正态分布的概率密度函数

正态分布的概率密度函数

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正态分布

3.1正态分布

对于连续型随机变量而言，正态分布(normaldistribution)是最重要的一种概率分布。

经验表明：对于依赖于众多微小因素；且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型

随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。

如人的体重，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一

种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分

布。

通常用：

X～N(u,2)(3-1)

表示随机变量X服从正态分布。N表示正态分布，括号内的参数u,

2称为正态分布的

总体均值(或期望)和方差。

3.1.1正态分布的性质

(1)正态分布曲线以均值u为中心，对称分布。

(2)正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值u处达到最高，向两边逐渐降

低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。

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(3)正态曲线下的面积约有68%位于u±两值之间；约有95%的面积位于u±2

2之间；

而约有99.7%的面积位于u±3之间。

★(4)两个(或多个)正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。

令X和Y相互独立：

X～N(uX，2

x

)

Y～N(uY，

2

y

)

现在考虑两个变量的线性组合：W＝aX+bY

则W～N(uW，2

w

)(3-2)

其中，

uW=(auX＋buY)(3-3)

2

w

=(

22

x

a+

22

y

b)(3-4)

例3.1

令X表示在下沙高教区一花店每日出售玫瑰花数量，Y表示在下沙镇一花店每日出售玫

瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有：

X～N(100，64)，Y～N(150，81)

求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？

W＝2X＋2Y

根据式(3-3)

E(w)＝E(2X+2Y)=500，

Var(w)=4var(X)+4var(Y)=580

因此，W服从均值为500，方差为580的正态分布，即W～N(500，580)。

★★3.1.2标准正态分布

两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。如何比较

各种不同的正态分布呢？

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定义一个新的变量Z：

Xu

Z







如果变量X的均值为u，方差为

2，则根据式(3-4)，变量Z的均值为0，方差为1。称之

为标准正态变量(standardnormalvariable)。

即若X～N(u，

2)，那么变量Z就是标准正态变量，用符号表示为：

Z～N(0，1)(3-5)

证明：

（1）均值为0

因为有E(aX+b)=aE(X)+b，所以

1

EEX

uXu



（）（）=0

（2）方差为1

因为有var(aX+b)=a2var(X)，所以

2

1

varvarX

uX



（）（）=1

图3-3a和3-3b分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。

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例3.2

变量x表示花房每日出售的玫瑰花量，假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即X～

N(70，9)，求任给一天，出售玫瑰花数量大于75支的概率。

7570

1.76

3

Z





服从标准正态分布，求P(Z>1.67)。

从附录表可知，Z位于区间(0,1.3)的概率为0.4032，位于(0，2.5)的概率为0.4938。

由正态分布的对称性可知，Z位于区间(-1.3,0)的概率也为0.4032，位于(-2.5,0)的概率为

0.4938。由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出Z取正值的情形。也就是说，标

准正态密度函数，在Z=0的左右面积均为0.5，整个面积(或概率)为1。

根据正态分布表得：

P(0≤Z≤1.67)=0.4525

因此，

P(Z>1.67)=0.5000－0.4257=0.0475

即每天出售玫瑰花的数量超过75支的概率为0.0475。(参见图3-3a)

