内角平分线定理
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2023年3月4日发(作者：博白方言)22
3
2
专题5新三板斧之角平分线相关的定理
在“三板斧”里面，我们解决了解三角形中简单的边角关系，周长与面积以及简单的定比分线计
算问题．那么在三角形内部增加一条线，外部拓展到四边形等情况，将会在新三板斧里面进行阐述，
增加的线可以为角平分线，也可以为任意张角线，也可以为中线，三等分线等等，针对此类型，我们找
了几个常用的方法和套路来解决此问题，构成三角形内部解三角形的“新三板斧”．
秒杀秘籍：第一讲张角定理
如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，设AD=l，BAD，CAD，则一定有
sin(a+b)
=
sina
+
sinb
．
lbc
证明：S
△ABC
=S
△ABD
+S
△ACD
，
1
bcsin
1
clsin
1
blsin，
222
同除以
1
bcl得：
sin(a+b)
=
sina
+
sinb
．
2lbc
【例1】（2019•深圳模拟）在中△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，BDBC
交AC于点D，且BD1，则2ac的最小值为．
【例2】（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，
AD3，则CD的长为．
【例3】（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，△ABD面积是△ADC面积的2
倍．
（1）求
sinB
；
sinC
（2）若AD1，
DC
2
，求BD和AC的长．
2
秒杀秘籍：第二讲角平分线张角定理
根据张角定理：①当a=b时，
cosa=
1
2
ADAD
+
bc
129
（角平分线张角定理）
Stana
②
S
△ABC
=
1
AD×(b+c)sina³AD2tana
（角平分线面积问题）
2
证明：①根据张角定理可得：
sin2a
=
sina
+
sina
，
2sinacosa
=
sina
+
sina
，
cosa=
1
ADAD
+
ADbc
11111
ADbc
2bc
②
S=
bcsin2a=
22
bc(+)
bc
ADsina=
2
AD(bc)sinaADbcsinaAD
=AD
，SAD2tan，当仅当bc时等号成立.
【例4】（2018•安阳二模）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosCa，点
M在线段AB上，且ACMBCM．若b6CM6，则cosBCM（）
A.
10
4
B.
3
4
C.
7
4
D.
4
【例5】（2019•江苏模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC
2
，ABC的
3
平分线交AC于点D，BD1，则ac的最小值为．
【例6】（2019•云南一模）在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，ABC
2
，BD平分
3
ABC交AC于点D，BD2，则△ABC的面积的最小值为（）
A.3B.4C.5D.6
秒杀秘籍：第三讲角平分线之斯库顿定理
如图，AD是△ABC的角平分线，则AD2AB·ACBD·CD.就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.
已知：在△ABC中，AD2BD·DCAB·AC中，AD是BAC的平分线，求证：AD2BD·DCAB·AC
【证明】作的外接圆，延长AD交圆于E，连BE，如图EC、12△ABE∽△ADC
AB
AE
·
AD
AC
130
2Ssin2a
sin2a
3
333
22
3
即AD·AEAB·ACAD（·ADDE）AB·ACAD2AD·DEAB·AC
由相交弦定理得：BD·DCAD·DE，AD2BD·DCAB·AC
注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求
出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.
【例7】（2019•赣榆期中）在△ABC中，AB5，AC7，BC6，A的平分线AD交边BC于点D，
则AD．
【例8】如图，在△ABC中，C2B，AC3，BC5，求AB之长.
秒杀秘籍：第四讲角平分线之倍角定理
b2（aac）B2A
c2（bba）C2B，
这样的三角形称为“倍角三角形”.
a2（ccb）A2C
【例9】（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（）
A.
7
25
B.
7
25
C.
7
25
D.24
25
【例10】（2019•开福月考）设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c1，A2C，
则△ABC周长的取值范围为（）
A．(0,22)B．(0,33)C．(2，33)D．(2，33]
【例11】（2019•宁德期中）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a2b2bc，且A(60,90)，
则
a
取值范围是．
b
【例12】（2019•东莞期末）如图，四边形ABCD中，CE平分ACD，AECE2
ABCACD，则四边形ABCD周长的最大值为（）
，DE，若
A．24B．123C．18D．3(53)
131
3
33
3
3
2
S
sin
C．Stan
达标训练
1.已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，BAC120，则BAC的角平分线AD的长为（）
A.
3
3
5
B.
3
5
C.
6
3
5
D.
6
5
2．（2019•武汉期中）已知ABBD，A30，C45，CD
值为（）
3
1
，sinCBD
2
62
，则AB的
4
A.
3
2
B.
6
C．D．
2
3．（2019•滨州二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，ABC60，ABC的
平分线交AC于点D，且BD，则a2c的最小值为（）
A．4B．5C．22D．32
4.（2019•梅州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，ABC120，ABC的平
分线交AC于点D，且BD2，则4ac的最小值为．
5.（2019•武汉期中）已知△ABC的面积为S，BAC2，AD是△ABC的角平分线，则AD长度的最大
值为（）
A．SsinB．D．
6.（2018•长春期末）在△ABC中，BAC120，AD为BAC的平分线，AB2AC，则（）
A．AB2AD
C．AB2AD或AB3AD
B．AB3AD
D．AB5AD
7（.2019•全国二模）设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b6，c4，A2B，则a．
8.（2018•红塔期末）在△ABC中，若a
5
b，A2B，则cosB等于（）
2
132
6
2
S
tan
33
(1,)
A.
5
3
B.
5
4
C.
5
5
D.
5
6
9.（2019•衡水二模）在斜△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
4bsinBcosC，CD是角C的角平分线，且CDb，则cosC（）
AbsinBcsinC
A.
3
4
B.
1
8
C.
2
3
D.
1
6
10.（2018•绍兴期末）在△ABC中，AB2AC，内角A的平分线与BC交于D，且ACtAD，则t的取值
范围是（）
3
(0,)
B．(
3
，1)C．
4
D．(
3
，)
4434
11.（2019•博望模拟）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，AD平分BAC与BC边
交于D点，若a7，b5，c3，则线段AD的长为（）
A.
25
8
B.
21
8
C.
15
8
D.
9
8
12.（2019•浙江期中）如图，在△ABC中，C90，内角A的平分线AD的长为7
且sinB
7
，则cosCAD；AB的长是．
18
13.（2019•徐州期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且
满足b2a2ac，则
1
tanA
1
tanB
的取值范围是（）
A．(1,
23
)
3
B．(1,2)C．(
23
，2)D．(1,)
3
14．（2019•淮南模拟）在锐角△ABC中，A2B，B、C的对边长分别是b、c，则
b
bc
的取值范
围是（）
11
(,)
43
11
(,)
32
12
(,)
23
23
(,)
34
15.（2019•上虞模拟）如图，在△ABC中，ABAC，BC2，A60，△ABC的面积等于2，则
sinB，角平分线AM的长等于．
15题图16题图
16.（2019•迎泽月考）在△ABC中，若A:B1:2，且ACB的平分线CD把△ABC分成面积比为5:3的
两部分，则cosA．
133
A．
A．
B．C．D．
33
2
17．（2019•金安月考）如图，在△ABC中，BDsinBCDsinC，BD2DC2
面积为（）
，AD2，则△ABC的
A.B．
C.3
D.3
18．（2019•烟台二模）在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD2CD2，则△ABC面积最大值为
．
19.（2018•安阳一模）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2acosBc．
（1）求证：B2A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c2，求a的取值范围．
20．（2018•海淀期中）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知a2c．
（1）若A2B，求cosB；
（2）若AC2，求△ABC面积的最大值．
134
2
37
2
37