线性叠加
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2023年3月16日发(作者：随机抽奖器)---
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对量子力学中态叠加原理的探讨
摘要：量子力学对于现在的我们来说是一门新兴的学科，在这门学科中我们还有
很多的前沿领域需要我们去探索发现，量子力学中态叠加原理就是我们要
探讨的一小部分。在量子力学中我们主要探讨的是态叠加原理的推导、几
种不同的表述、以及它在量子力学中的作用，在讨论中我们运用了一些物
理学家的结论，也便于我们对态叠加原理的推导。
关键词：量子力学的发展史、态叠加原理的表述推导、综合性论述、量子态
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目录
1.量子力学的发展史...................................................错误!未定义书签。
1．1量子力学的起源.............................................错误!未定义书签。
1．2量子力学的发展.............................................错误!未定义书签。
2.态叠加原理得出的过程..............................................错误!未定义书签。
2．1在量子力学中对态叠加原理的诸多推导..................错误!未定义书签。
2．2不同学者对叠加原理的表述的差异........................错误!未定义书签。
2．3态叠加原理有什么作用.....................................错误!未定义书签。
3.对态叠加原理的综合性论述.........................................错误!未定义书签。
3．1对于以上学者不同论述的分析.............................错误!未定义书签。
3．2对态叠加原理的总结性论述................................错误!未定义书签。
参考文献.................................................................错误!未定义书签。
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1.量子力学的发展史
1．1量子力学的起源
量子力学的发展是一段错综复杂史，在这段历史中，成功与失败并存，喜悦与
困惑相伴，可以说是“百年风雨相伴”。
1
文艺复兴时期迎来了近代自然科学的黎明，“物理学家摒弃了哲学的思想，通过
运用实验等科学性的方法探索大自然”。而通过这种形式获得的第一次成功就是推翻
了当时的托勒密体系并建立了哥白尼体系，经过多位科学家的努力初步完成了对天
体运动的探索。另一方面，以比利时布鲁日的史特芬发展起来的静力学，由伽利略
发现的动力学，共同形成了静动两种力学体系。在17世纪，由英国的物理学家牛
顿将天体运动学与地上运动通过万有引力定律和牛顿三定律结合在一起，在当时这
在物理学的发展史中具有划时代的意义。
19世纪中叶，在实验和理论上都为建立经典电磁理论做好了充分的准备。并且，
随着库伦、高斯、安培和法拉第等物理学家们先后建立了自己的物理理论，这几个
定律和场的概括已为电磁学理论取得突破性进展奠定了重要基础。在19世纪60年
代中期，麦克斯韦站在巨人的肩上研究与总结出了电磁场理论，得出了麦克斯韦方
程组，这一结论的得出在当时又是一次很大的飞跃。
经典物理学的成功把人们带到了物理学的理想大厦，认为物理学体系完美无
缺，已不需要任何的突破了。然而，19世纪末20世纪初，这种美妙的感觉一下子
被打破，随着黑体辐射，光电效应等物理问题的解决出现了瓶颈，曾经让人遐想已
久的物理学城堡，已经摇摇欲坠，摆在当时学者面前的是实实在在的两座大山，其
