复合函数求极限
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2023年3月5日发(作者：研究设想)1
求极限的若干方法及探讨
摘要
本文从三个方面探讨了求极限的方法。在第一部分首先探讨了利用单调有界原理
及压缩映像原理求极限，它对于序列递推形式题目的极限比较常用，首先应用单调有
界性证明存在性，其次应用压缩映像定理证明极限值。在第二部分利用Stolz定理求
极限，对于一些分子分母为求和式的比式极限题目经常用，是比较普遍的方法。第三
部分是对复合函数求极限,应用Topliz定理其关键在于构造一个Topliz变换得到了
特殊的解法，求出复杂函数极限。在每部分给出了求极限的类型、原理，并在每种方
法后面列举例题。
关键词
单调有界原理及压缩映像原理Stolz定理Toplitz定理
引言
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，例如：我国古代数学家刘
徽(公元3世纪)，利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思
想在几何学上的应用。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学
中的一种基本方法。极限的概念已成为高等数学中最基本、最重要的概念,是微积分
理论的基础。由于高等数学中的许多重要概念,如连续、导数微分和积分等都要用极
限概念来表达,有些运算方法也是建立在极限概念基础上，因此掌握极限概念的理论
和求极限的方法，对学习高等数学来说是非常重要的。数学分析中我们已经学过一
些常见的求极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定
理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对一些特殊的极限题目很难解决,例
如：设a>0,a
1
>0,a
1n
=
aa
aaa
n
nn
2
2
3`
)3(
求
n
n
a
lim的问题题目仅给出了第n项与第n+1项的
关系，若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等一时很难下手，
还有求
!
!
lim1
n
k
n
k
n
及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方
法，对某些用常见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。
一、序列递推形式的极限
2
序列递推形式的极限是一类较复杂的题目，它的规律不强难于下手，它仅给出了
第n项与第n+1项的关系，例如已知x
1n
=2
n
x求
n
n
x
lim的题目在做题时经常遇到，
下面我们将讨论集中方法，我们首先介绍一下此定理。
（1）利用单调有界性定律证明，即是序列{x
n
}单调，有界，则极限存在。
（2）利用压缩映像原理进行证明，（1）在区间[a,b]中，任意x属于[a,b]则
有xf属于[a,b]，(2)任意x,y属于[a,b],则存在r,0<ｒ<１使
)()(yfxf 此时若有数列 1 nn xfx,n属于自然数，x 1n -x n < n xf- 1n xf n -x )1(n ,其中0 n }收敛，可由柯西定理证明。 单调性的证明， 1）作差法，令r n =x n -x )1(n ,若r n <0,{x n }单调下降而且是严格的，若r n >0 则,{x n }单调上升的而且是严格的 2）若x n 0,令r n ＝ 1n n x x ，若r n >1,则,{x n }单调上升的而且是严格的，若 0 n <1则{x n }单调下降而且是严格的,其中也可以是非严格的 3）xf 的导数xf ,xf 在区间上xf >0,则xf 严格单调上xf <0 则严格单调下降，若0<xf <1,r<1则由压缩映像原理直接可得 {x n }的收敛性，因为由微分学基本定理中的中值定理可知{x n }满足压 缩映像条件，x 1n -x n < 1 nn xfxf＝ f ()x n -x )1(n n -x )1(n ,所以数列收敛。 应用单调有界性证明， 例1.1证明序列{x n }，已知x 0 ＝1，行x 1n ＝ n x2，n=0,1,2,3,4,……，存在 极限，并且求其值。 分析：{x n }序列有界单调性往往与初值有关，因而必须重视初值。 解：首先证明有界性，因为x 0 ＝1，x 1n ＝ n x2，所以1 1 ＝ 0 2x＝ 2 <2，1 2 3 ＝ 1 2x<2,2<22 3 = 2 2x<2,假设1 k <2,来证1 1k <2 因为x 1k ＝ k x2<2,所以{x n }有界为2， 再证单调性，令xf=x2，则xf = x2 1 所以xf = x2 1 >0,当x属于[0，2]， 则xf单调上升，所以{x n }单调上升，所以存在极限设为a,则有a=a2 因此a=0(舍去)或a=2 应用压缩映像定理证明 例1.2设xf在区间[ rara, ]＝I上可微，且xf （1－b）r.