极限思想
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2023年3月16日发(作者：朔州邮编)龙源期刊网
浅析极限思想及其应用
作者：赵莹然
来源：《中国科技纵横》2019年第03期
摘要：本文首先总结了极限思想的形成与发展，然后阐述了极限的数学概念，并給出了
求解极限的几种常见方法，尤其是洛必达法则，最后论述了极限思想的应用。
关键词：极限思想;极限概念;极限计算方法;极限思想应用
中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671-2064（2019）03-0185-02
极限思想在整个数学发展史上占有重要地位。极限思想就是通过极限概念分析和解决问题
的一种数学思想。在数学历史发展的过程中，极限思想不断被完善。随着近代严格极限理论的
确立，极限思想成为了微积分理论的基础。随后，在各个学科领域的分析中，也开始借助于极
限来定义。极限思想使得有限和无限、连续与不连续的相互转化成为现实。
1极限思想的形成与发展
极限思想的由来可以追溯到古代。例如战国时期庄周所著的《庄子·天下篇》中记载了“一
尺之棰，日取其半，万世不竭”;魏晋时期数学家刘徽在“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，
割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”;古希腊数学家芝诺的“二分法”和阿基里斯
悖论等[1]，这些都是早期极限思想的生动体现。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯提出了
关于计算面积和体积的穷竭法，证明了“圆的面积与直径的平方成正比”等结论。阿基米德通过
严密的计算，解决了求几何图形长度、面积、体积等性质的一系列问题，并提出了无穷小量的
概念，这一概念成为了17世纪牛顿创建微积分的基础。但贝克莱指出，牛顿在微分的推导过
程中先是认为无穷小量不是零，最后又让它等于零，无穷小量是“已死的幽灵”，即著名的贝克
莱悖论。这一悖论引发了数学史上的第二次危机。后来随着严格极限理论的建立，尤其是魏尔
斯特拉斯创立的ε-δ语言，用静态的方法描述了动态的极限和连续的概念，才消除了无穷小量
引起的混乱，从而使得第二次数学危机得以解决。自此之后，极限理论以充实和严密的自身体
系成为微积分的理论基础，使微积分摆脱了几何上的直观和运动上的不确切描述，进入了全新
的发展时期。随着现代数学理论的不断发展，极限概念也在进行着深层次的拓展，比如n维欧
式空间中的函数极限、距离空间中的点列极限以及拓扑空间中的半序点列极限等[2]。
2极限的数学概念
2.1数列极限
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考虑数列，随着n的增大，该数列的值与1的差值会越来越小。这样，给定一个趋于0的
正数ε，当n大于某个值时，1+与1的差值总会小于ε。类似的，可以给出数列极限的定义：
给定数列{an}，a为实常数，如果对于任意给定的ε>0，无论它多么小，总存在正整数N，使
得当n>N时，满足|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，并且a为数列{an}的极限，记作an=a或
an→a（n→∞）。若不满足上述条件，则数列{an}的极限不存在，即数列{an}不收敛，或称数
列{an}发散。
2.2函数极限
对于函数极限，也有类似的定义。设函数f（x）在点x0的某个去心领域内有定义，如果
存在实数A，对于任意给定的ε>0，无论它多么小，总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-
x0|<δ时，都有|f（x）-A|<ε成立，则称A是函数f（x）在x→x0时的极限，记作f（x）=A或
f（x）→A（x→x0）。若不存在这样的A，则称函数f（x）在点x0处的极限不存在[3]。
求数列和函数极限时，关键是找出与ε有关的N或δ。比如求函数极限时，一般可先限定
x的变化范围，然后从|f（x）-A|<ε入手，通过对|f（x）-A|进行适当放缩得出δ的值。
例1：证明（x2-5x+8）=2。
