坐标正反算
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2023年3月6日发(作者：艺术鉴赏)坐标正反算定义及公
式
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第六章→第三节→导线测量内业计算
导线计算的目的是要计算出导线点的坐标，计算导线测量的精度
是否满足要求。首先要查实起算点的坐标、起始边的方位角，校核外
业观测资料，确保外业资料的计算正确、合格无误。
一、坐标正算与坐标反算
1、坐标正算
已知点的坐标、边的方位角、两点间的水平距离，计
算待定点的坐标，称为坐标正算。如图6-6所示，点的坐标可由
下式计算：
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式中、为两导线点坐标之差，称为坐标增量，即：
【例题6-1】已知点A坐标，=1000、=1000、方位
角=35°17＇36.5"，两点水平距离=200.416，计算点
的坐标？
35o17＇36.5"=1163.580
35o17＇36.5"=1115.793
2、坐标反算
已知两点的坐标，计算两点的水平距离与坐标方位
角，称为坐标反算。如图6-6可知，由下式计算水平距离与坐标方位
角。
（6-3）
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（6-4）
式中反正切函数的值域是-90°～+90°，而坐标方位角为
0°～360°，因此坐标方位角的值，可根据、的正负号所在象
限，将反正切角值换算为坐标方位角。
【例题6-2】=3712232.528、=523620.436、
=3712227.860、=523611.598，计算坐标方位角计算坐标方
位角、水平距离。
=62°09＇29.4"+180°=242°09＇
29.4"
注意：一直线有两个方向，存在两个方位角，式中：、
的计算是过A点坐标纵轴至直线的坐标方位角，若所求坐标方
位角为，则应是A点坐标减点坐标。
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坐标正算与反算，可以利用普通科学电子计算器的极坐标和直角
坐标相互转换功能计算，普通科学电子计算器的类型比较多，操作方
法不相同，下面介绍一种方法。
【例题6-3】坐标反算，已知=2365.16、=1181.77、
=1771.03、=1719.24，试计算坐标方位角、水平距离
。
键入1771.03-2365.16按等号键［=］等于纵坐标增量，按储存键
［］，
键入1719.24-1181.77按等号键［=］等于横坐标增量，按［］
键输入，按［］显示横坐标增量，按［］键输入，按第二功能键
［2ndF］，再按［］键，屏显为距离，再按［］键，屏显为方位
角。
【例题6-4】坐标正算，已知坐标方位角=294°42＇51"，
=200.40，试计算纵坐标增量横坐标增量。
键入294.4251，转换为以度为单位按［DEG］，按［］键输入，
键入200.40，按［］键输入，按第二功能键［2ndF］，按［］屏
显，按［］屏显。
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第六章→第三节→导线测量内业计算
二、附合导线的坐标计算
(一）角度闭合差的计算与调整
1、联测边坐标方位角计算（坐标反算）
用式（6-4）计算起始边与终边的坐标方位角。
2、导线各边坐标方位角的计算
如图6-7所示，根据已知坐标方位角，观测右角，则各边方
位角为：
（6-5）
式中；n—右角个数，包括两个联接角；
—按观测角值推算CD边的方位角；
—右角之和。
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从6-5式可知，按导线右角推算坐标方位角时，导线前一边的坐
标方位角等于后一边的坐标方位角加180o再减去两相邻边所夹右角，
即：
（6-6）
式中：—已知后方边方位角；
—待求前方边方位角。
若导线转折角为左角时，采用6-7式计算各边方位角，推算终边
方位角，即：
（6-7）
计算坐标方位角的结果，若出现负值时，则加360°；若大于
360°减去360°。
3、角度闭合差的计算与调整
理论上，根据观测角值推算出的终边方位角等于终边已知方位
角，由于观测角值中不可避免含有误差，它们之间的差值，称为附
合导线的角度闭合差，用表示。
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（6-8）
