考研数学2
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2023年3月6日发(作者：猎具).
1/12
20XX全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合
题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸
．．．
指定位置上.
1、设cos1sin()xxx,()
2
x
,当0x时,()x〔
〔A比
x
高阶的无穷小〔B比
x
低阶的无穷小
〔C与
x
同阶但不等价的无穷小〔D与
x
是等价无穷小
[答案]〔C
[考点]同阶无穷小
[难易度]★★
[详解]cos1sin()xxx,2
1
cos1
2
xx
2
1
sin()
2
xxx,即
1
sin()
2
xx
当0x时,()0x,sin()()xx
1
()
2
xx,即()x与
x
同阶但不等价的无穷小,故选〔C.
2、已知()yfx由方程cos()ln1xyyx确定,则
2
lim[()1]
n
nf
n
〔
〔A2〔B1〔C-1〔D-2
[答案]〔A
[考点]导数的概念；隐函数的导数
[难易度]★★
[详解]当0x时,1y.
方程cos()ln1xyyx两边同时对
x
求导,得
将0x,1y代入计算,得(0)(0)1yf
所以,
2
lim[()1]2
n
nf
n
,选〔A.
3、设
sin[0,)
()
2[,2]
x
fx
,
0
()()xFxftdt,则〔
〔A
x
为()Fx的跳跃间断点〔B
x
为()Fx的可去间断点
.
2/12
〔C()Fx在
x
处连续不可导〔D()Fx在
x
处可导
[答案]〔C
[考点]初等函数的连续性；导数的概念
[难易度]★★
[详解]2
00
2
(0)sinsinsin2Ftdttdttdt
,(0)2F,
(0)(0)FF,()Fx在
x
处连续.
00
()()
()lim0
x
x
ftdtftdt
F
x
,00
()()
()lim2
x
x
ftdtftdt
F
x
,
()()FF
,故()Fx在
x
处不可导.选〔C.
4、设函数
1
1
1
1
(1)
()
1
ln
xe
x
fx
xe
xx
,若反常积分
1
()fxdx收敛,则〔
〔A2〔B2〔C20〔D02
[答案]〔D
[考点]无穷限的反常积分
[难易度]★★★
[详解]
11
()()()e
e
fxdxfxdxfxdx
由
1
()fxdx收敛可知,
1
()efxdx与
()
e
fxdx均收敛.
1
11
1
()
(1)
eefxdxdx
x
,1x是瑕点,因为
1
1
1
(1)
edx
x
收敛,所以112
1
11
()(ln)
lnee
e
fxdxdxx
xx
,要使其收敛,则0
所以,02,选D.
5、设()
y
zfxy
x
,其中函数f可微,则
xzz
yxy
〔
.
3/12
〔A2()yfxy
〔B2()yfxy
〔C
2
()fxy
x
〔D
2
()fxy
x
[答案]〔A
[考点]多元函数的偏导数
[难易度]★★
[详解]
2
2
()()
zyy
fxyfxy
xxx
,
1
()()
z
fxyyfxy
yx
11
()()()()2()fxyyfxyfxyyfxyyfxy
xx
,故选〔A.
6、设
k
D是圆域22(,)1Dxyxy位于第k象限的部分,记
()(1,2,3,4)
k
k
D
Iyxdxdyk,则〔
〔A
1
0I〔B
2
0I〔C
3
0I〔D
4
0I
[答案]〔B
[考点]二重积分的性质；二重积分的计算
[难易度]★★
[详解]根据对称性可知,
13
0II.
2
2
()0
D
Iyxdxdy〔0yx,
4
4
()0
D
Iyxdxdy〔0yx
因此,选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则〔
〔A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
〔B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
〔C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
〔D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
[答案]〔B
[考点]等价向量组
[难易度]★★
[详解]将矩阵A、C按列分块,
1
(,,)
n
A,
1
(,,)
n
C
由于ABC,故
111
11
1
(,,)(,,)
n
nn
nnn
bb
bb
即
1111111
,,
nnnnnnn
bbbb
.
4/12
即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆,故1ACB,A的列向量组可由C的列向量组线性表示,故选〔B.
8、矩阵
11
11
a
aba
a
与
200
00
000
b
相似的充分必要条件是〔
〔A0,2ab
〔B0,ab为任意常数
〔C2,0ab
〔D2,ab为任意常数
[答案]〔B
[考点]矩阵可相似对角化的充分必要条件
[难易度]★★
[详解]题中所给矩阵都是实对称矩阵,它们相似的充要条件是有相同的特征值.
由
200
00
000
b
的特征值为2,b,0可知,矩阵
11
11
a
Aaba
a
的特征值也是2,b,0.