中的一座在后来就引入了量子力学的诞生。
1．2量子力学的发展
在两朵乌云的笼罩下，物理学家们开始了他们继续的探索，在光电效应、黑体
辐射、固体在低温下得比热等物理现象中，用经典物理学无法解释。科学家们才恍
然大悟，原来现阶段所发现的物理学还存在许多的局限性，于是在历史条件的局限
下，物理学家们通过他们的聪明才智，发现了光的波粒二象性，原子结构的量子论
4
等等，这些成果都未能真正反映微观世界的本质，直到，20世纪20年代，量子理
论才真正的走入正轨。而后，普朗克提出的辐射量子假说，得出普朗克常数；爱因
斯坦引进光量子，得出光电效应：卢瑟福在核原子模型的基础上建立了原子的量子
理论；薛定谔总结出薛定谔方程，这样就把经典力学与量子力学紧密的联系在一
起……以及在20世纪后半叶以来，量子力学的理论与应用都有了很大的进展，如在
与霍尔效应有关的朗道能级问题，两种相位，与电磁场矢势有关的啊哈罗诺夫-波姆
相位和含时缓变场中的贝利相位等等，一些新的研究成果，量子力学就这样在不断
的摸索中前进。
2
2.态叠加原理得出的过程
在物理学中态叠加原理存在于各种应用中，电磁学中有场的叠加原理，光学中
有光波的叠加原理，电路中有电流的叠加原理。那么，在物理学的前沿领域的量子
物理学中是否也存在叠加原理呢？
图1光的波形图
从图1中我们可以看到，波的每一个状态中的图形，在n=4，n=3,n=2各个图形的
累计叠加我们可以得出n=1时的图形，这就是关于波函数的一种叠加原理。那么，
5
它的叠加原理是如何推导出来的呢？它的表述又是怎么来用文字表达的，等等的这
些问题需要我们后人站在前人的肩膀上去探讨发现。现在让我们带着这些问题去探
讨物理学的这些未知的情况。
2．1在量子力学中对态叠加原理的诸多推导
态的叠加的概念，也是从具体沿线相中综合概括出来的。
电子双缝实验
在双缝后的干涉区域，既可测到来自缝1的态|A>，也可测到来自缝2的态|B>，
而电子在此区域的态|C>是这两个态的叠加，可以写成|C>=|B>+|A>。
Rutherford散射实验
在散射实验中可以看到向各个方向散射的а粒子，这样出射态︱а>就是每个方
向的散射态|p>的叠加，即可以写成|a>=∫|p>dp公式。
偏振光实验
偏振光实验是运用了光学中的实验方法，来对态叠加原理进行推导，实验如下
“对于偏振方向在xy平面上某一方向的偏振态|p>，我们可一用偏振片来测量，我
们既可测得在x轴方向的偏振态|x>，也可测得在y轴方向的偏振态|y>，偏振态|p>
是这两个态的叠加，可以写成|p>=|x>+|y>”。
极化原子束的Stern-Gerlach实验
用自旋投影取某一方向的银原子束射入不均匀磁场，设射入前的自旋态为|S>，
其自旋与磁场梯度方向成一角度。出射束一般会分成自旋向上和自旋向下的两束，
所以自旋态是这两个态的叠加，可以写成|S>=|↑>+|↓>
态的叠加
我们可以把态的叠加定义为：已知物理系统的两个态|A>和|B>，如果在系统中
存在这么一个态|R>，在测量过程中，测得|A>的结果呈一定的概率，测得|B>的结
果呈一定的概率，除此上述两种结果外再无其他结果，则我们就称|R>态为|A>与
|B>态的线性叠加，记为|R>=|A>+|B>。3
6
2．2不同学者对叠加原理的表述的差异
在量子力学发展历史中，尤其是在现在的一些书籍论著和文献中，不同的研究
者对态叠加原理的描述有所不同。
⑴狄拉克的表述
最先发现态叠加原理的是狄拉克,他在20世纪30年代初出版的第一版《量子
力学》中就得出了在研究对象中的态受许多条件或数据的制约而未受到干扰的运
动。
4在实践中，对于上述条件可以通过恰当的系统作用上去，态有两种定义，其
一可以用于指某一特定时刻的态，其二也可以为作用以后的全部时间的态，为了区
别这两种含义，在不容易产生混淆的前提下，我们将把后一种态叫做运动态，态叠
加原理这一理论的表述，狄拉克则总结出了“当一个系统处于一个量子态时，则我们
可以把它看成在这个态中的每一块可以存在两个态、三个态或者更多的态中的每一
个小的单元”。
5这是狄拉克认为的态叠加原理的表述。
⑵布洛欣采夫的表述