角度闭合差的容许误差见表6-3，角度闭合差在容许范围内，说明
导线角度测量的精度是合格的。这样就可以将角度闭合差进行调整，
以满足终边方位角等于终边已知方位角，使角度闭合差等于
零。
角度闭合差调整的原则是，当观测导线右角时，角度闭合差以
相同符号平均分配于各个观测右角上；当观测导线左角时，角度闭合
差以相反符号平均分配于各个观测左角上。每个角的改正值按下式
计算：
（右角取“+”，左角取“-”）
（6-9）
改正后角值为：
（6-10）
（二）坐标增量闭合差计算和调整
坐标增量—两点的坐标之差。理论上，附合导线各边坐标增量的
代数和应等于起点和终点已知坐标之差，即：
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（6-11）
但是由于量边误差和角度虽经过调整，但仍存在残余误差的影
响，使推算出来的坐标增量总和不等于已知两端点的坐标差，其不符
值称为附合导线坐标增量闭合差。
如图6-8所示，由于增量闭合差的存在，使附合导线在终点CC＇
不能闭合，产生和纵坐标和横坐标增量闭合差，即：
（6-12）
CC＇的距离值，称为导线全长闭合差，则：
（6-13）
导线愈长，导线全长闭合差也愈大，所以衡量导线精度不能只看
导线全长闭合差的大小，应考虑导线总长度，则需要采用导线全长闭
合差与导线全长之比值来衡量，即导线全长相对闭合差，用表
示：
（6-14）
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式中—导线边总长度。K即为导线测量的精度，通常化为分
子为1，分母为整数的形式表示。
导线全长容许闭合差见表6-3。当大于容许闭合差时测量结果
不合格，应进行外业工作和内业计算检查；当小于容许闭合差时，
测量成果合格，将坐标增量闭合差、调整到各增量中，坐标增量
闭合差调整的原则是以相反符号，将坐标增量闭合差按边长成正比例
分配到各坐标增量中去，对于因计算凑整残余的不符值分配到长边的
坐标增量上去，使调整后的坐标增量代数和等于已知两端点的坐标
差。设纵坐标增量改正数为，横坐标增量改正数，则边长的坐
标增量改正数按下式计算：
坐标增量改正数之和必须满足下式的要求，也就是说，将闭合差
必须分配完，使改正后的坐标增量满足理论要求。
改正后的坐标增量等于各边坐标增量计算值加相应的改正数，改
正后的坐标增量代数和应等于两已知点坐标差，以此作为校核。即：
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第六章→第三节→导线测量内业计算
（三）导线点坐标计算
如图6-8所示，附合导线起始点和终点坐标是已知的，用起始点
已知坐标加上B1边改正后的坐标增量等于第一点的坐标，用第一点坐
标加上12边改正后的坐标增量等于第二点的坐标，依此类推，可求出
其它各点的坐标。即：
为了检查坐标推算是否存在错误，推算至终点应与已知坐标完全
一致，以此作为计算校核。
【例题6-5】某一级附和导线外业成果如图6-9，计算各点坐标并
检验是否满足精度要求。计算结果如表6-4所示。
(1)、绘制导线草图，如图6-9。
(2)、坐标反算
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(3)、角度闭合差计算
=75o55＇
06"+6×180o-1187o23＇46"=328o31＇20"
=328o31＇20"-328o31＇38=-
18"
(4)、角度闭合差限差
按一级导线"＞18"合格
4、改正后角值
=-3"
例：106°52′00″－3″=106°51′57″
203°00′24″－3″=203°00′21″
……………………
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=188°02′58″－3″=188°02′55″
5、推算方位角
例：
…………………………………
6、坐标增量闭合差计算
第6、7栏各坐标增量纵向相加得：
74.123
1345.560
74.123-74.265=-0.142
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7、精度计算
8、坐标增量闭合差闭合差分配
例:的改正数计算：
校核=0.142
=0.042
9、改正后的坐标增量
例:12边的增量：
10、各导线点坐标推算
例：第一点的坐标
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逐点推算至终点应等于点的已知坐标，作为校核。
附合导线坐标计算表6-4