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例3.3

继续例3.2,现假定要求每天出售玫瑰花数量小于或等于75支的概率。

概率为：0.5000+0.4525=0.9525(见图3-3b)。

例3.4

求每天出售玫瑰花数量在在65与75支之间的概率。

6570

1.67

3

Z





7570

1.67

3

Z





查表得，

P(－1.67≤Z≤0)=0.4525

P(0≤Z≤1.67)=0.4525

由正态分布的对称性得到，

P(－1.67≤Z≤1.67)=0.9050

即每天出售面包的数量介于65条与75条之间的概率约为90.5%(见图3-3a)。

上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，

然后根据正态分布表求得相应的概率。

★★3.2样本均值

X

的抽样分布或概率分布

样本均值是总体均值的估计量，但由于样本均值是依据某一给定样本而定，因此其值也

会因随机样本的不同而变化。也就是说，样本均值也是随机变量，并且有其自己的概率分布

函数。

称X1，X2，⋯⋯，Xn构成一个容量为n的独立同分布随机变量(independentlyandidentically

distributedrandomvariables,variables)，即所有的X是从同一概率密度(即每个Xi

有相同的概率密度函数)中独立抽取得到的。

如果Xi~N(u，2)且每个Xi独立抽取得到，则称X1，X2，⋯⋯，Xn是i.i.d.随机变量，正

态概率密度函数是其共同的概率密度。

估计量(比如样本均值)的概率密度。

例3.6

正态分布的均值为10，方差为4，即N(10，4)。从这个正态总体中抽取20个随机样本，

每个样本包括20个观察值。对抽取的每一个样本，得到其样本均值X，因而共有20个样本

均值，见表3-3。

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图3-的条线图描绘了样本均值的经验概率分布。

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如果列出更多这样的样本，那么样本均值的概率分布服从正态分布。

若X1,X2,⋯⋯,Xn是来自于均值为u，方差为2的正态总体的一随机样本。则样本均值，X

也服从正态分布，其均值为u，方差为

2

n



，即

2

~(,)u

n



(3-6)

样本均值X(u的估计量)的抽样(或概率)分布，同样服从正态分布。其均值与每一个Xi的

均值相同，但方差等于Xi的方差(2)除以样本容量n。

证明：

因为X=(X1+X2+…+Xn)

n

E(

X

)=[E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)]

n

=[u+u+…+u]

n

=u

Var(

X

)=var[（X1+X2+…+Xn）/n]

=var(X1+X2+…+Xn)

n2

=[var(X1)+var(X2)+…+var(Xn)]

n2

(独立变量方差性质)

=(

2+

2+…

2)/n2

=n

2/n2

=

2/n

X~N(u，2

n

)可以转化为标准正态分布

Xu

Z

n







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中心极限定理

从正态总体中抽样，其样本均值同样服从正态分布。但是如果从其他总体中抽样又如何

呢？

中心极限定理(centrallimittheorem,CLT)：

如果X1，X2，…，Xn是来自(均值为u方差为

2的)任一总体的随机样本，随着样本容

量无限增大，则其样本均值X趋于正态分布，其均值为u，方差为

2/n。

注意样本方差的公式，分母是n-1，因为要求估计量是无偏的。

证明：

2

2

2

22

22

222

22

()

[]

1

1

=[()]

1

1

=[()2(()]

1

1

[()2()()()]

1

()2(),

1

[()2()()]

1

21

1

()()

11

1

XX

ESE

n

EXuXu

n

EXuXuXuXu

n

EXuXuXuXu

n

XunXu

EXunXuXu

n

n

EXuEXuE

nn

n















































因为所以

（））

2

222

22

2

2

2

2

()]

2

1

()()()

11

1

1

=()()

1

1

1

=

11

(1)

=

1

=

Xu

nn

EXuEXuEXu

nn

n

n

EXuEXu

n

n

n

n

nn

n

n

n







































（注：如果X为样本均值

X

，则

X

为X）

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3.3

2分布

如果随机变量X服从均值为u，方差为

2的正态分布，即X～N(u，

2)，则随机变量

Z=(X－u)/是标准正态变量，即Z～N(0，1)。

标准正态变量的平方服从自由度(degreesoffreedom,d.f.)为1的

2

分布，即是一种特殊

的

2

分布，用符号表示为，

Z2=

2

(1)

(3-7)

其中

2的下标(1)表示自由度(d.f.)为1，这里定义自由度是平方和中独立观察值的个

数。

令Z1，Z2，⋯⋯，ZK为K个独立的标准正态变量(即每一个变量均是均值为0，方差为1的正

态变量)，对所有的变量Z平方，它们的平方和服从自由度为K的

2

分布，即

22222

12()ikk

ZZZZZ



:(3-8)

这里的自由度为k，因为在式(3-8)的平方和中，有K个独立的观察值。

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2分布的性质

(1)如图3-8示,与正态分布不同,

2分布只取正值(它是平方和的分布)且取值范围

从0到无限大。

(2)与正态分布不同，

2分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大小，自由度越小，

越向右偏，但随着自由度的增大，逐渐呈对称，接近正态分布。

(3)