任取x 0 I令x 1 ＝ 0 xf， 2 x＝ 1 xf,x 3 ＝ 2 xf，…….x n ＝ 1n xf……. 则 n limx n ＝x*则x*为方程的根x=.xf 证明：首先证明x n I，令x 1n = n xf I，任取x 1n ，则x 1n －a＝ n xf －af＋af－a< n xf－af+af－a< f （）x n -a+ af-a< br +(1-b)r=r 所以x 1n I，x n I，再由微分学基本定理得x 1n -x n = n xf- 1n xf =0f (x n -x 1n ) 1n -x n 符合压缩映像原理,所以x n 收敛。 对于给出递推公式的题目，有时可通过把其通项写出来，观察通项的特点是否满 足单调性及压缩映像原理的条件有时则可简化计算。 二、满足Stolz定理的极限 对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的， 但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计 算，应用比较方便。首先介绍一下此定理； Stolz定理1（ ）：已知两个数列（x n ）{y n },数列{x n },严格单调上升，而且 下x n + ，当n+ , n lim nn nn xx yy 1 1=l,其中l为有限数或为＋ 或－ 则 x lim n n x y ＝l； Stolz定理2( 0 0 )：已知两数列（x n ）{y n }，y n 0当n+, ；,数列{x n }, 4 严格单调下降而且下x n 0当n+ ； n lim nn nn xx yy 1 1=l，其中l为有限数或为＋ 或－ ; Stolz定理的函数形式 定理3（ 型）若T>0为常数， 1）ｇ（ｘ）0, 2）ｇ（ｘ）+ ,当x+ 且xf,xg在[a,+ ]内闭有界，即b>a, xf,xg在[a,b]上有界。 3） x lim )()( )()( xgTxg xfTxf ＝l.则 x lim )( )( xg xf ＝l Stolz定理4( 0 0 )若T>0为常数， 1)0<Txg0 2) x limxf=0, x limg(x)=0 3) x lim )()( )()( xgTxg xfTxf ＝l 则 x lim )( )( xg xf ＝l,其中l＝或有限数或 定理1证明：由Topliz定理知lzw n n n n limlim，又 ,0lim n n ny x 故 l y x w y x n n n n n n )(limlim0 同理可证其它定理也成立 例2.1求证: n lim 3 2 )121( 1 3 n n 证明:因为 )121( 1 lim 3 n nn n Stolzlim 33)1(nn n 5 = n lim 2 33 33 )1( nn nnn = 3 1 例2.2设ss n n lim求 n s n ss n nln 1 2 1 lim 21 证明：因为nln单调递增且趋于又 s n s nn s n n n n n n 1 1 1 ) 1 1ln( lim ln)1ln( 1 1 lim 故由Stolz定理知 n s n ss n nln 1 2 1 lim 21 =s 例2.3 n limx n =a求 n lim n xxxx n .... 321=a 分析：此题显然符合定理，因而可以直接利用定理。 解： n lim n xxxx n .... 321＝ n lim nn xxxxxxx nnn 1 )........(.......... 21121 ＝ n lim 1 1n x ＝ n limx n =a 例2.4求极限 n lim ! ! 1 n k n k 分析：这道题也符合定理， 解： x lim ! ! 1 n k n k ＝ x lim !)!1( !! 1 1 1 nn kk n k n k ＝ x lim !_)!1( )!1( nn n ＝ x lim 1 1 1 1 n ＝ x lim1＝1 例2.5若xf 在（a,）内有定义，而且内闭有界，即任意[,] （a,）, xf 在[,][,]有界，则1） x lim x xf)( ＝ x lim[1xf -xf ] 2) x lim(xf )x 1 = x lim )( )1( xf xf ,其中（xf >c>0）. 