如果任何一个体系即可以在由波函数
1
表示的态中找到，又能在
2
表示的态
中找到，则它也可能在波函数
2211
cc所表示的态中找到，这是布洛欣采夫
对态叠加原理的一种表述。
6
⑶曾谨言的表述
曾谨言在他的《量子力学》一书中讲到：“让学生们理解态叠加原理的理论，更
加简单明了的讲，就是如果一个体系处于
1
所描写的状态，测量力学量A得到一个
确切的结果为a，而在
2
描述的状态下，测量A的结果是另外一个确切的值b，则
在
2211
cc（其中c
1
和c
2
是两个常数）状态下，a、b是都有可能是所测值
为A的结果（但不会是另外的值），并且测得的a、b的概率是确定的。‘那么态
就是
1
态和
2
态的线性叠加，如果按此要求，波函数随时间演化的方程，即波动
方程，表现在Schrodinger方程中，要求哈密顿算符为线性算符。曾谨言教授对态
叠加原理的理解为：“波的相干叠加与用波函数完全描述一个微观体系的状态，这两
个理论的概括总结”。
7
⑷喀兴林的表述
7
“假设态和态都是粒子的可能状态，则
ba
也是粒子的可能状态”。
这是喀兴林对态叠加原理表述的理解。
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2．3态叠加原理有什么作用
态叠加原理在量子力学中的作用不容小视，它对于量子力学初学者们是很容易
引起困惑的。人们可能会问，既然态叠加原理这么重要，为什么在量子力学中没有
作为第六个基本假设被提出来呢。这个问题很少有人讨论，在这里，我把我自己的
一些看法与意见与大家进行分享，并且我们共同探讨，共同进步。
一般认为，量子力学的理论体系是由五个基本假设构成的：（1）首先，波函数
具有单值性、有限性与连续性这三个条件时才能成为波函数；其次，可用波函数描
述体系的性质，可以永波函数作为体系的数学方程的形式；（2）从
dcc
ss
n
n
nn
0
公式中，可以看出，在态中测量力学量F
ˆ
得到结果为
的
概率是2c
，得到结果在d范围内的概率是dc2；（3）力学量可以用算
符来表示；（4）体系的波函数满足薛定谔方程：
H
dt
d
ih
ˆ
；（5）粒子的全同性原
理。
2对于一般的思维的人们，通过量子力学的五大假设以及薛定谔方程等量子力
学理论体系，态叠加原理才能总结出来，下面我给大家列出一些证明。首先要说明
的是量子力学中的力学量算符是线性的。
设算符F为某一力学量算符，则它是厄米算符，即有
dFdF
ˆˆ
其中Φ，ψ是任意函数。令函数ψ=c
1
ψ
1
+c
2
ψ
2
，并代入以上的积分，则有
dccFdccF
22112211
ˆˆ
(1)
dFcFcdFcdFcdccF
221122112211
ˆˆˆˆˆ
(2)
由于Φ为任意函数由（1）（2）可得
22112211
ˆˆˆ
FcFcccF
由此可得，表示力学量的算符是线性的，即力学量算符是否线性叠加原理有
关系，而在一些教科书上认为力学量算符的线性特性是态叠加原理直接结果，我
们认为这种说法是不妥当的。由于H是厄米算符，若
1
及
2
是薛定谔方程
t
iEH
ˆ
的解，可以导出
2211
cc也是薛定谔方程的解，即
1
及
2
瑟吉欧
8
体系的可能态。那么
2211
cc
也是体系的一个可能态。因此，态叠加原理是由
波函数假设、薛定谔方程等得出的自然结果，所以它没有作为量子力学的基本假
设而得出。事实上，在一些经典的书籍上也没有说道这一原理。
在当时的学者们中就有人把薛定谔方程
的得出是游态叠加原理线性来决定的。而且，态叠加原理和薛定谔方程的关系与经
典力学中的态叠加原理和牛顿运动定律在某种程度上有一定的联系。对于这个结
论，我们可以给出其依据来，由于在经典力学中，波动方程是通过牛顿定律推导出，
因此，经典力学的态叠加原理是牛顿运动定律的直接结果。同样的，在量子力学中
薛定谔方程通过波函数假设以及算符假设可以推导出态叠加原理。虽然在量子力学
中我们经常用的是薛定谔方程来计算诸多问题，可见他在量子力学中占得比重是多
么的重要，但是如果没有态叠加原理的推导薛定谔方程是不会拥有现在的地位的。
因此，说态叠加原理在量子力学中甚至整个物理学中的地位是相当重要的，这是无