2分布的期望为k，方差为2k。

(4)若E1、E2分别为自由度为k1,k2的两个相互独立的

2变量，则其和(Z1+Z2)也是一

个

2变量，其自由度为(k1+k2)。

★★3.4t分布

运用最广泛的另一个概率分布是t分布，t分布又称为学生t分布(Student'stdistribution)，

与正态分布也密切相关。

（注：学生是统计学家的笔名，他于1908年发现了这一概率分布。）

若X~N(u，

2

n



)

则变量Z服从标准正态分布：

Xu

Z

n





(3-9)

假定仅知道u及

2的估计量的值

2s，用样本标准差S代替总体标准差，得到一

个新的变量

/

Xu

t

sn



(3-10)

变量t服从自由度为(n-1)的学生t分布。与

2分布类似，t分布也与参数自由度有关，

自由度为n-1。

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t分布的性质

(1)t分布与正态分布类似，具有对称性。

(2)t分布均值，与标准正态分布均值相同为0，但方差为k/(k－2)。

（注：在求t分布的方差时定义自由度必须大于2。）

标准正态分布方差总为1，表明t分布方差总比标准正态分布方差大——t分布比正态分

布略“胖”一些。但是当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。

如果自由度k=10，则t分布方差为10/8=1.25；

如果自由度k＝30，则其方差为30/28=1.0；

如果自由度k=100，则其方差为100/98=1.02

因此与

2分布类似，随着自由度的逐渐增大时，t分布近似正态分布。

（注：当k为30，t分布的方差已与标准正态分布方差相差不大。）

例3.7

假定真实的出售平均数量为70支，那么15天内出售玫瑰花平均数量为74支的概率是多

少？(样本方差为4)

如果知道真实的标准差，则可通过标准正态分布变量Z来解答。但是，现在仅知道

真实标准差的估计量S，则可以利用式(3-10)来计算t值。

7470

/4/15

Xu

t

sn





3.873

自由度为14时，查表得，t值大于等于2.145的概率为0.025(2.5%)，t值大于等于2.624的

概率为0.01(1%)，t值大于等于3.787的概率为0.001(0.1%)。

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★★3.5F分布

如果随机样本X1，X2，…，Xm来自均值为uX，方差为

2

X

的正态总体，其样本容量为

m；随机样本Y1，Y2，⋯⋯，Yn为来自均值为uY，方差为

2

Y

的正态总体，其样本容量为n，

且这两个样本相互独立。

如何知道这两个正态总体是否同方差？即

2

X

=

2

Y



由于不能直接观察两个总体的方差，但假定可以知道它们的估计量：

2

()

1

i

X

XX

S

m









2

()

1

i

Y

YY

S

N









现考虑比值：

2

2

X

Y

S

F

S



()/(1)

()/(1)

i

i

XXm

YYn







如果两总体方差真实值确相等，则F值将接近于1，但如果两总体方差真实值不相等，则

F值不等于1；两总体方差相差越大，F值就越大。

如果

2

X

=

2

Y

(即两总体同方差)，则比值F值服从分子自由度为(m－1)，分母自由

度为(n－1)的F分布。

1,2kkF

双下标表明了分子与分母自由度。（在此例中，k1=(m－1)，k2=(n－1)]。

F分布的性质

(1)与

2分布类似，F分布也是斜分布，向右偏，其取值范围也为0到无限大。

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(2)与

2分布类似，当自由度k1,k2逐渐增大时，F分布近似正态分布。

(3)t分布变量的平方服从分子自由度为1，分母自由度为k的F分布，即

2

1,k

k

tF

例3.8

两班做同样的经济计量学测试。其中，一个班级共有100名学生，另一班级共有150名

学生，该老师从第一个班级随机抽取25个学生，从第二个班级随机抽取31个学生，观察得

到两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为100和132。假设学生考试平均分数这一随

机变量服从正态分布，那么是否能够认为两班级分数平均值同方差。

因为这两个随机样本来自两个正态总体，并且相互独立，则

132

100

F

1.32

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服从自由度为30、24的F分布。查F分布表得当分子自由度为30、分母自由度为24时，F

值大于等于1.31的概率为25%。