数（b＝0）
虚数（b≠0）
纯虚数a＝0
非纯虚数a≠0
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.
注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚
部.
（2）只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.
（3）由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.
4.复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了
原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
5.复数的两种几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→
一一对应
复平面内的点Z（a，b）.
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→
一一对应
平面向量OZ
→
.
6.复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ
→
，则OZ
→
的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝a2＋b2.
注意：复数a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以
比较大小.
二、典型例题
考点一、复数的概念
例1、下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（）
A.①B.②C.③D.④
【解析】对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不
是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时
（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.
【答案】D
变式训练1、1.对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（）
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C.
2.若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为（）
A.1B.1或－4
C.－4D.0或－4
解析：选C.易知
4－3a＝a2，
－a2＝4a，
解得a＝－4.
考点二、复数的分类
例2、已知m∈R，复数z＝
m（m＋2）
m－1
＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？
【解】（1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且
m（m＋2）
m－1
有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
（2）要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且
m（m＋2）
m－1
有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
（3）要使z为纯虚数，m需满足
m（m＋2）
m－1
＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
变式训练2、当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是
（1）纯虚数；（2）实数.
解：（1）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数，则
lg（m2－2m－7）＝0，
m2＋5m＋6≠0，
解得m＝4.
（2）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是实数，则
m2－2m－7>0，
m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
考点三、复数相等
例3、（1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值；
（2）已知a2＋（m＋2i）a＋2＋mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值；
（3）若关于x的方程3x2－
a
2
x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
【解】（1）由复数相等的充要条件，得
x＋y＝0，
y＝x＋1，
解得
x＝－
1
2
，
y＝
1
2
.
（2）因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得
a2＋am＋2＝0，
2a＋m＝0，
解得
a＝2，
m＝－22
或
a＝－2，
m＝22，
所以a＝±2.
（3）设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－
a
2
m－1＝（10－m－2m2）i，
所以
3m2－
a
2
m－1＝0，
10－m－2m2＝0，
解得a＝11或－
71
5
.
变式训练3、已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.
解：由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），
所以
a2－3a－1＝3，
a2－5a－6＝0，
即
a＝4或a＝－1，
a＝6或a＝－1，
所以a＝－1.
考点四、复数与复平面内的点
例4、已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a
的值（或取值范围）.
（1）在实轴上；
（2）在第三象限.
【解】（1）若对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝
1
2
.
（2）若z对应的点在第三象限，则有
a2－1<0，
2a－1<0.
解得－1
1
2
.故a的取值范围是
－1，
1
2
.
变式训练4、求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点
（1）位于第二象限；
（2）位于直线y＝x上.
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点就是点Z（a2＋a－2，
a2－3a＋2）.
（1）由点Z位于第二象限，得
a2＋a－2<0，
a2－3a＋2>0，
解得－2
故满足条件的实数a的取值范围为（－2，1）.
（2）由点Z位于直线y＝x上，得
a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
考点五、复数与复平面内的向量
例5、（1）已知M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O为复平面的原点，试写出OM
→
，ON
→
，OP
→
，
OQ
→
所表示的复数；
（2）已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求
点D对应的复数.
【解】（1）OM
→
表示的复数为1＋3i；ON
→
表示的复数为4－i；OP
→
表示的复数为2i；
OQ
→
表示的复数为－4.
（2）复数1对应的向量为OA
→
，其中A（1，0）；复数－1＋2i对应的向量为OB
→
，其中B（－1，2）；
复数－3i对应的向量为OC
→
，其中C（0，－3）；复数6－7i对应的向量为OD
→
，其中D（6，－7）.
如图所示.
（3）记O为复平面的原点，由题意得OA
→
＝（2，3），OB
→
＝（3，2），OC
→
＝（－2，－3）.设OD
→
＝（x，y），
则AD
→
＝（x－2，y－3），BC
→
＝（－5，－5）.
由题知，AD
→
＝BC
→
，所以
x－2＝－5，
y－3＝－5，
即
x＝－3，
y＝－2，
故点D对应的复数为－3－2i.
变式训练5、在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转
π
3
，所得向量对应的复数是
_____________.
解析：3－3i对应向量为（3，－3），与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴
负半轴上，且模为23.故所得向量对应的复数是－23i.
答案：－23i
考点六、复数的模
例6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（）
A.1B.2
C.3D.2
（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【解】（1）选B.因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2.
（2）法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），
则|z|＝a2＋b2，
代入原方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，
根据复数相等的充要条件，得
a＋a2＋b2＝2，
b＝8，
解得
a＝－15，
b＝8.
所以z＝－15＋8i.
法二：由原方程得z＝2－|z|＋8i（*）.
因为|z|∈R，所以2－|z|为z的实部，
故|z|＝（2－|z|）2＋82，
即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得|z|＝17.
将|z|＝17代入（*）式得z＝－15＋8i.
变式训练6、已知复数z＝3＋ai（a∈R），且|z|<4，求实数a的取值范围.
解：法一：因为z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝32＋a2，
由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈（－7，7）.
法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知
z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合，
由图可知－7
三、课后练习
1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()
A.B.2C.0D.1
解析:由复数相等的充要条件知,
x+y＝０，ｘ－１＝０
故x+y=0.故2x+y=20=1.
答案:D
2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()
A.4B.-1C.-1或4D.-1或6
解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
所以得m=-1.
答案:B
3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号)____________.
解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.
答案:②③④
4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()
A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i
解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象
限,|z|=>3.
答案:D
5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()
A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆
解析:∵|z|2-2|z|-3=0,
∴(|z|-3)(|z|+1)=0,
∴|z|=3,表示一个圆,故选A.
答案:A
6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.
解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,
所以=(-1,2),=(-2,-3).
又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),
所以对应的复数为-1-5i.
答案:-1-5i
7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,
(1)在虚轴上,求复数z;
(2)在实轴负半轴上,求复数z.
答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,
所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1
能力提升
8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.
解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,
即m≠sinθ+cosθ.
∵sinθ+cosθ∈[-2,2],
∴m∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.
解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0
即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.
答案:{a|a≠-1}
10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.
解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,
设z=-a+ai(a>0).
∵|z|=1,∴a2=
1
2
.而a>0,
∴a=
2
2
.∴z=
22
22
i
答案:z=
22
22
i
11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.
解析:设z=a+bi(a,b∈R),
则|z|=22ab,
代入方程得,a+bi+22ab=2+8i,
∴解得a=-15∴z=-15+8i.
答案:-15+8i
12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解析:M∪P=P,∴M⊆P,
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
解得m=2.
综上可知m=1或m=2.
答案:m=1或m=2
13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.
解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),
则x=2+cosθ,y=1+sinθ
即cosθ=x-2,sinθ=y-1
所以(x-2)2+(y-1)2=1.
所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.
答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.
14．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
答案:(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，∴
mm－1＝0，
m2＋2m－3≠0.
解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴
mm－1>0，
m2＋2m－3<0.
解得－3