对数运算公式
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2023年3月6日发(作者：bd专员)性质
①loga(1)=0;
②loga(a)=1;
③负数与零无对数.
2对数恒等式
aAlogaN=N(a>0,a^1)
3运算法则
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga(M/N)=logaM—logaN;
③对logaM中M的n次方有=nlogaM;
如果a=eAm则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…
为自然对数
的底。定义：若aAn=b(a>0且a^1)贝Sn=log(a)(b)
基本性质：
1、aA(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M宁N)=j(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(MAn)二nlog(a)(M)
5、log(aAn)M=1/nlog(a)(M)
推导：
1、因为n=log(a)(b)，代入则aAn=b，即aA(log(a)(b))=b。
2、MN=MN
由基本性质1(换掉M和N)
aA[log(a)(MN)]=aA[log(a)(M)]xaA[log(a)(N)]
由指数的性质
aA[log(a)(MN)]=a“{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
3、与(2)类似处理M/N二叶N
由基本性质1(换掉M和N)
aA[log(a)(M-N)]=aA[log(a)(M)]-aA[log(a)(N)]
由指数的性质
aA[log(a)(M宁N)]=a“{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M-N)=log(a)(M)-log(a)(N)
4、与(2)类似处理
MAn二MAn由基本性质1(换掉M)aA[log(a)(MAn)]{aA[log(a)
(M/n
由指数的性质
aA[log(a)(MAn)]=aA{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MAn)二nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(aAn)(bAm)二m/n*[log(a)(b)]
推导如下：由换底公式(换底公式见下面)[Inx是log(e)(x),e称作自
然对数的底]log(a"n)(b^m)=ln(Zm)—In(a
An)
换底公式的推导：设eAx=bAm,eAy=aAn则
Iog(aAn)(bAm)=log(eAy)(eAx)二x/yx=ln(bAm),y=ln(aAn)得：
Iog(aAn)(bAm)=ln(bAm)—In(aAn)
由基本性质4可得Iog(aAn)(bAm)=[mxIn(b)]—[nxIn(a)]=
(m宁n)x{[In(b)]宁[ln(a)]}
再由换底公式Iog(aAn)(bAm)=m-nx[log(a)(b)]
4换底公式
设b=aAm,a=cAn,贝
U
b=(cAnFm二cA(mn)......................................①
对①取以a为底的对数，有：
log(a)(b)=m.............................................②
对①取以c为底的对数，有：
log(c)(b)=mn.......................................③
③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)二
log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/(Ina)
logc67
5推导公式
Iog(1/a)(1/b)=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
6求导数
(xlogax)'=logax+Ina
其中，logax中的a为底数，x为真数;
(logax)'=1/xIna
特殊的即a=e时有
(logex)'=(lnx)'=1/x
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