外接球半径

外接球半径

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2023年3月6日发(作者：宗氏焦虑自评量表)

设

正

多面体外接球、内切球得半径得求法

第一部分外接球

方法一、公式法

例1—个六棱柱的底面是正六边形，其側棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9

—个球面上，且该六棱柱的体和为二，底面周长为了，则这个球的休积为

8

一正六棱柱的底面圆的半径F=±球心到底面的距离巾二二外接球的半径

R—J厂亠二一1.“---------.

3

小结■轧题是运円公式尺二十用术球的半径的，该公式是求球的半径的兽円公式.

方法二、多面体几何性质法

例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4体积为16,则这个球的表面和是

扎16龙B.20TC.24/rD.32疔

解设正四棱柱的底面边长为匚外接球的半径为尺，则有4,?=16,解得v=2.

A2R・VFZFTF二ls/6匸R二离*二这个球的表面积是4疗7?6二21选C.

小结本題是运用••正四陵柱的体苦角线的长茅于其外接球的宜径粹这一性质来求錢的.

方法三、补行法

例3若三稜锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为41・则其外接球的表面积是

例5在矩/宓9中，二

二

沿

解据題意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体•于是正方

体的外接球就是三棱锥的肺接球.

设其外接球的半径为则有（2町二（同十阿+（旬=9・••庆斗故其外接球的表面积5=曲耳『

小结一般地，若一个三祓惟的三条便檢两两垂宜，且共悅度分别为zb、。则就可以將这个三按维社

成一个长方农于是戋方体钓本对角线的戈就是该三擁锥的外接球的車径.设其外接球的半衽为R,则有2?二

十方：十/.

方法四、寻求轴截面半径法

例4正四棱锥5■宓9的底面边长和各侧棱长都为JT,点5•儿及6D都

在同一球面上，则此球的体和为_____________

解设正四棱锥的福面中心为外接球的球心为O,如图3

所示…由球的截面的性质，可得00:丄平面月QCQ•

又S3丄平面乩?CQ,二球心O必在S6所在的直线上

的外接圖就是外接球的一个轴截面圆，外接圜的半径就是外接球的半径.

在&LSC中•由S£二SC二JI二2,ASA+SC2=AC

・'・AJSC是以JC为斜边的RtA・

ACIiT

-—二1呈外接圆的半径，也是外接球的半径■故卩人二一・

23

小结框拇题意，我们可以选择壷佳角覽找出舍肓正唆链蚌爼元畫的外接球的一个抽截Sr圆、于是该

圜的半径就是所求的外接球的半径•本题提供的这种思■路是探求正棱锥外接球半桎的逸塀逸法，该方法的

实质就是通过寻找外接球的一个軸截笛園，从而把虫体几何问题特化为平石几■何问题来研究•这释等价

转化的数学思想方去位得我們翅

方法五、确定球心位置法

B-AC-D，贝叮四面他⑦的外接球的体积为

125

—n

12

B.

125

C■——

圧

125

D.——

+Gi—JJ+（可一可）

解设拒形对角线的交点2则由矩形对角线互相平分，可知0A=OB=0C=0D,点0

到四面体的四个顶点4B,C.刀的距离相等，即点O为四面体的外接球的掠心，如图2

所示二外接球的半径R-0A=二•故几一TJ7—丄二才•选CL

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方法六、出现多个垂直尖系时建立空间直角坐标系，利用向量只就是求解

【洌題】：己知在三棱锥不如?中，且。丄面ZBW二120,

AB=AD=AC=2f求该棱锥的外接球半径=

AB=AD=AC=2.求该棱锥的外接球半径.

x：+3?+疋’二（X-1）?+@■石厂+/

锂得

【结论L空间两点间距黒公式已甩・J

(H]-E)

役球心坐怖为0(心)则加饬/CO^DO.由空间两点间距离公式知

•兀：+y2+z2=（X-2）2+T2+Z2+厂十云二十+)•:十Jz・2)

D

園」B

方法七、四面体就是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，

根据勾股定理知，眉设正四面体的边长为Q时+它的外養球半

径为二一

面

图，

,易

得

图O为

矩

正方体的内切球:

设正方休的棱长为日•求（1）内切球半径.（2）外接球半径i（3）弓棱相切的球半径。

（1）截面團为正方形EFGH的内切圆*得7?=；

2

（2）正方体各棱相切的球E球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截

（3）正方体的外接球’正方体的八个顶点都在球面上，如團了以对角面虫吐作截面

构适直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由

球心、底面中心及底面一顶点构成的宜角三角形便可得球半径.

第二部分内切球

因5

例题•已知底面边怅为。正三"宓拥心的六个顶点在球2上，又知球Q与此三棱柱的5个面都相切，求球

Q与球6的体积之比与表面积之比。

5、—

—a

3

分析；先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的尖系。

M：如图乳由题意得两球心Q是重合的，过正三棱柱的一条侧棱丿赴和它们的

AS：：S?二5；:=5:b玖:冬二S/5:l

、圆锥得内切、外接球问题

分析》运用正四面体的二心合一性质•作岀截面图，通过点、线、面尖系解之。解•如

图L所示,设点0是内切球的球心•正四面休疲长为G由图形的对称性知、点0也是外接球

的球心.设內切球半径为八外接球半径为R+

在J&ABrO中、Bd二BE~+E0，即P二

得R=3r

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为

正四面体高的四等分点J即內切球的半径为上（h为正四面休的

4

高），且外接球的半径二，从而可以通过截面图中用必建立棱长与半径

球1、作截面，设正三棱柱底面边长为Q,则&

正三棱柱的高为

斗a,由Rg：DO中,

A

A

之间的尖系

多面体的体积为W表面积为S,则内切球的半径为：3V/S

高为h?各面面积均为$的楼锥内任意一点到各表面距离之和为h