证：当x≠2时，由0<|x-2|<1可得0<|x-3|<2。根据函数极限定义，要证上式成立，即满足
对任意的ε>0，有|（x2-5x+8）-2|=|（x-2）（x-3）|<2|x-2|<ε，解得|x-2|<。取δ=min{1，}，则
当0<|x-2|<δ时，可满足|（x2-5x+8）-2|<ε，从而证得（x2-5x+8）=2。
2.3与极限思想有关的一些概念
（1）函数f（x）在点x0处连续，即f（x）在x0处的极限值等于在该点处的函数值f
（x0）。（2）函数f（x）在点x0处的导数，是函数值改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）与自变
量x的改变量Δx之比在Δx→0时的极限。（3）函数f（x）在[a，b]上的定积分，是[a，b]上
的任意划分P：a=x0 Δxi的极限。（4）数值级数un的敛散性由部分和数列Sn是否存在极限来定义。 3极限的几种计算方法 3.1函数极限运算法则 设：limf（x）=A，limg（x）=B，则： （1）lim[f（x）±g（x）]=A±B;（2）lim[f（x）·g（x）]=A·B;（3）lim=（B≠0）。 对于数列极限，类似法则仍然成立。 龙源期刊网 3.2夹逼准则 直接求出极限在很多时候是比较困难的，此时可以考虑对原变量进行适当的放缩，从而得 到两个易于求极限且极限值相同的新变量，则原变量的极限等于新变量的极限。 例2：求的极限。 解：对任意正整数n，显然有<≤=，易知→0，→0。 由夹逼准则可得=0。 3.3两个重要的极限 利用以下两个重要极限时，要注意函数具有或可化为该形式。 （1）=1。 例3：求。 解：=·）=·=1·1=1。 （2）=e或=e。 例4：求的極限。 解：==e2。 3.4洛必达法则 在计算分式极限时，通常会遇到分子分母都趋于零或无穷大的情况。实际上，就属于该种 形式。可以考虑借助导数来计算这种类型的极限，即洛必达法则。若函数f（x）和g（x）满 足以下条件： （1）f（x）和g（x）的极限都是0或都是无穷大;（2）f（x）和g（x）都可导，且g （x）的导数不为0;（3）lim存在（可以是有限数或∞）。 则极限lim也一定存在且等于lim，即lim=lim。 例5：求。 解：该极限形式是待定型，根据洛必达法则可得==。 龙源期刊网 在运用洛比达法则时，需要注意以下几点： （1）使用时要注意条件，首先观察是否属于或待定型。（2）要注意分子分母在限定区域 内是否可导，然后分别求分子、分母的导数。（3）对于0·∞、∞±∞、∞0、1∞、00等类型的极 限都可以转化成或型。就属于1∞型，=====e1=e。（4）若条件符合，可以连续使用洛必达法 则直至求出极限。但有时即使符合条件，使用洛必达法则也不一定能求出极限，此时应停止使 用该法则，寻求其他解法[4]。 4极限思想的应用 极限思想本质上是一种数量关系或空间形式，它反映了客观事物在运动变化过程中由量变 转化为质变的过程。极限理论是微积分的理论基础，同时也是研究微积分的基本工具。它不仅 在数学分析领域中起到了很大的作用，还能广泛应用到其他数学分支和自然科学中，比如微分 几何、计算数学以及物理学等领域。极限思想在概率论中也有着重要作用。概率的定义即为事 件发生频率的极限，但现实生活中实验的次数是有限的，因此研究概率时往往要用到求极限的 方法。概率论中的许多定理，比如大数定律与中心极限定理等，都是通过极限的语言来描述 的。极限的思想方法体现了有限与无限、变量与常量、近似与精确、量变与质变的对立统一。 它作为人类发现数学问题并尝试解决数学及相关学科问题的一种重要手段，在数学乃至科学发 展过程中起到了巨大的作用。 参考文献 [1]郑承民.极限思想的演变及其应用[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2011（4）： 89-94. [2]吴振英，陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报（自然科学版），2003（5）： 410-413. [3]陈纪修，於崇华，金路.数学分析-第2版[M].高等教育出版社，2004. [4]蔺守臣.求极限的方法[J].浙江师范大学学报（自然科学版），2001，24（s1）：40-41.