解：1）从题意知令xg =x,则xf ,xg 都符合定理得函数形式，令T=1所以可 6 以直接套用定理， x lim x xf)( ＝ x lim xx xfxf 1 )()1( ＝ x lim1xf-xf, 2)令y=(xf)x 1 ,则 yln = x 1xfln, yln = x lim x 1xfln= x lim xx xfxf 1 )(ln)1(ln ＝ x limln )( )1( xf xf ，由y xln 的连续性所以 x limy= x lim )( )1( xf xf = x lim x xf)( 得证 例2.6 x lim 1 .......321 p Pppp n n 解： x lim 1 .......321 p Pppp n n ＝ x lim 11)1( )..........21()1(.........21 pp pPppPPp nn nnn ＝ x lim 11)1( )1( pp p nn n ＝ 1 1 p 从上可以看出利用Stolz定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于抓住要 求极限的特点，发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求得极限 式的特点。 三、利用托布利兹变换的极限 若出现 i j nj a 1 ＝1，对 n jlima nj =0, n lim j n j nj xa 1 问题，有时需要用变换，利用题 目中所给的条件，简化计算。首先介绍一下此定理； Toplitz定理设a ij > 01 1 n j ij a ,对,0lim, nj n ajy n = j n j nj xa 1 ,若,limlx n n 则 ly n n lim 证明：,0由,limlx n n 知，存在M>0,使lnMlx n ,且存在n 0 , 0 nn 有 2 1 lx n 有当1 0 nj时，0lim nj n a故存在N>n 0 Nn 有 0 0 2Mn a nj ，1 0 nj于是 Nn 有 7 n j nj n j jnjn laxaly 11 ＝ n j jnj lxa 1 )(lxa n 11 ＋ lxalxalxa nnnnnnnnnn 101000 < nnnn aaMn Mn 100 0 ( 22 22 ，则ly n n lim 说明：若{a nj }满足： 1）:,0limja nj n 2）存在常数使 ,n 有kaa nnn 1 则10由0lim n n x可知0lim n n y 若还有3）A nn =a 1n + nn a(1n) 则20,limlx n n 可知ly n n lim 例3.1：设p i >0,I=0,1,2,若,lim,0lim 10 ss ppp p n n n n n 则 s ppp pspsps n nnn n 10 0110lim 证明：令a nj = n jn ppp p 10 (n=0,1,2,,2,1j) 则a nj >0, 1 0 n j nj a , ,n 又 ,j0 )(0 1010 n ppp p ppp p a jn jn n jn nj 故ja nj n ,0lim由Topliz定理知： s ppp pspsps n nnn n 10 0110lim 例3.2：设数列{a n }{b n }满足： 10b n >0, 0n n b 发散 8 20s b a n n n lim 则s bbb aaa n n n 10 10lim 证明：令a nj = ),2,1,0,2,1,0( 10 jn bbb b n j 则a nj >0,1 0 n j nj a 又由 0n n b 发散知ja nj n ,0lim 所以由Topliz定理知 s bbb aaa n n n 10 10lim 应用Topliz定理关键在于构造一个Topliz变换，其构造方一般以通过分析表达 式的结构得出，最后验证条件，但应注意要具体条件具体分析，要学会灵活运用。 在求极限的题目时有时许要多种方法的综合运用例:设：0 1 <1,且 x 1n =x n (1-x n ),n=1,2,3,试证明： n lim n nx=1 证：}{,02 1nnnn xxxx 递减，又}{ n x有下界（,10 1 x设0 k <1, 则x 1k =x k (1-x k )>0）,从而 n n x lim存在，设,limax n n 则a=a(1-a)解得a=0即 2 1 1 1 lim 11 )1( lim 1 limlim n nn n nn n n n n nx xx xx nn x n nx 1)1(limlim 1 n n n n n x x x 从本题得出过程可以看出本例先用单调有界定理证明 n n x lim存在，进而求得 n n x lim＝0再应用Stolz求得 n n nx lim=1，本题就是用多种方法的一个例子。 从上面的例子可以看出极限的求法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机 械的就用某种方法，我们要抓住单调有界原理及压缩映像原理求极限，它对于序列递 推形式题目的极限比较常用,利用Stolz定理求极限对于一些分子分母为求和式的比 式极限题目经常用,是比较普遍的方法，对复合函数求极限,应用Topliz定理其关键 9 在于构造一个Topliz。除以上三种方法外还有先用数学归纳法再求极限，级数法求极 限，积分法求极限，利用海因定理求极限，利用对数求极限，中值定理求极限，推广 得夹逼定理法求极限，写出通项求极限，泰勒展式求极限，等价无穷小量求极限，积 分中值定理求极限等法。对具体题目要注意要具体条件具体分析，多种方法混合使用， 要学会灵活运用。