拉格朗日中值定理证明
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2023年3月16日发(作者：拍视频怎么拍)精品文档
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届学士学位毕业论文
关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法
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殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究
成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不
包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或
其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所
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阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内
容的一致性和准确性。
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摘要
拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,
本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先
本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在
分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何
法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了
区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;
最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函
数性态等具体问题中.
关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理
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SeveralSpecialProofsontheLagrange’sMeanValueTheorem
08404141ZHAOXia-yanMathematicsandAppliedMathematics
TutorWANGJian-zhen
Abstract
Lagrange’smeanvaluetheoremplaysanimportantroleinsometheoryeducations
inHigheralgebraandMathematicalanalysis,thisthesisintroducesseveralparticular
methodsprovingmethodsinordertocomprehendLagrange’smeanvaluetheorem
fall,applyinganalysisandgeometrywithconstructingauxiliary
functiontoproveLagrange’smeanvaluetheorem,intheaspectofanalysis,the
methodsofconstructingauxiliaryfunctionincludethereasoningmethod,original
functionmethod,thedeterminantmethodandchordanglemethod,Intheaspectof
geometric,themethodsofconstructingauxiliaryfunctionsincludethepoor
constructionmethod,areastructuremethodandtherotatingcoordinatetransformation
method;secondly,alsousethetheoremofnestedintervalprovingmethodandthe
Banachfixedpointtheoremtoproveit;finally,thisarticleappliesLagrange’smean
valuetheoremtothespecificquestioninthelimit,provingthefunctionofstateand
otherissues.
KeyWords:Lagrange’smeanvaluetheorem;Thetheoremofnestedinterval;The
Banachfixedpointtheorem
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目录
1．引言.............................................................1
2.利用分析法构造辅助函数...........................................1
3.利用几何法构造辅助函数...........................................4
4.利用区间套定理证明...............................................6
5.利用巴拿赫不动点定理证明.........................................7
6．拉格朗日中值定理的应用...........................................8
7.结语............................................................11
参考文献...........................................................12
致谢...........................................................12
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关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法
08404141赵夏燕数学与应用数学
指导教师王建珍
1.引言
微分中值定理作为微分学中的重要定理,是微分学应用的理论基础,是微分
学的核心理论.微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定
理,它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的
整体性质的工具,其中拉格朗日中值定理是核心,从这些定理的条件和结论可以
看出罗尔定理是其特殊情况,柯西定理和泰勒定理是其推广.首先回顾下拉格朗
日中值定理以及它的预备定理—罗尔中值定理.
定理1.1(罗尔中值定理)]1[若函数f满足如下条件:
(ⅰ)f在闭区间],[ba上连续;
(ⅱ)f在开区间),(ba内可导;
(ⅲ)
)()(bfaf
;则在),(ba内至少存在一点,使得
0)(
f.
定理1.2(拉格朗日中值定理)]2[若函数f满足如下条件:
(ⅰ)f在闭区间],[ba上连续;
(ⅱ)f在开区间),(ba内可导;则在),(ba内至少存在一点,使得
)(f
ab
afbf
)()(
.
课本上给出了拉格朗日中值定理的基本证法,在此基础上,下面给出了拉格朗日
中值定理的几种特殊证明方法.
2.利用分析法构造辅助函数
拉格朗日中值定理中的两个条件与罗尔中值定理中的前两个条件相同,二者
的区别仅仅在于区间端点处的函数值是否相等,基于这种关系,自然想到构造一
个辅助函数,使它满足罗尔中值定理的条件,从而是否由罗尔中值定理的结论导
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出拉格朗日中值定理的结论呢?事实上解决问题的关键是构造的这个辅助函数
)(xF
要在
],[ba
的端点有相同的函数值,即
)()(bFaF
,以下将对如何利用分析
法构造辅助函数进行深入的分析.