可厚非的事实。
3.对态叠加原理的综合性论述
3．1对于以上学者不同论述的分析
9
在上面我们的列举、讨论中可以看出，物理学家们对于态叠加原理的认识存在
着很多的分歧。这对于我个人认为原因不外乎两点：其一，由于经典物理学对我们
的影响特别的深，我们的思想观念中或多或少都会存在着它们的影子，发现这一问
题的科学家中就有狄拉克，他认为量子力学中的态叠加在性质上不同于其他情况下
的叠加，在量子力学中的这种叠加是非常抽象的概念，他与人们的日常思维往往背
道而驰，难以让人们一下就能接受。就正如上面我们讲到的，对态叠加原理的不同
表述，各有千秋，各有道理，分歧出现在哪呢？分歧其实就是由于有的学者把经典
力学中的一些思想，全部灌输到量子力学这一门深奥的学科中来。因此，这是物理
学家们对态叠加原理的认识出现分歧的一个原因，好在随着科学知识的不断丰富，
学者们也越来越认识到了事情的真理，对一些过去的谬论也就一一推翻了；再一个
就是，文章起初我们就给大家讲到，量子力学跟其他物理学科相比，他应该是一门
最近几十年才兴起来的科目，新兴科目要想有所突破，就不免存在一些还未解决的
问题，它的结论主要是以一些基本的假设为前提，通过实验与推理而总结出来的理
论体系。然而对于这些基本的假设的物理基础，我们现在还不是特别的确定。这就
是我们说的存在分歧的两个方面。不过量子力学并不是它的终极理论，他还需要我
们一代一代的努力的去探索，随着科学的发展人类知识的丰富，我们还需要建立加
完善的理论体系，为更进一步的研究铺垫道路。
9
3．2对态叠加原理的总结性论述10
在以上我们对于量子力学的讲解中，我们学到了量子力学的发展史，；我们在
总结前人的经验与教训的基础上，我们总结出了态叠加原理。并且，在我们上文讲
10
到的，对于态叠加原理表述的不同形式，我们从中学习到了引起这种分歧的两大问
题，通过对本篇文章的阅读，能让我们对量子力学有了更进一步的了解，对态叠加
原理有了更深入的认识，对以后在量子力学方面的研究会有更高的突破，有更高的
造就。
参考文献：
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DiscussiononThePrincipleofSuperpositionofStatesin
QuantumMechanics
Summary:Quantummechanicsforusnow,isanemergingdiscipline,wehavea
lotofthefrontierareasweneedtoexploreinthissubject,inquantum
theprincipleofsuperpositionofStatesandI'llhaveasmall
gh,inthisdisciplineisnottheSchrodingerequationas
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important,however,itisthebasisofknowledgeoftheseimportantknowledge
point,inthispaperImainlyexplainforeverybodyistheprincipleof
superpositionoftheexpressionofseveralderivation,avarietyofdifferentways,
andithasbeeninthecourseofaction,finally,generalsummaryofit,sothat
peoplecanbeconciseandcomprehensiveunderstandoftheknowledgepoints.
Keyword:Thedevelopmenthistoryofthequantummechanics,Principleof
superpositionofstates，Lquantumstate,wave-particledualism,Schrdinger
equation.