致密性定理

致密性定理

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2023年3月6日发(作者：垃圾分类介绍)

六大定理的相互证明总结

XXX学号

数学科学学院数学与应用数学专业班级

指导老师XXX

摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其

中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.

该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相

互证明.

关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定

理

1确界定理

1.1确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.

1.2确界定理证明区间套定理

证明：设一无穷闭区间列,

n

a

n

b适合下面两个条件：（1）后一个区间在前

一个区间之内，即对任一正整数n，有

1



nn

aa＜

nn

bb

1

，（2）当n时，

区间列的长度

n

b

n

a所成的数列收敛于零，即0lim



nn

n

ab.

显然数列

n

a中每一个元素均是数列

n

b的下界，而数列

n

b中每一个元素均是

数列

n

a的上界.由确界定理，数列

n

a有上确界，数列

n

b有下确界.

设.sup,inf

nn

ab

显然

nnnn

baba,.

又0lim



nn

n

ab





即

n

a及

n

b收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.

1.3确界定理证明单调有界原理[1]

证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因

n

y有界，则必有上确界



n

ysup

.现在证明恰好是

n

y的极限，即



n

y.

由上确界的定义有：⑴



n

y（

3,2,1n

…），⑵对任意给定的



＞0，在

n

y中

至少有一个数

N

y，有

N

y＞

.但由于

n

y是单调增加数列，因此当n＞

N

时，

有

Nn

yy，从而

n

y＞

.也就是说：当n＞

N

时，有

n

y0＜



所以



n

y

2单调有界原理

2.1单调有界原理单调有界数列有极限.

2.2单调有界原理证明致密性定理

在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列

n

x必存在单调子数列.

证明：⑴若

n

x中存在递增子序列

k

n

x，则引理已证明；

⑵若

n

x中无递增子序列，那么

1

n＞0，使n＞

1

n，恒有

1

n

x＞

n

x.同样在

n

x（n

＞

1

n）中也无递增子序列.

于是又存在

2

n＞0，使

2

n＞n，恒有

2

n

x＜

n

x＜

1

n

x.如此无限进行下去便可得到一

严格递减子序列

k

n

x.

引理得证.

下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，

该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.

2.3单调有界原理证明区间套定理[1]

由定理的条件立即知道

n

a是单调增加有上界的数列，

n

b是单调递减有下界的

数列.根据定理，则

n

n

a



lim存在，且极限等于

n

a的上确界.同样，

n

n

b



lim也存在，

且极限等于

n

b的下确界.亦即对任何正整数k，有

n

n

kn

n

k

bbaa



lim,lim（*）

由定理的另一条件：0lim



nn

n

ab

，并且由于已知

n

a及

n

b的极限都存在，

则有0limlimlim



n

n

n

n

nn

n

abab

.

从而证明了两个极限相等，且设是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果

即已证得.剩下要证的是：是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，

即有

nk

ba

（

3,2,1k

…）

也就是是所有区间的一个公共点.现在要证明是所有区间的唯一公共点.设

除点外，所设区间列还有另外一个公共点'

，且

'.由于

nn

ba',

（

3,2,1n

…），故有

'

nn

ab

（

3,2,1n

…）

由数列极限的性质知道：





'lim

nn

n

ab

由于0lim



nn

n

ab，故有

0'

从而有

'.到此定理的全部结果都已得证.

3区间套定理

3.1区间套定理设一无穷闭区间列,

n

a

n

b适合下面两个条件：（1）后一个

区间在前一个区间之内，即对任一正整数n，有

1



nn

aa＜

nn

bb

1

，（2）当n

时，区间列的长度

n

b

n

a所成的数列收敛于零，即0lim



nn

n

ab，则区

间的端点所成两数列

n

a及

n

b收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公

共点.

3.2区间套定理证明单调有界原理

证明：设数列

n

x递增有上界.

取闭区间

11

,ba，使

1

a

不是数列

n

x的上界，

1

b是数列

n

x的上界.显然在闭区

间

11

,ba内含有数列

n

x的无穷多项，而在

11

,ba外仅含有数列

n

x的有限项.