证明方法2.1（推理法）
由拉格朗日中值定理结论
)(f
ab
afbf
)()(
,可知其右端是一个常数,故
可设
ab
afbf
)()(
k
,则有
)()()(abkafbf
,即
kaafkbbf)()(
仔细观
察其特点,不难发现一个能使
)()(bFaF
的新函数:
kxxfxF)()(
,故
)(xF
就
是证明中所要利用的辅助函数.证明过程如下:
令
kxxfxF)()(
,其中k
ab
afbf
)()(
,由题设可知,)(xF在],[ba上连续,
在),(ba内可导,且
)()(bFaF
,即)(xF满足罗尔中值定理,故在),(ba内至少存
在一点,使得
)(F
)(f
0k,即
)(f
ab
afbf
)()(
证毕.
证明方法2.2（原函数法）
这种方法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅
助函数.由拉格朗日中值定理的变形))(()()(abfafbf
得
)(f
0)]()([)(afbfab,
令x得)(xf
0)]()([)(afbfab,
两边积分可得0)]()([))((cxafbfabxf,
取0c得0)]()([))((xafbfabxf,
若令xF
xafbfabxf)]()([))((,
容易验证)()(bFaF)()(bafabf,知xF满足罗尔中值定理的条件,所以
xF就是所求的辅助函数,证明过程如下:
令xF
xafbfabxf)]()([))((,x
],[ba,因为函数在闭区间],[ba内
连续,在开区间),(ba内可导,且)()(bFaF,所以至少存在一点),(ba,使得
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)(F
0
,又
)(F)(f
)]()([)(afbfab
,所以即
)(f
=
ab
afbf
)()(
,证
毕.
证明方法2.3(行列式法)
由于想得到
)()(bFaF
,故可根据行列式的性质]3[,设xF
1)(
1)(
1)(
xfx
bfb
afa
，
所以可以得到辅助函数并且满足
0)()(bFaF
.证明如下:
设xF
1)(
1)(
1)(
xfx
bfb
afa
x
],[ba
,则由行列式的性质可得
0)()(bFaF
,所
以xF满足罗尔中值定理,因而至少存在一点),(ba,使得
)(F
0,又
)(xF
=
0)(1
1)(
1)(
xf
bfb
afa
0)(1
1)(
0)()(
xf
bfb
bfafba
)()(bfaf))((abxf
,
所以
0))(()()()(
abfbfafF,即
)(f
=
ab
afbf
)()(
.
证明方法2.4(弦倾角法)
目的是为了得到aFbF,设连接连续曲线L:))(,{(xfx|}bxa,
两端点A和B的弦为AB(图1),其倾倾斜角为,则
－
2
2
，
tan
cos
sin
ab
afbf
)()(
,
也即有coscos)(sincosaafbbf,
所以令sincos)()(xxfxF,如此所得到的辅助函数)(xF就能满足要求,证
明如下:
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图1
设sincos)()(xxfxF
,其中曲线L:
))(,{(xfx|}bxa
,如上图所示,
且－
2
2
,则可得xF满足罗尔中值定理的条件,故至少存在一点
),(ba,使得
0)(
F
,又
)(F)(f
sincos,所以
)(f
ab
afbf
)()(
,
证毕.
3.利用几何法构造辅助函数
利用数形结合的思想方法解决数学问题有着非常直观的效果,对于微分中值
定理的证明,利用几何图形的特性观察分析,同样可以作出合适的辅助函数,下面
用不同的方法来加以说明.
证明方法3.1(作差法）
因为曲线L与其弦AB分别在ax和
bx
两点的高度对应相同（如图1），
所以不妨考虑过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数,于是令
)(xF
)(xf[
ab
afbf
)()(
)()(afax],
或)(xF
)(xf[
ab
afbf
)()(
)()(bfbx],
则可得)()(bFaF,因此所构函数)(xF满足罗尔中值定理.证明方法如下:
设)(xF)(xf[
ab
afbf
)()(
)]()(afax,)(xF在闭区间],[ba上连续,
)(xF在开区间),(ba内可导,且)()(bFaF,所以)(xF满足罗尔中值定理,则在
),(ba内至少存在一点,使)(F
0,即
0
)()(
)()(
ab
afbf
fF,
整理可得
)(f
ab
afbf
)()(
.