因此,22
1111
2202240
11020
aa
EAababaaa
aa
0a
将0a代入可知,矩阵
101
00
101
Ab
的特征值为2,b,0.
此时,两矩阵相似,与b的取值无关,故选〔B.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
9、
1
0
ln(1)
lim(2)x
x
x
x
.
[答案]
1
2e
[考点]两个重要极限
.
5/12
[难易度]★★
[详解]
其中,
2
0000
1
1
1ln(1)ln(1)1
1
lim(1)limlimlim
22(1)2xxxx
xxxx
x
xxxxxx
故原式=
1
2e
10、设函数
1
()1x
tfxedt
,则()yfx的反函数1()xfy在0y处的导数
0y
dx
dy
.
[答案]
1
1
1e
[考点]反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
[难易度]★★
[详解]由题意可知,(1)0f
1
01
11
()1
11
x
x
yx
dydxdxdx
fxe
dxdydydy
ee
.
11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为cos3()
66
r
,则L所围平面图形的面积是.
[答案]
12
[考点]定积分的几何应用—平面图形的面积
[难易度]★★
[详解]面积
6
22
666
00
0
6
11cos61sin6
()cos3()
222612
Srddd
12、曲线
2
arctan,
ln1
xt
yt
上对应于1t点处的法线方程为.
[答案]ln20
4
yx
[考点]由参数方程所确定的函数的导数
[难易度]★★★
.
6/12
[详解]由题意可知,
1
2
2
2
2
11
(1)2
2
/
1
1
/
1
tt
dydydt
t
t
dxdxdt
t
,故
1
1
t
dy
dx
曲线对应于1t点处的法线斜率为
1
1
1
k
.
当1t时,
4
x
,ln2y.
法线方程为ln2()
4
yx
,即ln20
4
yx
.
13、已知32
1
xxyexe,2
2
xxyexe,2
3
xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个
解,则该方程满足条件
0
0
x
y
,
0
1
x
y
的解为y.
[答案]32xxxyeexe
[考点]简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
[难易度]★★
[详解]3
12
xxyyee,
23
xyye是对应齐次微分方程的解.
由分析知,*2xyxe是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为32
12
()xxxxyCeeCexe
,
12
,CC为任意常数.
由
0
0
x
y
,
0
1
x
y
可得
1
1C,
2
0C.
通解为32xxxyeexe.
14、设
()
ij
Aa是3阶非零矩阵,A为A的行列式,
ij
A
为
ij
a
的代数余子式,若
0(,1,2,3)
ijij
aAij
,则A.
[答案]-1
[考点]伴随矩阵
[难易度]★★★
[详解]**0TT
ijijijij
aAAaAAAAAAAE
等式两边取行列式得
230AAA或1A
.
7/12
当0A时,00TAAA〔与已知矛盾
所以1A.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸
．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15、〔本题满分10分
当0x时,1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小,求n和a的值.
[考点]等价无穷小；洛必达法则
[难易度]★★★
[详解]
00
cos6cos4cos21
1
1coscos2cos3
4
limlim
nn
xx
xxx
xxx
axax
故20n,即2n时,上式极限存在.
当2n时,由题意得
16、〔本题满分10分
设D是由曲线
1
3yx,直线
xa(0)a及
x
轴所围成的平面图形,
x
V,
y
V分别是D绕x轴,y轴
旋转一周所得旋转体的体积,若
10
yx
VV,求
a
的值.
[考点]旋转体的体积
[难易度]★★
[详解]根据题意,
155
2
333
0
0
33
()
55
a
a
x
Vxdxxa
177
333
0
0
66
2
77
a
a
y
Vxxdxxa.
因
10
yx
VV
,故
75
33
63
1077
75
aaa.
17、〔本题满分10分
设平面区域D由直线3xy,3yx,8xy围成,求2
D
xdxdy
[考点]利用直角坐标计算二重积分
[难易度]★★
.
8/12
[详解]根据题意
32
86
yxx
xyy
,
1
6
3
2
8
x
yx
y
xy
故
2368
222
02
33
xx
xx
D
xdxdydxxdydxxdy26
434
02
28132416
()128
33333
xxx
18、〔本题满分10分
设奇函数()fx在[1,1]上具有二阶导数,且(1)1f,证明：
〔Ⅰ存在(0,1),使得()1f
；
〔Ⅱ存在(1,1),使得()()1ff
.
[考点]罗尔定理
[难易度]★★★
[详解]〔Ⅰ由于()fx在[1,1]上为奇函数,故(0)0f
令()()Fxfxx,则()Fx在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且
(1)(1)10Ff,(0)(0)00Ff.由罗尔定理,存在(0,1),使得()0F
,即
()1f
.
