正切和角公式
-
2023年3月4日发(作者：大气科学专业)两角和与差的正弦余弦正切公式之蔡仲巾千创作
教学目标
1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦
公式，并灵活运用．(重点)
2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的
正切公式．(难点)
3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1两角和与差的余弦公式
阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列
问题.
名称简记符号公式使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos
αcosβ＋sinαsin
β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos
αcosβ－sinαsinβ
α，β∈R
cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于________．
【解析】逆用两角和的余弦公式可得
cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝
cos90°＝0.
【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．
1．公式
名称简记符号公式使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋
cosαsinβ
α、β∈R
两角差的正弦S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－
cosαsinβ
α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b分歧时为
0)，其中cosθ＝
a
a2＋b2
，sinθ＝
b
a2＋b2
．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意
的．()
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成
立．()
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都
不成立．()
(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()
解：(1)√.根据公式的推导过程可得．
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sin
β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sinα
＋sinβ成立．
(4)√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°
＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)
＝sin30°，故原式正确．
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√
教材整理3两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列
问题．
名称简记符号公式使用条件
两角和的正切T(α＋β)
tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
α，β，α＋β≠kπ＋
π
2
(k∈Z)且tanα·tan
β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
α，β，α－β≠kπ＋
π
2
(k∈Z)且tanα·tan
β≠－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成
立．()
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
都成
立．()
(3)tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
等价于tanα＋tanβ＝
tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()
解：(1)√.当α＝0，β＝
π
3
时，tan(α＋β)＝tan
0＋
π
3
＝tan0＋tan
π
3
，但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋
β≠kπ＋
π
2
(k∈Z)．
(3)√.当α≠kπ＋
π
2
(k∈Z)，β≠kπ＋
π
2
(k∈Z)，α＋
β≠kπ＋
π
2
(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtan
β可得后一个式子．
【答案】(1)√(2)×(3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
(1)(2016·济宁高一检测)
sin47°－sin17°cos30°
cos17°
＝()
A．－
3
2
B．－
1
2
C．
1
2
D．
3
2
(2)化简求值：
①
1＋tan75°
1－tan75°
；
②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；
③(2016·遵义四中期末)tan20°＋tan40°＋3tan
20°·tan40°.
(1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函
数值．
解：(1)
sin47°－sin17°cos30°
cos17°
＝
sin（17°＋30°）－sin17°cos30°
cos17°
＝
sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°
cos17°
＝
cos17°sin30°
cos17°
＝sin30°＝
1
2
.
【答案】C
(2)①原式＝
tan45°＋tan75°
1－tan45°tan75°
＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－3.
∴原式＝－3.
②设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cosα
＝
1
2
sinα＋
3
2
cosα
＋
3
2
cosα－
1
2
sinα
－3cosα
＝0.
∴原式＝0.
③原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan
20°·tan40°＝3.
∴原式＝3.
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公
式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，
tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可暗示出或求出第三
个．
2．化简过程中注意“1”与“tan
π
4
”、“3”与“tan
π
3
”、“
1
2
”与“cos
π
3
”等特殊数与特殊角的函数值之间的转
化．
[再练一题]
1．化简求值：
(1)cos61°cos16°＋sin61°sin16°；
(2)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；
(3)
1＋tan12°tan72°
tan12°－tan72°
.
解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos45°＝
2
2
.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝
1
2
.
(3)原式＝
1＋tan12°tan72°
tan12°－tan72°
＝－
1
tan（72°－12°）
＝－
3
3
.
给值求值
(2016·普宁高一检测)已知
π
4
<α<
3π
4
，0<β<
π
4
，
cos
π
4
＋α
＝－
3
5
，sin
3
4
π＋β
＝
5
13
，求sin(α＋β)的值.
【导学号：00680069】
可先考虑拆角，π＋α＋β＝
3
4
π＋β
＋
π
4
＋α
，然后再
利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．
解：因为
π
4
<α<
3
4
π，所以
π
2
<
π
4
＋α<π.
