函数图像怎么画

函数图像怎么画

-

2023年3月16日发(作者：公法线千分尺)

一次函数

（一）函数

1、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

一次

函数

0kkxbk

k，b

符号

0k0k

0b0b0b0b0b

0b

图象

Ox

y

y

x

OOx

yy

xOOx

y

y

xO

性质y

随x的增大而增大

y

随x的增大而减小

二次函数

20fxaxbxca

0a0a

图像

定义域,

对称轴

2

b

x

a



顶点坐标

24

,

24

bacb

aa











值域

24

,

4

acb

a











24

,

4

acb

a











2

b

x

a



2

b

x

a



单调区间

,

2

b

a









递减

,

2

b

a









递增

,

2

b

a









递增

,

2

b

a









递减

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk

2.关于

y

轴对称

2yaxbxc关于

y

轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于

y

轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

3.关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2

b

yaxbxc

a

；

2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．

5.关于点mn，对称

2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是

222yaxhmnk

反比例函数

1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双

曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐

标轴相交（K≠0）。

2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而

减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增

大。

2.k>0时，函数在x0上同为减函数；k<0时，函数

在x0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图

象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的

平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称

轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），

那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交

点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）

的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变

量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质

规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但

这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近

y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠

近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0

＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数

比较幂式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log

a

x(a＞0，

a≠1).

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数

y=log

a

x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即

可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=log

a

x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中

作出函数

y=log

2

x，y=log

10

x，y=log

10

x,y=log

2

1

x,y=log

10

1

x的草图

图

象

a＞1a＜1

性

质

(1)x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0

(4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数

补

充

性

质

设y

1

=log

a

xy

2

=log

b

x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜10＜b＜1)

当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y

1

＞y

2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y

1

＞y

2

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称指数函数对数函数

一般形

式

y=ax(a＞0，a≠1)y=log

a

x(a＞0，a≠1)

定义域(-∞，+∞)(0，+∞)

值域(0，+∞)(-∞，+∞)

函

数

值

变

化

情

况

当a＞1时，

















)0(1

)0(1

)0(1

x

x

x

ax

当0＜a＜1时，

















)0(1

)0(1

)0(1

x

x

x

ax

当a＞1时

















)1(0

)1(0

)1(0

log

x

x

x

x

a

当0＜a＜1时，

















)1(0

)1(0

)1(0

log

x

x

x

x

a

单调性当a＞1时，ax是增函数；

当0＜a＜1时，ax是减函数.

当a＞1时，log

a

x是增函数；

当0＜a＜1时，log

a

x是减函

数.

图像y=ax的图像与y=log

a

x的图像关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点

①

11

,,1,2,3

32

a

时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

②

1

,1,2

2

a

时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

③任何两个幂函数最多有三个公共点．

nyx

奇函数偶函数非奇非偶函数

1n

01n

0n

yx2yx3yx1

2yx1yx

定义域RRR|0xx|0xx

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第Ⅰ象限的增

减性

在第Ⅰ象

限单调递

增

在第Ⅰ象

限单调递

增

在第Ⅰ象

限单调递

增

在第Ⅰ象

限单调递

增

在第Ⅰ象

限单调递

减

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

幂函数

yx

（

x

R，



是常数）的图像

在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数

yx

（

x

R，



是常数）

的图像都过点

)1,1(

；

②当

2

1

,3,2,1

时函数

yx

的图像都过

原点

)0,0(

；

③当

1

时，

yx

的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2

c

）；

④当

3,2

时，

yx

的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1

c

）

④

2

1



时，

yx

的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3

c

⑤

1

时，

yx

的的图像不过原点

)0,0(

，且在第一象限是“下滑”曲线（如

4

c

）

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

)1,1(),0,0(

；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，

1

时，图象是向下凸的；

10

时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点

)1,1(

后，图象向右上方无限伸展。

当

0

时，幂函数

yx

有下列性质：

（1）图象都通过点

)1,1(

；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与

y

轴无限地接近；向右无限地与

x

轴无限地接

近；

（4）在第一象限内，过点

)1,1(

后，



越大，图象下落的速度越快。无论



取任

何实数，幂函数

yx

的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

函数

x

b

axy

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似

符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，

a

b

x

b

ax2

（当且仅当

x

b

ax

即

a

b

x

时取等号），由此可得函数

x

b

axy

（a>0,b>0,x

∈R+）的性质:

当

a

b

x

时，函数

x

b

axy

（a>0,b>0,x∈R+）有最小值

a

b

2

，特别地，

当a=b=1时函数有最小值2。函数

x

b

axy

（a>0,b>0）在区间（0，

a

b

）上是

减函数，在区间（

a

b

，+∞）上是增函数。

因为函数

x

b

axy

（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数

x

b

axy

（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当

a

b

x

时，函数

x

b

axy（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-

a

b

2

，特别

地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数

x

b

axy（a>0,b>0）在区间（-∞，-

a

b

）

上是增函数，在区间（-

a

b

，0）上是减函数。