〔Ⅱ考虑
()()1(()())(())xxxxfxfxefxfxeefxe
令
()()xxgxefxe
,由于()fx是奇函数,所以()fx
是偶函数,由〔Ⅰ的结论可
知,()()1ff
,()()0gg.由罗尔定理可知,存在(1,1),使得
()0g
,即()()1ff
.
19、〔本题满分10分
求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
[考点]拉格朗日乘数法
[难易度]★★★
[详解]设(,)Mxy为曲线上一点,该点到坐标原点的距离为22dxy
.
9/12
构造拉格朗日函数2233(1)Fxyxxyy
由
2
2
33
2(3)0
2(3)0
10
x
y
Fxxy
Fyyx
Fxxyy
得
1
1
x
y
点(1,1)到原点的距离为22112d
,然后考虑边界点,即(1,0),(0,1),它们到原点的距离
都是1.因此,曲线上点到坐标原点的最长距离为2,最短距离为1.
20、〔本题满分11分
设函数
1
()lnfxx
x
〔Ⅰ求()fx的最小值；
〔Ⅱ设数列
n
x满足
1
1
ln1
n
n
x
x
,证明lim
n
n
x
存在,并求此极限.
[考点]函数的极值；单调有界准则
[难易度]★★★
[详解]〔Ⅰ由题意,
1
()lnfxx
x
,0x
22
111
()
x
fx
xxx
令()0fx
,得唯一驻点1x
当01x时,()0fx
；当1x时,()0fx
.
所以1x是()fx的极小值点,即最小值点,最小值为(1)1f.
〔Ⅱ由〔Ⅰ知
1
ln1
n
n
x
x
,又由已知
1
1
ln1
n
n
x
x
,可知
1
11
nn
xx
,即
1nn
xx
故数列
n
x单调递增.
又由
1
1
ln1
n
n
x
x
,故ln10
nn
xxe,所以数列
n
x有上界.
所以lim
n
n
x
存在,设为A.
.
10/12
在
1
1
ln1
n
n
x
x
两边取极限得
1
ln1A
A
在
1
ln1
n
n
x
x
两边取极限得
1
ln1A
A
所以
1
ln11AA
A
即lim1
n
n
x
.
21、〔本题满分11分
设曲线L的方程为2
11
ln(1)
42
yxxxe满足
〔Ⅰ求L的弧长；
〔Ⅱ设D是由曲线L,直线1x,
xe
及x轴所围平面图形,求D的形心的横坐标.
[考点]定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心
[难易度]★★★
[详解]〔Ⅰ设弧长为S,由弧长的计算公式,得
〔Ⅱ由形心的计算公式,得
422
42
3
3
11111
()
3(23)
1616422
111
4(7)
12122
eee
ee
e
e
.
22、〔本题满分11分
设
1
10
a
A
,
01
1
B
b
,当,ab为何值时,存在矩阵C使得ACCAB,并求所有矩阵C.
[考点]非齐次线性方程组有解的充分必要条件
[难易度]★★★
[详解]由题意可知矩阵C为2阶矩阵,故可设12
34
xx
C
xx
.由ACCAB可得
1212
3434
10101
1011
xxxx
a
xxxx
bb
整理后可得方程组
23
124
134
23
0
1
1
xax
axaax
xxx
xaxb
①
由于矩阵C存在,故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：
方程组有解,故10a,0b,即1a,0b.
.
11/12
当1a,0b时,增广矩阵变为
10111
01100
00000
00000
34
,xx为自由变量,令
34
1,0xx,代入相应齐次方程组,得
21
1,1xx
令
34
0,1xx,代入相应齐次方程组,得
21
0,1xx
故
1
(1,1,1,0)T,
2
(1,0,0,1)T,令
34
0,0xx,得特解(1,0,0,0)T
方程组的通解为
112212112
(1,,,)Txkkkkkkk〔
12
,kk为任意常数
所以121
12
1kkk
C
kk
.
23、〔本题满分11分
设二次型2
2233
(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx
,记
1
2
3
a
a
a
,
1
2
3
b
b
b
〔Ⅰ证明二次型f对应的矩阵为
2TT；
〔Ⅱ若,正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为22
12
2yy
[考点]二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩
[难易度]★★★
[详解]〔Ⅰ证明：
1
1232
3
(,,)(2)TTT
x
xxxxxAx
x
,其中
2TTA
所以二次型f对应的矩阵为
2TT.
〔Ⅱ由于,正交,故
0TT
因,均为单位向量,故1T,即1T.同理1T
由于0,故A有特征值
1
2.
.
12/12
(2)TTA,由于0,故A有特征值
2
1
又因为()(2)(2)()()()1123TTTTTTrArrrrr,
所以0A,故
3
0.
三阶矩阵A的特征值为2,1,0.因此,f在正交变换下的标准形为22
12
2yy.