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证明方法3.2（面积法）
如图1所示,曲线L上任意一点
))(,(xfxP
与弦AB组成ABP的面积
)(xS
恰
好在区间
],[ba
上满足罗尔中值定理的三个条件,ABP的面积
)(xS
2
1
1)(
1)(
1)(
xfx
bfb
afa
,
而当点P与点A或B重合时,即ax或
bx
时,
0)(xS
,因此加以化解可引入
辅助函数
)(xF
1)(
1)(
1)(
xfx
bfb
afa
,
],[bax
,此时
0)()(bFaF
.证明方法如下:
令
)(xF
1)(
1)(
1)(
xfx
bfb
afa
,
],[bax
,则由行列式性质容易验证
0)()(bFaF
，
所以)(xF满足罗尔中值定理的三个条件,所以在),(ba内至少存在一点,使得
0)(
F
，又
)(xF
0)(1
1)(
1)(
xf
bfb
afa
0)(1
1)(
0)()(
xf
bfb
bfafba
))(()()(abxfbfaf
,
所以0))(()()()(
abfbfafF,即
)(f
ab
afbf
)()(
.
证明方法3.3（旋转坐标轴法）
如下图2所示,按弦AB的倾斜角旋转坐标系,可使新坐标系的X轴与原坐标
系中的弦AB平行,则原曲线的方程在旋转变换下一定满足罗尔中值定理的条件,
通过罗尔中值定理则可得出结论.证明如下:
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图2
根据新旧坐标之间的关系
cossin
sincos
yxY
yxX
,
可令cos)(sin)(xfxxY
，则可以验证.证明过程如下:
令cos)(sin)(xfxxY
,因为函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区
间),(ba上可导,所以函数)(xY在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba上可导,又由
tan
ab
afbf
)()(
,即
cos
sin
ab
afbf
)()(
,可得
cos)(sincos)(sinbfbafa,即)(aY
)(bY,从而由罗尔中值定理
可得,在),(ba内至少存在一点,使得0)(
Y,即0cos)(sin)(
fY,
故
)(f
=
ab
afbf
)()(
.
4.利用闭区间套定理证明
引理1（区间套定理）]4[如果闭区间系列]},{[
nn
ba满足下列条件
],[],[
11nnnn
baba
,
0)(lim
nn
n
ab，
则存在唯一实数],[
nn
ba
),2,1(n,且有
n
n
n
n
ba
limlim.
引理2]5[如果)(xf在],[ba上连续,那么必定存在),(,badc,使得
2
ab
cd
,
ab
afbf
cd
cfdf
)()()()(
.
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使用引理1和引理2，即可证明拉格朗日中值定理，反复使用引理2则可得区
间序列]},{[
nn
ba,满足
],[],[],[
2211
bababa,
nn
ab)(
2
1
ab
n
,
ab
afbf
ab
abf
nn
nn
)()(
)(
,
由区间套定理得必有
),(],[baba
nn
),2,1(n
,
使得
n
n
n
n
balimlim,
因为)(xf在处可导,所以由导数的定义得
)(
)()(
lim
)()(
lim
f
a
faf
b
fbf
n
n
n
n
n
n
,
从而当n时，有
)()()()()(
nnn
bbffbf,
)()()()()(
nnn
aaffaf,
nn
n
nn
n
nn
nn
ab
a
ab
b
f
ab
abf
)()(
)(
)(
,
又因为
0)
)(
(lim
)(
lim
nn
n
n
n
n
nn
n
nab
b
b
b
ab
b
,
0)
)(
(lim
)(
lim
nn
n
n
n
n
nn
n
nab
a
a
a
ab
a
,
所以
)(
)()(
limf
ab
afbf
nn
nn
n
，
从而有
)(
)()(
f
ab
afbf
．
5.利用巴拿赫不动点定理证明
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引理3（巴拿赫不动点定理）]6[在完备的度量空间中的压缩映射必存在唯一
的不动点.