对分

11

,ba，取

22

,ba，使其具有

11

,ba的性质.故在闭区间

22

,ba内含有数列



n

x的无穷多项，而在

22

,ba外仅含有数列

n

x的有限项.

以此方法，得区间列

,

n

a

n

b.

由区间套定理，是所有区间的唯一公共点.

显然，在的任何邻域内有数列

n

x的无穷多项，即＞0，*NN

，当n＞

N

时，有

n

x＜



.

所以



n

n

xlim定理得证.

3.3区间套定理证明致密性定理[1]

证明：设

n

y为有界数列，即存在两个数

ba,

，使bya

n

.等分区间ba,为两

个区间，则至少有一个区间含有

n

y中的无穷个数.把这个区间记为

11

,ba，如

果两个区间都含有无穷个

n

y，则任取其一作为

11

,ba.再等分区间

11

,ba为两半，

记含有无穷个

n

y的区间为

22

,ba.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得

到一个区间列

,

n

a

n

b，这个区间列显然适合下面两个条件：

（1）

2211

,,,bababa…

（2）

0

2







n

nn

ab

ab

于是由区间套定理，必存在唯一点ba,

使



nn

ba,，且

kk

ba,

（

3,2,1k

…）.

每一

kk

ba,中均含有

n

y的无穷个元素.

在

11

,ba中任取

n

y的一项，记为

1

n

y，即

n

y的第

1

n项.由于

22

,ba也含有无穷

个

n

y，则它必含有

1

n

y以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为

2

n

y，则

1

n

＜

2

n.继续在每一

kk

ba,中都这样取出一个数

k

n

y，即得

n

y的一个子列

k

n

y，

其中

1

n＜

2

n＜…＜

k

n＜…，且

knk

bya

k

.令k，由于,,

kk

ba故



k

n

y.这就是定理所要的结果.

4致密性定理

4.1致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列.

4.2致密性定理证明单调有界原理

证明：不妨设

n

x单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列

k

n

x.

令ax

k

n

k





lim.于是，对＞0，

0

k，当k＞

0

k时，有

ax

k

n



＜



（*）

由于

n

x单调递增，显然恒有ax

n

（

3,2,1n

…）.

由此（*）式可改成0

k

n

xa＜



（k＞

0

k）

取

0

k

nN，当n＞N时有

k

nn

xaxa0＜



所以ax

n

n





lim

4.3致密性定理证明柯西收敛原理[1]

证明：首先证明条件的必要性：

设ax

n

，则对任意给定



＞0，有一正整数N，当k＞N时，有

ax

k

＜

2



从而当nm,＞

N

时，有

mnmn

xaaxxx＜

2



+

2



=



其次证明条件的充分性：

首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取



=1，必有一正整数

0

N，

当nm,＞

0

N时，有

mn

xx＜1

特别地，当n＞

0

N且1

0

Nm时，有

1

0





Nn

xx

＜1

从而当n＞

0

N时，有

11

00





NNnn

xxxx

＜1+

1

0

N

x

这就证明了

n

x的有界性.由致密性定理，必有收敛子列

k

n

x，设ax

k

n

k





lim.

根据子列收敛定义，对任意给定的



＞0，必有正整数K，当k＞K时，有

ax

n

＜



取一正整数1,1max

0

NKk.于是

0

k＞K，且1

1





Nnn

Nk

o

＞N.因此，

当n＞

N

时，由已知条件有

0

k

nn

xx

＜



，所以

axxxax

kk

nnnn



00

＜



+



=2



即

ax

n

n





lim

5柯西收敛原理

5.1柯西收敛原理数列

n

x有极限的必要与充分条件是：对任意给定的



＞0，

有正整数

N

，当m,n＞

N

时，有

mn

xx＜



.

5.2柯西收敛原理证明单调有界原理

证明：反证法，设

n

x为一递增且有上界M的数列.假设其没有极限，则用柯西

收敛原理表达就是＞0，对*NN，当nm,＞

N

时，有

mn

xx

取

1，必有一正整数

1

N，当

21

,nn＞

1

N时，有

1

12



nn

xx

.