所以sin
π
4
＋α
＝1－cos2
π
4
＋α
＝
4
5
.
又因为0<β<
π
4
，
3
4
π<
3
4
π＋β<π，
所以cos
3
4
π＋β
＝－1－sin2
3
4
π＋β
＝－
12
13
，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
π
4
＋α
＋
3π
4
＋β
＝
－
sin
π
4
＋α
cos
3
4
π＋β
＋cos
π
4
＋α
sin
3π
4
＋β
＝－
4
5
×
－
12
13
＋
－
3
5
×
5
13
＝
63
65
.
1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关
系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α
＋β)－α这一关系．
2．罕见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；
(2)
α＋β
2
＝
α－
β
2
－
α
2
－β
，
α－β
2
＝
α＋
β
2
－
α
2
＋β
；
(3)
π
4
＋α
＋
π
4
＋β
＝
π
2
＋(α＋β)；
(4)
π
4
＋α
＋
π
4
－β
＝
π
2
＋(α－β)．
[再练一题]
2．已知cosα＝－
4
5
，α∈
π，
3π
2
，tanβ＝－
1
3
，
β∈
π
2
，π
，求cos(α＋β)．
解：因为α∈
π，
3π
2
，
cosα＝－
4
5
，所以sinα＝－
3
5
.
因为β∈
π
2
，π
，tanβ＝－
1
3
，
所以cosβ＝－
310
10
，sinβ＝
10
10
.
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝－
4
5
×
－
310
10
－
－
3
5
×
10
10
＝
310
10
.
给值求角
已知sinα＝
5
5
，sinβ＝
10
10
，且α，β为锐角，
求α＋β的值．
sinα，sinβ→求cosα，cosβ→求cos（α＋β）→
确定α＋β的范围→求α＋β的值
解：∵sinα＝
5
5
，α为锐角，
∴cosα＝1－sin2α＝
2
5
5.
又sinβ＝
10
10
，β为锐角，
∴cosβ＝1－sin2β＝
3
10
10.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝
25
5
×
310
10
－
5
5
×
10
10
＝
2
2
.
又α，β∈
0，
π
2
，
∴0<α＋β<π，
因此α＋β＝
π
4
.
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大
(小)，导致求出的角分歧题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求
角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一
种三角函数值．
[再练一题]
3．若把本例题的条件改为“α∈
0，
π
2
，β∈
－
π
2
，0
，
且cos(α－β)＝
3
5
，sinβ＝－
2
10
”，试求角α的大小．
解：∵α∈
0，
π
2
，β∈
－
π
2
，0
，∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝
3
5
，知sin(α－β)＝
4
5
.
由sinβ＝－
2
10
，知cosβ＝
72
10
.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝
4
5
×
72
10
＋
3
5
×
－
2
10
＝
2
2
.
又α∈
0，
π
2
，∴α＝
π
4
.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1函数y＝sinx＋cosx(x∈Z)的最大值为2对吗？为
什么？
【提示】分歧错误．因为sinx＋cosx
＝2
2
2
sinx＋
2
2
cosx
＝2
sinx·cos
π
4
＋cosx·sin
π
4
＝2sin
x＋
π
4
.
所以函数的最大值为2.
探究2函数y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？
【提示】因为y＝3sinx＋4cosx＝5
3
5
sinx＋
4
5
cosx
，
令cosφ＝
3
5
，sinφ＝
4
5
，
则y＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5.
探究3如何推导asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋
φ)
tanφ＝
b
a
公式．
【提示】asinx＋bcosx
＝a2＋b2
a
a2＋b2
sinx＋
b
a2＋b2
cosx
，
令cosφ＝
a
a2＋b2
，sinφ＝
b
a2＋b2
，则
asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)
＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确
定，φ角的值由tanφ＝
b
a
确定，或由sinφ＝
b
a2＋b2
和cos
φ＝
a
a2＋b2
共同确定)．
当函数y＝sinx－3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，
x＝________.