显然,任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的,由此可证在
],[ba
上凸
或凹的函数
)(xf
的拉格朗日中值定理.
对任意小的0,在闭区间
],[ba
上构造自映射
)(xfxAx
ab
afbf
)()(
.
可以证明A是一个压缩映射]7[,事实上,对于],[,
21
baxx,不妨设
21
xx,
则有)]()([)(
121212
xfxfxxAxAx
,假设
)(xf
在区间
],[ba
上是凹的,那
么
)(xf
在区间
],[ba
内单调增加,所以
)(
2
xf0)(
1
xf,从而一定存在
一个数)1,0(,使得
)(0
12
xx)()(
12
xfxf
,
因此)1(
1212
xxAxAx,所以A是闭区间
],[ba
上的压缩映射,由引
理3得,存在唯一的一点),(ba,使得A,于是
)(
)()(
f
ab
afbf
,
故定理得证.
6．拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理作为中值定理的核心,有着广泛的应用,在很多题型中都
起到了化繁为简的作用.
6.1求极限
由拉格朗日中值定理指出,如果f在],[ba连续,在),(ba可导,则有
baabfafbf
))(()()(,
因此对),(bax,有
xaaxfafxf
))(()()(,(1)
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公式(1)表明,求某些差式的极限,可转化为求积式型的极限,以化简极限的计算
或解决某些运算,用别的方法求不出极限式子.当然也要具体情况具体分析，并不
是所有差式型的极限都能适合于运用中值定理,应以简便为原则选用.
问题6.1.1求
)(lim1
2
nn
n
xxn
)0(x
.
解令txtf)(,则对任何自然数n,
)(tf
在
]
1
,
1
1
[
nn
上满足拉格朗日中
值定理的条件,而且xxtftln)(
是t上的严格单调函数，因而在
]
1
,
1
1
[
nn
上由拉
格朗日中值定理,得
xx
nn
n
nn
fn
n
f
n
fnxxnnnln
)1(
)
1
11
)(()]
1
1
()
1
([)(
2
22
1
2
，
1
1
n
n
1
，当n时,
0,
故原极限=xxx
nn
n
n
lnln
)1(
lim
2
.
6.2证明不等式
证明不等式的方法有很多,但对于某些不等式,用初等解法不一定能解得出
来，例如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函
数增量形式等的题型.这时如果考虑用拉格朗日中值定理,会比变较容易简单.
问题6.2.1证明yxyxsinsin.
证明设xxfsin)(,显然)(xf在],[yx上满足拉格朗日中值定理条件,所
以存在),(yx,使得))(()()(yxfyfxf
,即
cos)(sinsinyxyx,
又因为1cos,因此有yxyxsinsin.
6.3证明等式
用拉格朗日中值定理证明等式也是其应用中很重要的一项.证明的目标在于
凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子.
问题6.3.1证明当1x时,有2arccosarcsinxx.
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证明设xxxfarccosarcsin,1,1x,显然
]1,1[)(Cxf
,并且
)(xf
在
)1,1(
上可微,0
1
1
1
1
)arccos(arcsin)(
22
xx
xxxf,由拉格朗日
中值定理的推论可得常数)(xf,1,1x,又因为
)1,1(0
,且
20arccos0arcsin0f,故2arccosarcsinxx,1,1x.
6.4证明函数性态
因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助
它的导数,研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.例如
研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性、凸性等,都可能用到拉格朗日
中值定理的结论.通过对函数局部性质的研究把握整体性质,是数学研究中的一
种重要方法.
问题6.4.1设
),()(aCxf
,
)(xf
在
),(a
存在,并且
0)(af
,当
ax时,
0)(
xf
,求证当ax时,
0)(xf
.
证明ax
1
,由已知得)(xf在],[
1
xa上满足拉格朗日中值定理,
],[
1
xa,使axfafxf
11
)()()(,因为0)(
f,0
1
ax,所以
0))(()(
11
axfxf,所以ax
1
,有0)(
1
xf,即),(ax,有
0)(xf.