又由于数列

n

x为一递增的数列，所以

1212

nnnn

xxxx1

取1，必有一正整数

1

N，当

32

,nn＞

1

N时，有1

23



nn

xx

取1，必有一正整数

1

N，当

43

,nn＞

1

N时，有1

34



nn

xx

………………………………………

取1，必有一正整数

1

N，当

1

,

kk

nn＞

1

N时，有1

1



kk

nn

xx

将以上式子相加，得1

1





kx

k

n

（k）

与数列

n

x有上界M矛盾，假设不成立.

即，单调有界数列有极限.

5.3柯西收敛原理证明致密性定理

证明：反证法，设

n

x为一有上界M的数列.

假设其没有收敛子列.

由子列收敛的定义，则＞0，对*NN，当

kk

nn,

1

＞N时，有

kk

nn

xx

1

.

取1，必有一正整数

1

N，当

21

,nn＞

1

N时，有1

12



nn

xx

取2，必有一正整数

2

N

，当

32

,nn＞

2

N

时，有2

23



nn

xx

取3，必有一正整数

3

N，当

43

,nn＞

3

N时，有

3

34



nn

xx

………………………………………

取

k，必有一正整数

k

N，当

1

,

kk

nn＞

k

N时，有

kxx

kk

nn



1

显然与数列

n

x有上界M矛盾，假设不成立.

即，任一有界数列必有收敛子列.

6有限覆盖定理

6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E覆盖一个闭区间[a,

b

],则总可

以从

E

中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b].

6.2有限覆盖定理证明确界定理

证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.

设不为空集的区间

ER，x

E,有xM,任取一点

0

x

E，假设E无上确

界，那么x

[

0

x,M]:

ⅰ)当x为E的上界时，必有更小的上界

1

x＜x,因而x存在一开邻域

x

，其中每

一点均为E的上界，称其为第一类区间；

ⅱ）当x不是E的上界时，则有

2

xE使

2

x＞x,那么x存在一开邻域

x

，其中

每点均不是E的上界，称其为第二类区间.



当x取遍[

0

x,M]上每一点找出一个邻域

x

.

显然

x

不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[

0

x,M]的一个

开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[

0

x,M].显然M所在的开区

间应为第一类区间，与其邻接的开区间

x

有公共点.

所以x



x

，x均为E的上界.而与

x

相邻接的开区间'

x

有公共点，所以

x

'

x

，x均为E的上界.

依此类推，

0

x所在的开区间也是第一类区间，则

0

x为E的上界.

又

0

xE，



E为常数集.由此矛盾引出.

得证.

同理，E有下确界.

6.3有限覆盖定理证明致密性定理

证明：设

n

x是一有界数列，现在证明

n

x有收敛子列.

（1）如果

n

x仅由有限个数组成，那么至少有一个数要重复无限多次，即

=

21

nn

xx…=

k

n

x…因而子列

k

n

x收敛于.

（2）如果

n

x是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间ba,，使对一切

自然数n都有a＜

n

x＜b

在ba,内至少存在一点

0

x，使对于任意的正数，在

00

,xx内都含有

n

x

中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于ba,中每一点x，都有

x



＞0，

在

xx

xx,内，仅有

n

x中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：

,

x

x

x

x，完全覆盖了闭区间ba,，依有限覆盖定理，存在中

的有限多个区间.



11

111

,

xx

xx，…，

nn

xnxnn

xx,，他们也覆盖了ba,，并且

在每一个

i

（

,2,1i

…,n）中都只含

n

x中的有限多个数.因此

n

x也最多是由

有限个数组成，这与假设矛盾.

于是，对于

k



=

k

1

（

,3,2,1k

…），于

kk

xx

00

,内取

n

x中无穷多个点，就

得到

n

x的子列

k

n

x满足：

0

xx

k

n



＜

kk

1

（

,3,2,1k

…）从而

k

lim

0

1

xx

n

得

证.

总结：六大定理可以分为两类：

①有限覆盖定理：反映区间上的整体性质；

②其余五个：反映函数在一点上的性质.

实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上

发挥着重要的作用.

本文在写作过程中得到了XXX老师的多次精心指导，在此表示感谢.

参考文献：

[1]陈传璋金福临朱学炎.《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7