可先用公式Sα±β将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)形式再求
最大值对应的x值．
解：函数为y＝sinx－3cosx＝2
1
2
sinx－
3
2
cosx
＝2
sinxcos
π
3
－cosxsin
π
3
＝2sin
x－
π
3
，
当0≤x<2π时，－
π
3
≤x－
π
3
<
5π
3
，
所以当y取得最大值时，x－
π
3
＝
π
2
，所以x＝
5π
6
.
【答案】
5π
6
1．对于形如sinα±cosα，3sinα±cosα的三角函
数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式
化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求
值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基来源根基
则．
[再练一题]
4．函数f(x)＝sinx－cos
x＋
π
6
的值域为()
A．[－2，2]B．[]－3，3
C．[－1，1]D．
－
3
2
，
3
2
解：f(x)＝sinx－cos
x＋
π
6
＝sinx－
3
2
cosx＋
1
2
sinx
＝
3
2
sinx－
3
2
cosx
＝3sin
x－
π
6
，
所以函数f(x)的值域为[－3，3]．
故选B．
【答案】B
[构建·体系]
1．(2016·清远期末)化简：sin21°cos81°－cos
21°·sin81°等于()
A．
1
2
B．－
1
2
C．
3
2
D．－
3
2
解：原式＝sin(21°－81°)＝－sin60°＝－
3
2
.故选D．
【答案】D
2．已知α是锐角，sinα＝
3
5
，则cos
π
4
＋α
等于()
A．－
2
10
B．
2
10
C．－
2
5
D．
2
5
解：因为α是锐角，sinα＝
3
5
，
所以cosα＝
4
5
，
所以cos
π
4
＋α
＝
2
2
×
4
5
－
2
2
×
3
5
＝
2
10
.故选B．
【答案】B
3．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是()
A．
π
2
B．π
C．2πD．4π
解：y＝sinx－cosx＝2sin
x－
π
4
，所以T＝2π.
【答案】C
4．计算
3－tan15°
1＋3tan15°
＝________．
解：
3－tan15°
1＋3tan15°
＝
tan60°－tan15°
1＋tan60°tan15°
＝tan45°＝1.
【答案】1
5．已知α，β均为锐角，sinα＝
5
5
，cosβ＝
10
10
，求
α－β.
解：∵α，β均为锐角，sinα＝
5
5
，cosβ＝
10
10
，
∴sinβ＝
310
10
，cosα＝
25
5
.
∵sinα π 2 <α－β<0， ∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ＝ 5 5 × 10 10 － 25 5 × 310 10 ＝－ 2 2 ，∴α－β＝－ π 4 . 学业分层测评 [学业达标] 一、选择题 1．若α＋β＝ π 4 ，则(1＋tanα)(1＋tanβ)等于() A．1B．－1 C．2D．－2 解：(1＋tanα)(1＋tanβ) ＝1＋(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ ＝1＋tan π 4 ·(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2. 【答案】C 2．cosα－3sinα化简的结果可以是() A． 1 2 cos π 6 －α B．2cos π 3 ＋α C． 1 2 cos π 3 －α D．2cos π 6 －α 解：cosα－3sinα＝2 1 2 cosα－ 3 2 sinα ＝2 cosαcos π 3 －sinαsin π 3 ＝2cos α＋ π 3 . 【答案】B 3．(2016·北京高一检测)在△ABC中，A＝ π 4 ，cosB＝ 10 10 ，则sinC等于() A． 25 5 B．－ 25 5 C． 5 5 D．－ 5 5 解：因为cosB＝ 10 10 且0 所以sinB＝ 310 10 又A＝ π 4 ， 所以sinC＝sin(A＋B)＝sin π 4 cosB＋cos π 4 sinB ＝ 2 2 × 10 10 ＋ 2 2 × 310 10 ＝ 25 5 . 【答案】A 4．若sinα＝ 3 5 ，α∈ － π 2 ， π 2 ，则cos 5π 4 ＋α ＝() A．－ 2 10 B． 2 10 C．－ 72 10 D． 