多元函数微分学

多元函数微分学

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2023年3月5日发(作者：ou韵)

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限lim

x

y

xy

xy



0

0

2

42

=（B）

(A)等于0；(B)不存在；(C)等于

1

2

；(D)存在且不等于0或

1

2

（提示：令22ykx）

2、设函数fxy

x

y

y

x

xy

xy

(,)

sinsin

















11

0

00

，则极限lim(,)

x

y

fxy





0

0

=（C）

(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

3、设函数fxy

xy

xy

xy

xy

(,)

















22

22

22

0

00

，则(,)fxy（A）

(A)处处连续；(B)处处有极限，但不连续；

(C)仅在（0,0）点连续；(D)除（0,0）点外处处连续

（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy，令ykx，

2

2222

00

0

limlim0(0,0)

1xx

y

kxkx

f

xkxk







，故在220xy，函数亦连续。所以，(,)fxy在整个

定义域内处处连续。）

4、函数zfxy(,)在点(,)xy

00

处具有偏导数是它在该点存在全微分的（A）

(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件

5、设u

y

x

arctan，则





u

x

=（B）

(A)

x

xy22

；(B)



y

xy22

；(C)

y

xy22

；(D)





x

xy22

6、设fxy

y

x

(,)arcsin，则f

x

'(,)21（A）

（A）

1

4

；（B）

1

4

；（C）

1

2

；（D）

1

2

7、若

)ln(yxz

，则











y

z

y

x

z

x（C）

（A）

yx

；（B）

yx

；（C）

2

1

；（D）

2

1

．

8、设

y

x

zarctan，

vux

，

vuy

，则



vu

zz

（C）

（A）

22vu

vu





；（B）

22vu

uv





；（C）

22vu

vu





；（D）

22vu

uv





．

9、若fxxxxfxxx

x

(,),(,)'232612，则fxx

y

'(,)2=（D）

(A)x

3

2

；(B)x

3

2

；(C)21x；(D)21x

10、设zyx，则()

(,)









z

x

z

y



21

（A）

(A)2；(B)1+ln2；(C)0；(D)1

11、设函数

zxy122，则点(,)00是函数z的（B）

（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；

（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。

12、设函数zfxy(,)具有二阶连续偏导数，在Pxy

000

(,)处，有（C）

2)()(,0)()(,0)(,0)(

000000

PfPfPfPfPfPf

yxxyyyxxyx

，则

（A）点P

0

是函数z的极大值点；（B）点P

0

是函数z的极小值点；

（C）点P

0

非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。

二、填空题

1、极限lim

sin()

x

y

xy

x



0



=。答：

2、极限lim

ln()

x

y

xye

xy





0

1

22

2

=。答：

ln2

3、函数zxyln()的定义域为。答：xy1

4、函数z

x

y



arcsin

的定义域为。答：

11x

，y0

5、设函数fxyxyxy

y

x

(,)ln











22，则fkxky(,)=。答：kfxy2(,)

6、设函数fxy

xy

xy

(,)



，则fxyxy(,)=。答：

22

2

xy

x



（

22()()

(,)

()()2

xyxyxy

fxyxy

xyxyx







Q）

7、设zxyysin()3，则





z

xx

y







2

1

_________。答：3cos5

8、函数

zzxy(,)

由方程xyzexyz()所确定，则

2

2

z

x





09、、设

uxxyln，则





2u

xy

=___________。答：

1

y

9、函数zxyxy2346122的驻点是_________。答：（1，－1）

三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1)221zxy(2)ln()zxy(3)

1

ln()

z

xy





(4)ln(1)zxy

解：(1)要使函数221zxy有意义，必须有2210xy，即有221xy.

故所求函数的定义域为22{(,)|1}Dxyxy,图形为图

(2)要使函数ln()zxy有意义，必须有0xy.故所有函数的定义域为

(,)|0Dxyxy

，图形为图

(3)要使函数

1

ln()

z

xy





有意义，必须有ln()0xy，即0xy且1xy.

故该函数的定义域为(,)|01Dxyxyxy，

，图形为图

(4)要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10xy.故该函数的定义域为

{(,)|1}Dxyxy，图形为图

图图

图图

2、求极限lim

x

y

xxye

xy



0

0

416

。

解：lim

x

y

xxye

xy



0

0

416









lim

()

x

y

xxyexy

xy0

0

416

=-8

3、设函数

zzxy(,)

由方程xyzxyz2所确定，求





z

y

。答：

21

12

xyz

xy





4、设zyxyxln()，求









z

x

z

y

,。

解：zyyxy

x

y

x

xxlnln

1

zxyxy

y

y

y

xx1

1

ln()

四、应用题。

1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生

产

y

单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两

种产品的产量各为多少？

解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22yxyxyxyxyxL

)0,0(,400)33(01.06822yxyxyxyx，

令















0)6(01.06

0)6(01.08

yxL

yxL

y

x，解得唯一驻点（120，80）.

又因06.0,01.0,006.0













yyxyxx

LCLBLA，得

0105.332BAC.

得极大值320)80,120(L.根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品

甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.

五、证明题

1、设

)

11

(

yxez



求证z

y

z

y

x

z

x222













证明：因为

2

)

11

(1

x

e

x

z

yx







2

)

11

(1

y

e

y

z

yx





所以zee

y

z

y

x

z

xyxyx2

)

11

()

11

(

22











2设2sin(x2y3z)x2y3z证明1











y

z

x

z

证明：设F(xyz)2sin(x2y3z)x2y3z则

Fx

2cos(x2y3z)1

Fy

2cos(x2y3z)222Fx



Fz

2cos(x2y3z)(3)33Fx



3

1

3











x

x

z

x

F

F

F

F

x

z



3

2

3

2











x

x

z

y

F

F

F

F

y

z



于是1

3

2

3

1













z

z

z

x

F

F

F

F

y

z

x

z



3、设xx(yz)yy(xz)zz(xy)都是由方程F(xyz)0所确定的具有连续偏导

数的函数证明1

















x

z

z

y

y

x



解：因为

x

y

F

F

y

x









y

z

F

F

z

y









z

x

F

F

x

z









所以

1)()()(

















z

x

y

z

x

y

F

F

F

F

F

F

x

z

z

y

y

x

