定积分的运算法则
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2023年3月16日发(作者：跆拳道横踢)精品
不泄积分的运算法则，包含如下两个性质(注意性质适用条件)：
1、设函数f(x)的原函數存在(即f(x)可枳，下同)，k是常數，则:
(1)
kf(x)dx-kf(x)dx
(kHO)
(2)
J0x/(天)五二0xJ/{x)dx+C
(k=o)
2、设f(x),能)两个函数存在原函数，则：
J[fW+g(x}]i/x=Jf(x)dx-i-^g(x)dx
3、常见枳分几种运算法
换元积分法：
①设F(u)具有原函数F(u),如杲u爱中间变量：u=
V
(X),且
V
(X)可微，那么，根据复合函数微分法，有
dF=[
V
(x)]=f[
V
(x)]
V
•(x)dx,从而根据不定积分的定义就得:
Jf9仗)〕妙伐)〃二F[ 若要求 sMdx ,若 sM f(u)du -"二g) 精品 可化为 精品 的形式，那么: g(©dx二f{(p(x)](p'(x)dx= 这种方法称为第一类换元法。 ②利用第二类换元法化简不定积分的关镀仍然是选择适当的芟換公式X=tp(t)o此方法主 要是求无理函數(带有根号的函數)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，闵此我们设法 作代换消去根式，使之交成容易计算的枳分。下而简单介绍第二类换元法中常用的方法： (1)根式代换：披积函數中带有根式 yJax+b ,可直接令t= yJax+b (2)三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函數积分，有三种类型：菠枳函数 合根式 Vfl2-X2 ,令 x=flsinf 被积函數合根式也2一x? ,令 x=atanf ;被积函數含抿式 ,令 (7=secf 注：记住三角形示意图可为交量还原提供方便。 (3)倒代换(即令 1 x~t ):设gn分别为被积函數的分于、分母关于x的最高次數，当n- m>l时，用倒代换可望成 功 (4)指数代换：适用于被积函數由指数 所构成的代数式； (5)万能代换(半角代换)：被枳函数是三角函數有理式，可令 JfMdu 精品 诛函数U=u(x)7tv=v(x)具有连续导数，则其乘枳的导数为: (uvY-心+"l/ ,移项得： 加=(uvY-UV 对两边求不定枳分，得： Juv'dx二理砂一Juvdx 也可写为: udv-uv-Jvdu 如杲求 J11vfdx 有困难，而求 uvdx 比较容易时，分部积分公式就可以发禅作用了。如有侵权 请联系告知删除，感谢你们的配合！ ,则： 2 2tan-3tfdx=-——dtfsinx= 1+f2 分部积分法： 2t m2 ,cosx= 2t 1^72