72 10 解：因为sinα＝ 3 5 ，α∈ － π 2 ， π 2 ，所以cosα＝ 4 5 ，故 cos α＋ 5π 4 ＝cosαcos 5π 4 －sinαsin 5π 4 ＝ 4 5 × － 2 2 － 3 5 × － 2 2 ＝－ 2 10 . 【答案】A 5．若sinα＝ 3 5 ，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角， 则tanβ的值为() A． 4 3 B．－ 4 3 C．7D． 1 7 解：由sinα＝ 3 5 ，且α是第二象限角，可得cosα＝－ 4 5 ，则tanα＝－ 3 4 ，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝ tan（α＋β）－tanα 1＋tan（α＋β）tanα ＝ 1－ － 3 4 1＋ － 3 4 ＝7. 【答案】C 二、填空题 6．计算 1－tan15° 3＋tan60°tan15° ＝________. 解：原式＝ tan45°－tan15° 3（1＋tan45°·tan15°） ＝ 1 3 tan(45°－15°)＝ 1 3 . 【答案】 1 3 7．若sin(α＋β)＝ 1 5 ，sin(α－β)＝ 3 5 ，则 tanα tanβ ＝ ________. 解：由题意得sinαcosβ＋cosαsinβ＝ 1 5 ，① sinαcosβ－cosαsinβ＝ 3 5 ，② ①＋②得sinαcosβ＝ 2 5 ，③ ①－②得cosαsinβ＝－ 1 5 ，④ ③÷④得 tanα tanβ ＝－2. 【答案】－2 三、解答题 8．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α，β，求 cosαcosβ－3sinαcosβ－3cosαsinβ－sinαsin β的值． 解：由题意知α＋β＝ π 12 ， 故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β) ＝2sin π 6 －（α＋β） ＝2sin π 12 ＝2sin π 4 － π 6 ＝2 sin π 4 cos π 6 －cos π 4 sin π 6 ＝2 2 2 × 3 2 － 2 2 × 1 2 ＝ 6－2 2 . 9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边 作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点， 已知A、B的横坐标分别为 2 10 、 25 5 . 图3－1－1 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由条件得cosα＝ 2 10 ，cosβ＝ 25 5 . ∵α，β为锐角， ∴sinα＝1－cos2α＝ 72 10 ， sinβ＝1－cos2β＝ 5 5 . 因此tanα＝7，tanβ＝ 1 2 . (1)tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ ＝ 7＋ 1 2 1－7× 1 2 ＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝ tan（α＋β）＋tanβ 1－tan（α＋β）tanβ ＝ －3＋ 1 2 1－（－3）× 1 2 ＝－1， 又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜ 3π 2 ， ∴α＋2β＝ 3π 4 . [能力提升] 1．已知f(x)＝sin π 3 x＋ π 3 －3cos π 3 x＋ π 3 ，则f(1)＋ f(2)＋…＋f(2016)的值为() A．23B．3 C．1D．0 解：f(x)＝sin π 3 x＋ π 3 －3cos π 3 x＋ π 3 ＝ 2sin π 3 x＋ π 3 － π 3 ＝2sin π 3 x，因为周期为6，且f(1)＋f(2) ＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝0. 【答案】D 2．已知 π 2 <β<α< 3π 4 ，cos(α－β)＝ 12 13 ，sin(α＋β)＝－ 3 5 ，求sin2α的值． 解：因为 π 2 <β<α< 3π 4 ， 所以π<α＋β< 3π 2 ，0<α－β< π 4 . 所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β） ＝1－ 12 13 2 ＝ 5 13 . 所以cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β） ＝－1－ － 3 5 2 ＝－ 4 5 . 则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝ － 3 5 × 12 13 ＋ － 4 5 × 5 13 ＝－ 56 65 .