6.5估值问题
证明估值问题,一般情况下选用泰勒公式证明比较简便.特别是二阶及二阶
以上的导函数估值时.但对于某些积分的估值,可以采用拉格朗日中值定理来证
明.
问题6.5.1设)(xf
在],[ba上连续,且0)()(bfaf,试证明
a
b
dxxf)(
)(max
4
xf
abbxa
.
证明若0)(xf,不等式显然成立.若)(xf不恒等于0,存在),(bac,使
)()(maxcfxf
bxa
,在],[ca及],[bc上分别用拉格朗中值定理,得
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)(
1
f
ac
cf
)(
,
)(
2
f
bc
cf
)(
，
从而
a
b
dxxf)(
))((
1
))(()()()()(
12
1
2
1
2accb
abcfffdxxfdxxf
再由
4
)(
))((
2ab
cbac
,即可得证.
6.6证明级数收敛
问题6.6.1若一正项级数)0(
1
n
n
n
aa发散，
nn
aaas
21
,证明级
数
1
1
n
n
n
s
a
(
0)收敛.
证明作辅助函数
x
xf
1
)(
,则
1
)(
x
xf
,当2n时,在],[
1nn
ss
上用
拉格朗日中值定理,可得
)(
)()(
1
1
n
nn
nnf
ss
sfsf
(
nnn
ss
1
),
于是
)
11
(
1
1
11
nnn
n
n
n
ss
a
s
a
，
由)
11
(
1
1
2
nn
n
ss
收敛]8[,可得所证.
7.结语
本文初步探讨了拉格朗日中值定理定理的几种特殊证法，其中给出了分析法
构造辅助函数、几何法构造辅助函数、区间套定理法和巴拿赫不动点定理法.几
何法是利用图形的特征进行分析,从而构造出需要的辅助函数,与分析法有异曲
同工之妙;区间套定理法和巴拿赫不动点定理法,它们不需要构造辅助函数,也可
以证明,虽说是一种很好的证法,但是比较抽象难懂.最后对拉格朗日中值定理在
求极限、证明不等式、证明等式、证明函数性态、估值问题、证明级数敛散性六
方面的应用做了简单的介绍,从而使我们加深对拉格朗日中值定理的认识.
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参考文献
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育出版社,2003.9.
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[11]周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究,1999,2(3).
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致谢
在这收获的季节里，当我捧着这大学里最后的一次作业，回首想来，百感交
集，一次次的欢笑与泪水，一次次的跌倒与爬起，要感谢的人实在太多太多。
首先，我要感谢我的指导老师王建珍老师，在论文选题、资料查询、撰写等
每个环节，都得到了王老师的悉心指导和帮助。王老师以她渊博的学识、丰富的
实践经验、严谨的治学态度和求实的工作作风对我进行了谆谆教诲，指引我正确
的治学方法，使我受益匪浅；她那实事求是、一丝不苟、勤恳奉献的敬业精神更
让我终生难忘。值此论文完成之际，首先向王老师表示最衷心的感谢!
其次非常感谢我的同学们在我的毕业论文中，给予我极大的帮助，使我对整
个毕业论文的思路有了总体的把握，并耐心的帮我解决了许多实际问题，使我有
了很大的收获。同时，他们在整个开发过程中提出了许多建设性意见，并给我解
决了一些专业性问题。在生活方面他们也给予我很大的帮助，因此无论在学习方
面还是生活方面，我都在他们身上学到了很多。
还要特别感谢我的父母，他们给予我生命并竭尽全力给予了我接受教育的机
会。他们把我抚育成人，为我创造各种学习的机会和条件。我在外求学，并不是
十分想家，平时似乎把他们遗忘了，但是他们时刻都在牵挂着我，能够出生在这
个家庭，今生与你们相伴，能够得到你们无时无处不在的关心、爱护，支持和鼓
励，是我最大的幸福。
最后我还要感谢数学系和我的母校—长治学院，这四年来它给了我知识，给
了我思想，给了我成长，也给了我舞台。愿母校的明天更美好！